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怀化市2015年上学期高一数学期末考试试题含答案


怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷 2014-2015 年下学期期考 高一数学

命题人:新晃一中 徐东柏 审题人:市教科院 张理科 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. a ?1 1.计算机执行右边的程序段后,输出的结果是 A. 1, 3 B. 4, 1 C. 4, ? 2 D. 1, ? 2 b?3 2.计算 sin(?240 ) 的值为 A.

a ? a?b b ? a ?b
C.

3.以下给出的函数中,以 ? 为周期的奇函数是 A. y ? cos2 x ? sin 2 x B. y ? sin | x |

3 2

B. ?

1 2

1 2

D. ?

3 2

PRINT a , b (第 1 题图) D. y ? tan

C. y ? sin x ? cos x

x 2

4.要从已编号( 01 ~ 60 )的 60 枚最新研制的某型导弹中随机抽取 6 枚来进行发射试验, 用系统抽样方法确定所选取的 6 枚导弹的编号可能是 A. 5,15, 25,36, 45,55 B. 2, 4,8,16,32, 48 C. 2,12,23,34,45,56 D. 3,13, 23,33, 43,53

5.若向量 a ? (2, x), b ? (3,6) 为共线向量,则 x 的值等于 A.2 B. 3 C. 4 D.5

6.设一组数据的平均数是 2.8 ,方差是 3.6 ,若将这组数据中的每一个数据都加上 10 ,得到 一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是 A. 13.6



12.8

B. 2.8

13.6

C. 12.8

13.6

D. 12.8

3.6

7.一只蚂蚁在三边长分别为 3、4、5 的三角形面上自由爬行,某时刻该蚂蚁距离三角形的三 个顶点的距离不超过 1 的概率为 A.

? 6

B.

? 12
5 3

C.
2

1 3

D.

1 2
开始

8.用秦九韶算法计算函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 2x ? x ? 3 的值, 若 x ? 2 ,则 V3 的值是 A. 12 B. 29 C. 55 D. 47

S ? 1, i ? 1
S ? S ? (3 ? i) ? 1

9.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序, 则输出的 s 的值为 A.-1 B. 1 C. 0 D. 3

i ? i ?1

i ?4?
是 输出 S 结束

否 第 9 题 图

10.已知向量 a ? (cos75 ,sin 75 ), b ?(cos15 ,sin15 ) , 则 a ? b 的值为

A.

1 2

B. 1

C. 2

D. 3

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共计 20 分. 请把答案填在答题卡上的相应横 线上. 11.四进制数 123(4) 化为十进制数为 12. 若 AP ? . .

1 BP , AB ? t BP ,则 t 的值是 3
1 2

13.函数 f ( x) ? sin 2 x 的图像可以由 g ( x) ? sin(2 x ? ) 的图像向左平移 14. 下列式子描述正确的有 ① sin1 ? cos1 ? sin1 ? cos1 ; ③ cos2 ? ? (1 ? sin ? )(1 ? sin ? ) ; ⑤ 2sin x ? 1 ? cos 2 x ;
2

个单位得到.

. ② a ? b ? 0 ?| a ? b |?| a ? b | ; ④ (a ? b)2 ? a ? b ; ⑥ sin(
?
2 2

?

? ? ) ? cos( ? ? ) . 6 3

?

15.在平面斜坐标系 xOy 中,?xOy ? 60 ,平面上任意一点 P 关于斜坐标系 xOy 的斜坐标 定义为: 若 OP ? xe1 ? ye2 , 其中向量 e1 , e2 分别为斜坐标轴 x, y 轴同方向的单位向量, 则P 点的坐标为 ( x, y ) . (1) 若 P 点的坐标为 (3, ?2) ,则 | OP |? ; .

(2) 以 O 为圆心,2 为半径的圆在斜坐标系下的方程为

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 50 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 7 分)

1 ,求下列式子的值. 2 4sin ? ? cos ? (1) sin ? ? cos ?
已知 tan ? ?

