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高中数学变式探究教学案例_图文

: :  
韩 翠 翠 
( 山东 省 广 饶 县 第 一 中学 , 山东 广 饶
摘  要 :直 线 和 圆 锥 曲 线 位 置 关 系 的 相 关 问 题 是 考 查  学生数 学综合 能 力的 主要 载体 . 对 相 关 问 题 的 变 式 探 究 也  是 培养 学 生数 学基本 思 想方 法、 强化数 学能 力的重要 途 径 .   2 01 3年 全 国 高 中数 学 联 赛 的 一 道 关 于 抛 物 线 的 试 题 是 研  究 与 直 线 与 抛 物 线 位 置 关 系有 关 的度 量 问 题 及 轨 迹 问题 的  好素材.   关 键 词 :高 中数 学 抛 物 线  变式 探 究 基 本 不 等 式  在 我 国传 统 的 数 学 教 学 中 十 分 重 视 变 式 教 学 , 正是 因 为  应 用 了变 式 教 学 。我 国 中 学 生 在 基 础 知 识 和基 本 技 能 方 面 远  远 超 过 了西 方 学 生 ,可 以说 变 式 教 学 是 具 有 中 国特 色 的 教 学  方 法 ,但 是 我 国学 生 在 解 答 开 放 性 问 题 及 动 手 能力 方 面 逊 于  西方学生. 我 国的 专 家 学 者 对 变 式 教 学 的 理 论 研 究 比 较 多 。 实  践 研 究 比较 相 对 较 少 , 对 理 论 的研 究 大都 停 留 在 感 性 知 识 上 .   甚 至 在 有 些 理 论 的 认 识 上 还 模 棱 两 可 .还 有 就 是 很 少 有 高 中  教师 能在教学 实践 中深层 次地 剖析 变式 教学 , 因此 , 对 变 式  教 学 的实 践 探 究 就 有 非 常重 要 的 理 论 和 实 践 意 义 .下 面 笔 者  列举数学教学 案例就对变式 教学的实践谈谈 体会. 例如 . 与 直 

量 墨 墨  

高 中 数 学 变 式 探 究 教 学 案 例 

2 5 7 3 0 0 )  

引 例 :在 平 面 直 角 坐 标 系 x 。 y 中, A、 B 两 点在抛 物线y   =  

4 x 上, 且满足   ? 魂= 一 4 , F 是抛物线的焦点 , 则s A O F A " s   。 F B =  
分析 : 借 助几何直观 , 学生不难 发现三角形O F A与 三 角 形  O F B 同底 , 所 以 它们 面积 的乘 积 由A、 B 两 点 的纵 坐 标 乘 积 的绝  对值决定. 结合 已知条件 , 可 以 利 用 向量 数 量 积 运 算 的 坐 标 表  示 及 抛 物 线 方 程 进行 转 化 求 解 

. ,  

  ‘



线 和 圆 锥 曲 线 位 置 关 系 有 关 的 问 题 是 各 级 竞 赛 及 高 考 的 热  点问题 . 同时 也 是 考 查 学 生 数 学 综 合 能 力 的 主 要 载 体 . 对 相 关 
问题的变式 、 探究 是培养学生数学基本思想 方法 、 形 成 数 学 能  力 的 重 要 途 径 .本 文 主 要 结 合 2 0 1 3 年 全 国数 学 联 赛 的一 道 试  题 重 点 研 究 与 直 线 和 抛 物 线 位 置 关 系 有 关 的度 量 问题 及 轨 迹  问 题 ,其 基 本 的 思 想 方 法 可 以类 比到 直 线 与 其 他 二 次 曲 线 的  问 题 中.  

解: 设 A、 B 两 点 的坐 标 分 别 为A( x 。 , Y 。 ) , B( X E , Y 2 ) , 则y   = 4 x 。 ,  


y2

= =

4 x 2 , 所 以y   ? y   =1 6 x l x 2 3 L x  ̄ x z + y l y 2 = 一 4, 所 以y   y 2 +1 6 y 。 y 2 + 6 4 = 0,  

所 以 Y l  ̄ Y 2  ̄ " ' - 8 , 所 以 s △ 0 F   . s △  { 1 0   F I l y J y   I _ 2 .  
【 评析 】 本 题 是2 0 1 3  ̄ 全 国 高 中数 学 联 赛 一 试 的一 道 填 空 
题, 题 目内容 简 洁 清 晰 , 以学 生 比较 熟 悉 的抛 物 线 及 向量 的数 

