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数列的通项与递推公式


第 2 课时 数列的通项与递推公式 1.理解递推公式的含义.(重点) 2.掌握递推公式的应用.(难点) 3.会求数列中的最大(小)项.(易错点) [基础· 初探] 教材整理 数列的递推公式 阅读教材 P30 最后一行~P31 例 3,完成下列问题. 1.数列递推公式 (1)两个条件: ①已知数列的第 1 项(或前 n 项); ②从第二项(或某一项)开始的任一项 an 与它的前一项 an-1(或前几项)间的关 系可以用一个公式来表示. (2)结论:具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式. 2.数列递推公式与通项公式的关系 递推公式 区别 表示 an 与它的前一项 an-1(或前几项) 之间的关系 (1)都是表示数列的一种方法; (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 通项公式 表示 an 与 n 之间的关 系 联系 1.下列说法中正确的有________(填序号). ①根据通项公式可以求出数列的任意一项; ②有些数列可能不存在最大项; ③递推公式是表示数列的一种方法; ④所有的数列都有递推公式. 1 【解析】 ①正确.只需将项数 n 代入即可求得任意项. ②正确.对于无穷递增数列,是不存在最大项的. ③正确.递推公式也是给出数列的一种重要方法. ④错误. 不是所有的数列都有递推公式. 例如 2精确到 1,0.1,0.01,0.001, … 的近似值排列成一列数:1,1.4,1.41,1.414,…就没有递推公式. 【答案】 ①②③ 2.已知数列{an}满足 a1=1,an=2an-1+1(n≥2),则 a5=________. 【解析】 因为 a1=1,an=2an-1+1(n≥2),所以 a2=3,a3=7,a4=15, 所以 a5=2a4+1=31. 【答案】 31 n 3. 已知非零数列{an}的递推公式为 a1=1, an= · a (n>1), 则 a4=_____. n-1 n-1 【解析】 依次对递推公式中的 n 赋值,当 n=2 时,a2=2;当 n=3 时, 3 4 a3=2a2=3;当 n=4 时,a4=3a3=4. 【答案】 4 n 1 1 4.已知数列{an}中,a1=-2,an+1=1-a ,则 a5=___________________. 【解析】 1 1 因为 a1=-2,an+1=1-a , n 1 1 所以 a2=1-a =1+2=3, 1 2 3 1 a3=1-3=3,a4=1-2=-2,a5=1+2=3. 【答案】 3 [小组合作型] 由递推关系写数列的 项 (1)已知数列{an}满足关系 anan+1=1-an+1(n∈N*),且 a2 则 a2 015 等于( ) 2 016=2, 1 A.-3 1 B.3 1 C.-2 1 D.2 (2)已知数列{an},a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n≥3),则 a5=________. 【精彩点拨】 【自主解答】 给 n 不同的取值,结合已知项逐步代入递推公式求解. (1)由 anan+1=1-an+1, 1 得 an+1= , an+1 1 又∵a2 016=2,∴a2 015=-2,故选 C. (2)由题知 a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=5, ∴a5=a4+a3=8. 【答案】 (1)C (2)8 由递推公式写出数列的项的方法: (1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系, 依次代入计算即可. (2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表

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