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2019届高中数学 2教师教案大全 6.(4.2.3 直线与圆的方程的应用)

4.2.3 直线与圆的方程的应用 整体设计 教学分析 直线与圆的方程在生产、 生活实践以及数学中有着广泛的应用.本小节设置了一些例题,分别说明直线与圆的方 程在实际生活中的应用,以及用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程. 三维目标 (1)理解直线与圆的位置关系的几何性质; (2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;用坐标法解决几何问题的步骤:第一步:建立适当的平面直角 坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数 问题;第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论. (3)会用“数形结合”的数学思想解决问题.让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的方程的应用,培养学生分析问 题与解决问题的能力. 重点难点 教学重点:求圆的应用性问题. 教学难点:直线与圆的方程的应用. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.如图 1,某城市中的高空观览车的高度是 100 m, 图1 在离观览车约 150 m 处有一建筑物,某人在离建筑物 100 m 的地方刚好可以看到观览车,你根据上述数据,如何 求出该建筑物的高度?要解决这个问题,我们继续研究直线与圆的方程的应用,教师板书课题:直线与圆的方程的应 用. 思路 2.同学们,前面我们学习了圆的方程、直线与圆的位置关系、圆和圆的位置关系,那么如何利用这些关系来解决 一些问题,怎样解决?带着这些问题我们学习直线与圆的方程的应用.教师板书课题:直线与圆的方程的应用. 推进新课 新知探究 提出问题 ①你能说出直线与圆的位置关系吗? ②解决直线与圆的位置关系,你将采用什么方法? ③阅读并思考教科书上的例 4,你将选择什么方法解决例 4 的问题? ④你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗? ⑤你能利用“坐标法”解决例 5 吗? 活动: 学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑 解决问题的思路,要全面考虑,发散思维.①学生回顾学习的直线与圆的位置关系的种类;②解决直线与圆的位置关 系,可以采取两种方法;③首先考虑问题的实际意义,如果本题出在初中,我们没有考虑的余地,只有几何法,在这里当 然可以考虑用坐标法,两种方法比较可知哪个简单;④回顾圆的定义可知确定一个圆的方程的条件;⑤利用“坐标 法”解决问题的关键是建立适当的坐标系,再利用代数与几何元素的相互转化得到结论. 讨论结果:①直线与圆的位置关系有三类:相交、相切、相离. ②解决直线与圆的位置关系,将采用代数和几何两种方法,多数情况下采用圆心到直线的距离与半径的关系来解决. ③阅读并思考教科书上的例 4,先用代数方法及坐标法,再用几何法,作一比较. ④你能分析一下确定一个圆的方程的要点,圆心坐标和半径,有时关于 D、E、F 的三个独立的条件也可. ⑤建立适当的坐标系,具体解法我们在例题中展开. 应用示例 思路 1 例 1 讲解课本 4.2 节例 4,解法一见课本. 图2 解法二:如图 2,过 P2 作 P2H⊥OP.由已知,|OP|=4,|OA|=10. 在 Rt△ AOC 中,有|CA|2=|CO|2+|OA|2 设拱圆所在的圆的半径为 r,则有 r2=(r-4)2+102. 解得 r=14.5. 在 Rt△ CP2H 中,有|CP2|2=|CH|2+|P2H|2. 因为|P2H|=|OA2|=2,于是有|CH|2=r2-|OA2|2=14.52-4=206.25. 又|OC|=14.5-4=10.5,于是有|OH|=|CH|-|CO|= 206.25 -10.5≈14.36-10.5=3.86. 所以支柱 A2P2 的长度约为 3.86 cm. 点评:通过课本解法我们总结利用坐标法解决几何问题的步骤是:第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和 方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数问题;第三步:将 代数运算结果“翻译”成几何结论. 把两种解法比较可以看出坐标法通俗易懂,几何法较难想,繁琐,因此解题时要有所选择. 变式训练 已知圆内接四边形的对角线互相垂直,求证:圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半. 图3 解:如图 3,以四边形 ABCD 互相垂直的对角线 CA、DB 所在直线分别为 x 轴、y 轴,建立适当的平面直角坐标系,设 A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d). 过四边形 ABCD 的外接圆的圆心 O1 分别作 AC、BD、AD 的垂线,垂足分别为 M、N、E, 则 M、 N、 E 分别为线段 AC、 BD、 AD 的中点,由线段的中点坐标公式,得 x O =xm= 1 a?c b?d a d , y O =yn= ,xE= ,yE= . 1 2 2 2 2 所以|O1E|= ( a c a 2 b d d 2 1 2 ? ? ) ?( ? ? ) ? b ? c2 . 2 2 2 2 2 2 2 1 |BC|. 2 又|BC|= b 2 ? c 2 ,所以|O1E|= 点评:用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素、点、直线、圆.将几何问题转化为代数问题, 然后通过代数运算解决代数问题,最后解释代数运算结果的几何意义,得到几何问题的结论. 例 2 有一种大型商品,A、B 两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是:每单位距 离 A 地的运费是 B 地运费的 3 倍,已知 A、B 两地相距 10 km,居民选择 A 或 B 地购买这种商品的标准是:包括运 费和价格的总费用较低.求 A、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如 何选择购货地点. 活动:学生先审题,然后思考或讨论,学生有困难教师可以提示引导,建立适当的坐标系,这里以 AB 所在直线为 x 轴, 线段 AB 的中点为原点建立直角坐标系较简单,假设一点距 A 地近,且费

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