学 生 的认 知 水 平 , 如果不 符合 , 就必须修 改 , 因 为这 是 关 系 到  我们所讲 的这节课是 否能引起 大部分学 生兴趣 的关键 所在 .   而 学 生 的 学 习 兴 趣 正 是 提 高 课 堂 教 学 效 率 的一 个 重 要 因 素 。   借助多媒体教学媒介 . 把 课 堂 知 识 学 习与 生 活 情 景 联 系 起 来 .   改变过去呆 板僵化 、 单调 老套的说教 形式 。 克服 教学 内容多 、   教 学 时 间 少 的 困难 , 提高 了教学效 率 , 增 强 了课 堂 吸 引 力 、 诱  惑力 , 使 课 堂 充 满 了乐 趣 。  
三、 数 学 教 师 要重 新 构 建课 堂结 构 、 知 识 结 构  1 . 课 上 让每 个 学 生 都 动起 来 。首 先 , 课 堂语 言要 充 满 活 力  和感染力 , 抑扬顿挫 , 风趣幽默。 这需要数学教师投入感情 。 要 

生 回答 , 让 他 们 树 立 自信 心 , 同时 , 尽 量 给 他们 板 演 的机 会 , 让  他 们 养 成 良好 的 练 习 习 惯 , 还有课堂作业要 “ 堂堂清” , 教 师 要  严格监督 , 不 给他 们 拖 拉 的 机 会 , 再者 , 还 不 能 让 他 们 有 抄 袭  作 业 的 机会 . 一经发现及时批评 。 并严格处理。  
4 . 课 堂 教 学 要 坚持 “ 三为主 ” 。 即 以学为主 , 以练 为 主 , 以 

进入角色 , 眼 睛有 神 , 动作有力。 其次 , 课 堂 教 学 时要 像 相 声 演  员 那样 设 计 一 些 “ 包袱 ” , 让 学 生 在 张 弛 有 度 的环 境 下 学 习 。 如  果 仅 用 某 一 种 教 学 方 法 ,则 容 易 造 成 学 生 听 觉 、视 觉 上 的疲  劳, 从 而 分 散 学 生 的注 意 力 , 降低课堂教学效率。   2 . 课 堂 节 奏 要 随 着 学 生 学 习 节 奏 变化 而 变 化 。 合 理 地 讲   练, 每 节 课 都 要 有 比较 深 入 的 信 息 反 馈 与 调 整 . 确 保 每 节 课 中  目标 的 达 成 度 或 生 成 度 。 另外 , 作 业 的 布 置 要科 学 、 有层次 , 要  有 大局 意识 ( 应 该 在 作 业 中设 计 “ 必修 ” , “ 选修 ” 题 目) 。 这 样 就  比 较有 弹性 。 能 满 足 不 同层 次 学 生 的 学 习 需 求 。   3 . 课 堂要 面 向全 体 学 生 。 数 学 教 师 应 该 认 识 到 培 优 补 差  不 是课 后 的 工 作 , 而是 课 堂 教 学 的 重 要 任 务 。 因 此 , 加 强 课 堂  教学中的培优补差工作 , 尤 其 是 补 差 工 作 值 得 重视 。 补 差 , 首  先是“ 治懒” , “ 懒” 包 括 思 维 上 的懒 和 练 习 中 的懒 。 思 维上 的懒  常常表现为学习过程中的心不在焉 、 注意力不集 中 : 练 习 中 的  懒表现为练习速度慢 , 作业完成不及时或是抄袭作业等 。 针 对  以上情况 . 分别要 施之有效措施 。 在 课 堂 教 学 中加 强 “ 快 速 提  问” , 增大提 问的密度 , 把 一 些 略 简 单 的 问 题 让 程 度 较 差 的学 