(2) sin ? ? sin 2?
2

17. (本小题满分 7 分) 将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷两 次,记第一次出现的点数为 x ,第二次出现的点数为 y . (Ⅰ)求事件 | x ? y |? 2 的概率; (Ⅱ)求事件“点 ( x, y ) 在圆 x ? y ? 17 面上” (包括边界)的概率.
2 2

18. (本小题满分 8 分) 从某校高一年级 800 名学生中随机抽取 100 名测量身高, 测量后发现被抽取的学生身高

, 160) ,第二组 全部介于 155 厘米和 195 厘米之间,将测量结果分为八组:第一组 [155 [160, 165) , ??,
0.06
频率 组距

第八组 [190, 195) ,得到频率 分布直方图如右. (Ⅰ)计算第七组[185,190) 的样本数;并估计这个高一年 级 800 名学生中身高在 170 厘 米以下的人数; (Ⅱ) 求出这 100 名学生身高 的中位数、平均数.
0.008 0.04

0.016

O

155

160

165

170

175

180

185

190

195

身高(cm)

身高(cm)

19. (本小题满分 8 分) 已知向量 a, b 不共线, t 为实数.

1 (a ? b) ,当 t 为何值时, A, B, C 三点共线; 3 1 (Ⅱ)若 | a |?| b |? 1 ,且 a 与 b 的夹角为 120 ,实数 x ? [ ?1, ] ,求 | a ? xb | 的取值范围. 2
(Ⅰ)若 OA ? a , OB ? t b , OC ?

20. (本小题满分 10 分) 如图所示,在 ?ABC 中, AB ? 4, AC ? 2 , 若 O 为 ?ABC 的外心. (Ⅰ)求 AO ? AC 的值; (Ⅱ)求 AO ? CB 的值; (Ⅲ)若平面内一点 P 满足 ( PA ? PB) ? AB ? ( PB ? PC) ? BC ? ( PC ? PA) ? CA ? 0 , 试判定点 P 的位置. C O · A 21. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? cos x ? sin(x ?

B

?
3

) ? 3 cos2 x ?

3 , x?R . 4

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期、对称轴和单调递增区间;

(Ⅱ)若函数 g ( x) 与 f ( x) 关于直线 x ? 最小值.

?
4

对称,求 g ( x) 在闭区间 [ ?

? ?

, ] 上的最大值和 4 2

高一数学参考答案与评分细则
一、选择题( 3 ? 10 ? 30 )
/ /

题号 答案
/

1 B
/

2 A

3 C

4 D

5 C

6 D

7 B

8 A

9 C

10 B

二、填空题( 4 ? 5 ? 20 ) 11.27; 12. ?

2 ; 3

13.

1 ; 14.①②③; 4

15. (1) 7 ; (2) x 2 ? y 2 ? xy ? 4 .

15 题提示:(1)?OP ? 3e1 ? 2e2 ,

?| OP |2 ? 9e1 ? 2 ? 3 ? 2e1 ? e 2 ? 4e 2 ? 9 ? 2 ? 2 ? 3 | e1 | ? | e2 | cos60? ? 4 ? 7 ,
故 | OP |? 7 . (2) ? | OP |?| xe1 ? ye2 |? 2 ,

2

2

?| OP |2 ? x 2 e1 ? 2 xy e1 ? e 2 ? y 2 e 2 ? 4
化简得 x 2 ? y 2 ? xy ? 4

2

2

即 x2 ? 2xy | e1 | ? | e2 | cos60? ? y 2 ? 4 , 三、解答题(本大题 6 个小题,共 50 分)

1 4 ? ?1 4 tan ? ? 1 2 2 16 解: (Ⅰ)原式 ? ? ? ????????3 分 1 tan ? ? 1 3 ?1 2 1 1 ( )2 ? 2 ? sin 2 ? ? 2sin ? cos ? tan 2 ? ? 2 tan ? 2 ? ? 3 ????7 分 (Ⅱ)原式 ? ? ? 2 2 2 2 1 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 5 ( )2 ? 1 2 17 解:将一枚骰子抛掷两次出现 6 ? 6 ? 36 种结果。
(Ⅰ) 设事件“ | x ? y |? 2 ”为事件 A ,则事件 A 出现的情况有

(1,3),(2,4),(3,1),(3,5),(4,2),(4,6),(5,3),(6,4) 共 8 种,则 P( A) ?
2 2

8 2 ? ????3 分 36 9

(Ⅱ)设事件“点 ( x, y ) 在圆 x ? y ? 17 面上”为事件 B ,则事件 B 出现的情况有

(1,1),(1, 2),,(1,3),(2,1),(2, 2),(2,3),(3,1),(3, 2),(1, 4),(4,1) ,共 10 种,
则 P( B) ?

