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高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数教案新人教A版

1.3.1 函数的单调性与导数
教学目标: (1)知识目标:能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间,能由导数信息绘制函数大致图象。 (2)能力目标:培养学生的观察能力、归纳能力,增强数形结合的思维意识。 (3)情感目标:通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结,引导学生养成自主学习的学习 习惯。 教学重点:探索并应用函数单调性与导数的关系求函数的单调区间。 教学难点:利用导数信息绘制函数的大致图象。 教学方法:发现式、启发式 教学手段:多媒体课件等辅助手段。 教学过程预设: 教学环节 师生活动 1.判断函数的单调性有哪些方法? (引导学生回答“定义法”,“图象法”。 ) 2.比如,要判断 y=x
2 +1

设计意图

以问题形式复习相关旧知 识,同时引出新问题:三次函 数判断单调性,定义法、图象 法很不方便, 有没有捷径?通 过创设问题情境, 使学生产生 强烈的问题意识, 积极主动地 参与到学习中来。

的单调性,如

何进行?(引导学生回顾分别用定义法、图象 提 法完成。 ) 一、回顾与思考 3.还有没有其它方法?如果遇到函数:

y=x3-x 判断单调性呢?(让学生短时
问 间内尝试完成,结果发现:用“定义法”, 作差后判断差的符号麻烦;用“图象法”,图象 很难画出来。 ) 4.有没有捷径?(学生疑惑,由此引出课题) 这就要用到我们今天要学的导数法。 问:函数的单调性和导数有何关系呢? 教师仍以 y=x 为例,借助几何画板动态演示,让学 生记录结果在课前发的表格第二行中: 单 函数及图象 调 切线 斜率 导数 的正
2

1.这一部分是后面利用导数 求函数单调区间的理论依据, 重要性不言而喻, 而学生又只



k的 正负



学习了导数的意义和一些基 本运算, 要想得到严格的证明 是不现实的,因此,只要求学 生能借助几何直观得出结论, 这与新课标中的要求是相吻 合的。

o a
二、观察与表述

b x
2.教师对具体例子进行动态 演示, 学生对一般情况进行实

(探索函数的单 调性和导数的关 系) 问:有何发现?(学生回答) 问:这个结果是否具有一般性呢?

验验证。 由观察、 猜想到归纳、

o a

b

x

总结,让学生体验知识的发 现、发生过程,变灌注知识为 学生主动获取知识, 从而使之 成为课堂教学活动的主体。

我们来考察两个一般性的例子: (教师指导学生动手实验:把准备好的牙签放在表 中曲线 y=f(x)的图象上,作为曲线的切线,移动切 线并记录结果在上表第三、四行中。 ) 3.得出结论后,教师强调正 问:能否得出什么规律? 确理解“某个区间”的含义, 让学生归纳总结,教师简单板书: 它必需是定义域内的某个区 在某个区间(a,b)内, 间。这一点将在例 1 的变式 3 若 f ' (x)>0,则 f(x)在(a,b)上是增函数; 具体体现。 若 f ' (x)<0,则在 f(x)(a,b)上是减函数。 4. 考虑到本节课堂容量较大, 教师说明: 这里没有提到函数在个别点

要正确理解“某个区间”的含义,它必需是定义域 内的某个区间。

处导数为零不影响单调性的 情况(如 y=x 在 x=0 处) ,这 一问题将在后续课程中给学 生补充。
3

1 .函数 y=2x+3 在 [ - 3 , 5] 上为 ______ 函数 ( 填 基 “增”或“减”)。函数 y=2x+3 在 R 上为______函 础 数(填“增”或“减”)。 (学生口答) 训 2.函数 y=x -3x 在[2,+∞)上为______函数,在 练 (-∞,1]上为______函数,在[1,2]上为______函数 (填“增”或“减”或“既不是增函数, 也不是减函 数”)。 例 1.求函数 y=3x -3x 的单调区间。 (引导学生得出解题思路:求导 →
2 2

为加强学生对结论的理解与 记忆,设计了两个基础训练 题。由于思维定势,学生可能 仍用以前的方法, 这里教师要 引导学生用导数法求解。

求单调区间是导数的一个 重要应用,也是本节重点,为

令 f ' (x)>0,得函数单调递增区间,令 f ' (x)<0, 此,设计了例 1 及三个变式: 得函数单调递减区间 → 下结论) 理 1. 应 用 三、 知 识 应 用 导 数 求 函 数 的 单 调 区 间 巩 固 设计变式 3 是可使学生体 变式 2:求函数 y=3e (学生上黑板解答)
x

设计例 1 可引导学生得出 用导数法求单调区间的解题 步骤

解 训 练 变式 1:求函数 y=3x -3x 的单调区间。 (竞赛活动:将全班同学分成两大组指定分别用单 调性的定义,和用求导数的方法解答,每组各推荐 一位同学的答案进行投影。 )
3 2

设计变式 1 及竞赛活动可 以激发学生的学习热情, 让他 们学会比较,并深刻体验导数 法的优越性。

-3x 单调区间。

设计变式 2 且让学生上黑 板解答可以规范解题格式, 同 时使学生了解用导数法可以 求更复杂的函数的单调区间。

提 高

变式 3:求函数 y ? x ?