赛 为主 。以 学 为 主 , 就 是 以学 生 的 自主学 习 为 主 . 培 养 学 生 独  立完成学习任务的能力 , 强 化 学 习 的 整体 效 果 。 以 练 为 主 , 课  堂上学生 的练习是主线 , 练 习的形式多种多 样 。 生生互动 。 师  生互动。 教 师 仅 起 主 持 人 的 作用 , 环节的导入 、 时间的控制 、 争  议 的 评 价 等 都 可 能 是 调 动 学 生 主 观 能 动 性 的 一 种 途 径 。以 赛  为主 , 单 位 时 间 内要 给 学 生 以积 极 参 与 的 动力 与适 当 的压 力 ,   生生之 间( 组组之 间) 可 以引入恰 当的竞争机制 , 调 动 学 生 的  学 习 热情 。   5 . 高 效 课 堂 的 实施 离不 开 学生 的有 效合 作 。 我 们 可 以 根  据 学 生 的 学 习成 绩 按 照 不 同的 层 次 搭 配 划 分 学 习 小 组 .让 学  生结成学习对子“ 一帮一” 、 “ 一促一” , 共同学习 , 共同进步。   总之 , 高 效 课 堂 无 论 是 学 习还 是 借 鉴 , 都 在 于 领 会 先 行 学  校 的精 神 ,而不 在 于 形式 。 高 效 课 堂 虽 然 不 是 一 种 具 体 的 模  式, 但 它 的 目标 是 明 确 的 , 是 对 传 统 教 学 模 式 的 改 革 。 虽 然 与  传 统教 学 模 式 的 目的 有一 致 的 地 方 ,但 它 的 具 体 要 求 已 经 超  越传统 。 作 为 教 学 主 导 者 的教 师 必 须 首 先 改 变 自己 . 才 能 真 正  打 造 高 效课 堂 。  
参考文献:   [ 1 ] 陶行 知 . 陶行 知 教 育 全 集 . 江 苏 教 育 出版 社.   [ 2 ] 苏 霍 姆 林 斯 基. 给 教 师 的 建 议. 教 育 科 学 出版 社  [ 3 ] 林 崇德 . 教 育 的智 慧. 开 明 出版 社.  
7 5  

■ 蟹  鐾 
. 一  

量 积 运算 为 背景 , 主要 考查 学 生 综 合 运用 坐 标 法 和 函 数 与方 程  的 思想 进 行 分 析 问 题 、 解决 问题 的能 力 , 题 目本 身 容易 上 手 。 解  题 思 路 自然 流 畅 . 通过深入思考发现 , 本题内涵丰富 , 对 相 关 问  题 的变 式分 析 更 是培 养 学 生探 究 能 力 的一 个很 好 的素 材.   变式 1 : 求S △ o F A + S △ 0 n } 的最 小 值 .  

解2 : 由y 。 y   :   一8 得b : 一 2 k , 所 以直 线A B的 方 程 可 化 为 
K 

y = k( x 一 2   .  

这 说 明 直 线AB 有 斜 率 时恒 过 定 点 C( 2 , 0 ) . 若直线A B 没 有 

分析 1 :利 用 基 本 不 等 式 及 引 例 的 结 论 可 以 确 定 三 角 形  0 F A 与三角形0 F B 面积和的最小值 , 并 能 指 出 取 到 最 值 时A、 B  
两点的坐标,   解1 : 由引 例 可知 S △ 0 F A ? S a o r B = 2 ,所 以 S A O F A + S △ 。 F B ≥2  
= 2   .  

斜 率 , 由y   Y 2 = - 8  ̄ I A、 B 两 点 的坐 标 可取 A ( 2 , 2 V  ) , B( 22  


) , 此 时, 直 线A B 也 过 定 点c( 2 , 0 ) .  

所  
≥4 、 /2  

=  l O C I " I l Y l l + l y = l [ = 、 /  
V  

+  + l 6  
y ,  


当S A O F A = S A O F B 即l y   I = I y 2 l _ 2 、 /2时 取 等 号 ,不 妨 取 A( 2 , 2  
) , B( 2, 一 2   ) 时“ =” 成立.  

当且 仅 当 I y l I = l y 2 1 = 2 V  时取 等 号 , 不 妨 取 A( 2 , 2 V  )B 
( 2 , 一 2 N / 2 ) 时“ = ” 成立 .  

分析2 : 将 面 积 和 的 问题 利 用 公 式 转 化 为 与 A、 B 两 点 纵 坐  标 有 关 的 函数 关 系 式 , 再结合基本不等式进行求解.  

变 式3 : 求 坐 标 原 点 在 直 线AB   I -  ̄ 3 投 影 的 轨迹 

解 2 : 因 为 ( s  + s △ 。 F R )   = ÷ (   I y   l y   I )   = ÷ ( y 2 + y : 2 + l 6 ) = 丢  
( y   + — 6 4   + 1 6 ) >8, 所 以s △ 。 F A + s △ 。 F B >2  ̄ V' 2 -,  


分析: 联想到直线A B 恒 过 定 点 C( 2 , 0 ) , 则 容 易 判 断 坐标  原 点在直 线A B 上 的 投 影 的轨 迹 是 以 线 段 0 C为 直 径 的 圆 同  时, 可 以 利 用 坐标 运 算 推 得 其 轨 迹 方 程 .   解: 设 坐标 原 点 在 直 线 A B 上 的 投 影 为 M( x 。 , Y 。 ) , 直线A B  


的斜 率 为k ( k ≠0 ) , 其方程为y = k   + b . 易知 , b = - 2 k , 且  . k = - 1
.  

