tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
当前位置:首页 >> >>

抛物线知识点归纳总结

选修 1-1

第二章 2.4 抛物线

y2 ? 2 px ( p ? 0)



y l



线
OF x

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)
y l
FO x

x2 ? 2 py ( p ? 0)
y

F

O

x

l

x2 ? ?2 py ( p ? 0)
y l
O x
F

定义 范围

平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点 F 叫 做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线。
{ M MF =点 M 到直线 l 的距离}

x ? 0, y ? R

x ? 0, y ? R

x ? R, y ? 0

x ? R, y ? 0

对称性
焦点
顶点 离心率 准线 方程 顶点到准 线的距离 焦点到准 线的距离

关于 x 轴对称

关于 y 轴对称

( p ,0) 2

( ? p ,0) 2

(0, p ) 2

焦点在对称轴上

(0, ? p ) 2

O(0, 0)

x?? p 2

e =1

x? p 2

y?? p 2

准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。

p 2

p

y? p 2

焦半径 A(x1, y1)

AF

?

x1

?

p 2

AF

?

? x1

?

p 2

AF

?

y1

?

p 2

AF

?

? y1

?

p 2

宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 宝安数学老师瞿老师上门一对一 15915355718 QQ:1838471850

选修 1-1

焦 点弦 长
AB

(x1 ? x2 ) ? p

?(x1 ? x2 ) ? p

( y1 ? y2 ) ? p

?( y1 ? y2 ) ? p

焦点弦 AB 的几 条性质
A(x1, y1)
B(x2 , y2 )

y A? x1, y1 ?
oF
x
B? x2, y2 ?

以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切

若 AB 的倾斜角为?

,则

AB

?

2p sin2 ?



AB 的倾斜角为?

,则

AB

?

2p cos2 ?

x1 x2

?

p2 4

y1y2 ? ? p2

切线 方程

y0 y ? p(x ? x0 )

1 ? 1 ? AF ? BF ? AB ? 2 AF BF AF ? BF AF ? BF p

y0 y ? ? p(x ? x0 )

x0 x ? p( y ? y0 )

x0 x ? ? p( y ? y0 )

1. 直线与抛物线的位置关系

直线

,抛物线



,消 y 得:
(1)当 k=0 时,直线 l 与抛物线的对称轴平行,有一个交点; (2)当 k≠0 时,
Δ >0,直线 l 与抛物线相交,两个不同交点; Δ =0, 直线 l 与抛物线相切,一个切点; Δ <0,直线 l 与抛物线相离,无公共点。 (3)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?(不一定)

宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 宝安数学老师瞿老师上门一对一 15915355718 QQ:1838471850

选修 1-1

2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法

直线 l : y ? kx ? b 抛物线
① 联立方程法:

?y ? kx?b

? ?

y

2

?

2 px

?

k 2 x2

?

2(k b ?

p)x

? b2

?

0

, ( p ? 0)

设交点坐标为 A(x1, y1) , B(x2, y2 ) ,则有 ? ? 0 ,以及 x1 ? x2 , x1x2 ,还可进一步求出

y1 ? y2 ? kx1 ? b ? kx2 ? b ? k(x1 ? x2 ) ? 2b



y1 y2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ? k 2 x1x2 ? kb(x1 ? x2 ) ? b2
在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如 a. 相交弦 AB 的弦长

AB ?

1? k 2 x1 ? x2 ?

1? k2

(x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ?

1? k2

? a



AB ?

1

?

1 k2

y1 ? y2

?

1

?

1 k2

( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? 1? k 2

? a

b. 中点 M (x0 , y0 ) ,

x0

?

x1

? 2

x2



y0

?

y1 ? y2 2

② 点差法:

设交点坐标为 A(x1, y1) , B(x2, y2 ) ,代入抛物线方程,得

y12 ? 2 px1 将两式相减,可得

y22 ? 2 px2

( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 2 p(x1 ? x2 )

y1 ? y2 ? 2 p x1 ? x2 y1 ? y2

a.

在涉及斜率问题时, kAB

?

2p y1 ? y2

b. 在 涉 及 中 点 轨 迹 问 题 时 , 设 线 段 AB 的 中 点 为 M (x0 , y0 ) ,

y1 ? y2 ? 2 p ? 2 p ? p , x1 ? x2 y1 ? y2 2 y0 y0

即 kAB

?

p y0



宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来

宝安数学老师瞿老师上门一对一 15915355718 QQ:1838471850

选修 1-1

同理,对于抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) ,若直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点,点

M (x0 ,

y0 ) 是弦

AB 的中点,则有 kAB

?

x1 ? x2 2p

?

2 x0 2p

?

x0 p

(注意能用这个公式的条件:1)直线与抛物线有两个不同的交点,2)直线的斜 率存在,且不等于零)

宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 宝安数学老师瞿老师上门一对一 15915355718 QQ:1838471850


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com