2 的单调区间。 x

会考虑定义域的必要性

例 1 及三个变式, 依次涉及 二次,三次函数,含指数的函 数、反比例函数,这样一题多 变,逐步深化,从而让学生领 会: 如何应用及哪类单调性问 题该应用“导数法”解决。 学 1、什么情况下,用“导数法” 求函数单调性、单 生 调区间较简便? 小 2、试总结用 “导数法” 求单调区间的步骤? (教 结 师强调第一步应求定义域) 1、 函数 y=xcosx-sinx 在下列哪个区间内 强 化 训 练 是增函数( B ) 通过这一总结,让学生明 确导数法求单调区间的适用 类型及解题步骤。 选用了此高考题可以进一步 加强学生对用“导数法”求

2 2 3? 5? C. ( , ) 2 2

A. (

? 3?
,

)

B . (? , 2? ) D . (2? , 3? )

单调区间的掌握。 同时由于此 题难度不太大, 对基础中下的 学生可起到激发信心的作用。

师:利用导数的正负可以判断函数的增减性,求函 数的单调区间,同样,利用导数的正负还可以绘制 函数的大致图象。

1.本题有一定的抽象性,是 本节的难点, 这正是将课本两 个例题调换顺序讲解的原因。

例 2.已知导函数的下列信息: 当 2<x<3 时,f ' (x)<0; 当 x>3 或 x<2 时,f ' (x)>0; 当 x=3 或 x=2 时,f ' (x)=0。 试画出函数 f ( x )图象的大致形状。

2. 本题是一道开放性的题目, 学生的答案也许是“百花齐 放”,图象可能向“内”弯 曲,可能向“外”弯曲,也可 能是条直线。 教师就学生中主 要出现的两类答案进行投影

2. 应 用 导 数 信 息 确 定 函 数 大 致 图 象 例 题 讲 解

(分析题意后让学生尝试画图,并就学生中出现的 两类答案进行投影分析。 )

分析,提出“折点”问题,

解决办法: 让学生回顾前面讲过的(如: 教材 P84 例 2)导数为零的点 问:两图有何异同? (引导学生得出:) 附近图象几乎没有升降变化, 而“折点”附近图象升降变 化很大, 对于基础不是特别好 的班级, 课堂上也只能这样点 到为止。 追问:是否都行呢? 师分析:由于在 A、B 两点处 f ' (x)=0,根据前面 的学习,我们知道,导数为零的点的附近图象应该 几乎没有升降变化, 而右图在这两处升降变化很大, 因此,右图不正确。

相同:都满足在 (2,3) 上递减,在 ( -∞,2)和 (3,+∞)上递增;主要不同:在 A、B 处即在 x=2 和 x=3 处,左图是平滑的,右图是折点。

师:这里 A,B 两点比较特殊,书上称之为“临界 点”,关于“临界点”更深入的知识,我们下节课 再讨论。 新课程的学习提出“学会看 刚才 f ' (x)的信息是用文字形式给出,f ' (x)的 信息也可以用图形给出,比如: 图是 21 世纪成年人必须具备 的能力。”本课就是个机会, 通过此题进一步培养学生看 设 f ' (x)是函数 f (x) 的导函数,f ' (x)的图象 如下,则 f (x) 的图象最有可能的是( C ) 图及数形结合的能力。

(教师引导学生分析解答)

巩 固 训 练

通过这堂课的研究,你明确 了 四、心得与体会 是 , 有 你还存在的疑惑之处 。 ,你的收获与感受

让学生按这一模式进行小结, 培养学生学习——总结—— 学习——反思的良好习惯, 同 时通过自我的评价来获得成 功的快乐, 提高学生学习的自 信心。

必做题:课本 :P101 4, P107 A 组 1 五、作业设计 选做题:

函数f ( x ) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c , 其中a , b, c为 将作业设计为必做题与选做 常数,当a 2 ? 3b ? 0时,f ( x )在R上( A ) 题可使不同基础的学生得到 ( A)增函数 ( B )减函数 (C )常数 ( D )既不是增函数也不是减函数
相应的训练和提高。

六、板书计划


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