X 0 

当且 仅 当y   :   即 : Y  8   n ? I R  “ : ” .
2 

所 以y 0 = 一   ( x 。 一 2 ) , 即( x 。 一 1 )  y z   = 1 ( Y ) . 当直 线 A B 没 有 斜  o ≠O
y 0  

y,  

率时 , M的 坐 标 为 ( 2 , O ) , 满足方程 . 所以, 坐标原 点在 直线A B  

变式2 : 求S  。   的最 小 值 .   分析 1 : 利 用 三 角 形 的 面积 公 式 将 三 角形 A O B的面 积 用 直  线A B 的斜 率 表 示 , 进 而 解决 其 最 小 值 问题 .   解1 : 设 直 线A B的斜 率 为 k ( k ≠O ) , 其 方程 为y = k x + b .   代 人y ‘ = 4 x q  ̄: k - y  ̄ - 4 y + 4 b = 0 设 A( x l , Y 1 ) , B ( x 2 , Y 2 ) , 则y 1 + y 2  



上的投影的轨迹方程为( x   ~ 1 ) ‘ + y 二 = 1 , 表示以抛物线v 2 : 4 x 的焦  
点F ( 1 , O ) 为 圆心 . 1 为半径的圆.   变式探究是激发学生学习兴趣 , 培养学生探究能力 , 渗 透  数 学 思 想 的重 要 途 径 . 本文通过对一 道竞赛试题结论 的变式 举一反三 , 旨在 引导 学 生 能 够 多 角 度 、 多层次地思 考问题 在  探索 “ 变” 与“ 不 变” 的过 程 中 加 深 对 数 学 概 念 的理 解 , 巩 固所  学 的 知识 和技 能 , 使 学 生 对 所 学 的数 学 知 识 能够 融 会 贯 通 深   刻 体 会 蕴 含其 中 的数 学 思 想 .   总之 , 变 式 探 究 学 习模 式 在 课 堂 教 学 实 施 中 , 就 是 在 科 学  的教 育理 论 指 导 下 ,借 鉴 科 学 家 发 明创 造 的思 想方 法 和 数 学  问题 ,通 过 创 设 一 定 的情 境 帮 助 学 生 主动 投 入 多 角 度 的 解 题  教学 中 , 对 数 学 问题作 多层 面 探究 . 首先, 引 导 学 生 运 用 数  学 基 本策 略 和方 法发 现 和提 出 问题 , 并 解 决 问题 其 次 . 引   导学生 合作 交流 , 开发 学生 潜 能 ; 让学 生 在教 师 的指 导下 理清 知识结构 , 寻找科学有效的方法 , 对 数 学 问 题 进 行 独 立 探  究和合作探究 , 归纳综合 , 拓展创新 , 深 层 探 究 发 展 学 生 的创  新 能 力.  
. 


4   4 b   k ’ y1 y 2   ,  



N  P 2   S…   =  1  l AB   1 . d
l b l  

=  

2  

?  

?  

Vk , —   — + 一  1  
S L   y   l   y= =   4 b
= 一

8 ,所 以S   A A O B =  I b l

?

V — ( Y t + Y 2 — ) 2 + 3 2 =  



. 



若直 线A B 没有 斜率 , 则 所 A、 B 两 点关 于x 轴 对称 . 易 知 

l y I I = l y 2 I = 2 、 / 2, 若 取A( 2 , 2 、 /  ) , B( 2 , 一 2 V  ) , 则s  


4 、 /2, 所MS △   0 B >4 I 、 /2, 即S A A O   的最小值 为4 、 /  .  

分析2 : 由A、 B 两 点 纵 坐 标 之 间 的关 系 及 韦 达 定 理 可 知 直  线A B 恒 过 定 点 ,由此 可 将 三 角 形AO B 分 割 为 两 个 同 底 的 小 三  角形 ,进 而 将 面 积 的最 值 问题 转 化 为 与基 本 不 等式 有 关 的最  值 问题 得 以解 决 .  

参考文献 :   [ 1 ] 钱 正艳 . 引导学生创新思维 , 拓 宽学生的思维 空间『 J ] .   湖南教育, 2 0 1 0 ( 1 2 ) .   [ 2 ] 喻德 生. 数 学 课 堂 教 学 方 法 因素 的 分 析 [ J ] . 数学通报
, 

2 0 1 1 ( 1 1 ) .  

[ 3 ] 陶维 林 编 著 . 现 代 化 的教 学 手 段 优 化 课 堂教 学 『 M] 北  京: 清 华 大 学 出版 社 . 2 0 0 9 .  


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