10 5 ? ????????7 分 36 18

18 解:(Ⅰ)由第七组的频率为1 ? 5 ? (0.008 ? 0.008 ? 0.016 ? 0.016 ? 0.04 ? 0.04 ? 0.06) ? 0.06 , 则其样本数为 0.06 ?100 ? 6 ?????????2 分 由 5 ? (0.008 ? 0.016 ? 0.04) ? 0.32 , 则高一年级 800 名学生身高低于 170 厘米的人

数为 0.32 ?100 ? 8 ? 256 (人)?????????4 分 (Ⅱ)从图中易知由前四组的频率为 5 ? (0.008 ? 0.016 ? 0.04 ? 0.04) ? 0.52 ,

0.52 ? 0.5 ? 0.02 , 则在第四组中,由 0.02 ? 0.04 ? 0.5 知 175 ? 0.5 ? 174.5 , 所以中位数为 174.5cm ?????????6 分 平均数为: 157 .5 ? 0.04 ? 162 .5 ? 0.08 ? 167 .5 ? 0.2 ? 172 .5 ? 0.2 ? 177 .5 ? 0.3 182 .5 ? 0.08 ? 187 .5 ? 0.06 ? 192 .5 ? 0.04 ? 174 .1 (cm) ?????8 分
19 解: (Ⅰ) A, B, C 三点共线,则存在实数 ? ,使得 OC ? ?OA ? (1 ? ? )OB , 即 (a ? b) ? ? a ? (1 ? ? )tb , (Ⅱ)由 a ? b ?| a | ? | b | ? cos120 ? ? 因为 x ? [ ?1, ] ,

1 3

则? ?

1 1 , t ? ????????4 分 3 2

2 2 1 ,则 | a ? xb |2 ? a ? x 2 ? b ? 2 xa ? b ? x 2 ? x ? 1 , 2

1 2

当x ? ?

1 3 时, | a ? xb | 的最小值为 ???????5 分 2 2

当x ?

1 7 时, | a ? xb | 的最大值为 ?????????6 分 2 2

所以 | a ? xb | 的取值范围是 [

3 7 , ] ?????????8 分 2 2
1 | AC | , 2

20 解: (Ⅰ)由垂径分弦定理得 | AO | cos ?OAC ?

? ? AO ? AC ?| AC | ? | AO | cos?O A C
(Ⅱ)同样 AO ? CB ? AO ?( AB ? AC)

1 | AC |2 ? 2 ????3 分 2

?| AB | ? | AO | cos?OAB? | AC | ? | AO | cos?OAC
1 ? [| AB |2 ? | AC |2 ] ? 8 ? 2 ? 6 2
?????????? 6 分
2 2

(Ⅲ)由 ( PA ? PB ) ? AB ? ( PA ? PB ) ? ( PB ? PA) ? PB ? PA ? 0 ?| PA |?| PB | 同理有: | PB |?| PC | , | PC |?| PA |

?| PA |?| PB |?| PC | ,即点 P 与 O 点重合,
所以点 P 为 ?ABC 的外心 ?????????? 10 分

21 解:由 f ( x) ? cos x ? sin( x ? ) ? 3 cos x ?
2

?

3

3 4

? cos x ? (sin x ? cos

?

? 3 ? cos x ? sin ) ? 3 cos 2 x ? 3 3 4

1 3 3 1 3 3 ? sin x ? cos x ? cos 2 x ? ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? 2 2 4 4 4 4
1 ? ? sin(2 x ? ) ??????????3 分 2 3 2? ? ? ??????????4 分 (Ⅰ)函数 f ( x ) 的最小正周期为 T ? 2 ? ? k? 5? k? 5? ? (k ? Z ) ????5 分 ? 令 2 x ? ? k? ? 得 x ? , 故对称轴为 x ? 2 12 3 2 2 12 ? ? ? ? 5? ? x ? k? ? (k ? Z ) , 由 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k ? ? 得 k ? ? 2 3 2 12 12 ? 5? ](k ? Z ) ????????7 分 即单调增区间为 [k? ? , k? ? 12 12
(Ⅱ)设 g ( x) 图像上任意一点为 ( x, y ) ,

? x, y ) 在函数 f ( x) 上,即 4 2 ? 1 ? ? 1 2? 1 2? g ( x) ? f ( ? x) ? sin[2( ? x) ? ] ? sin( ? 2 x) ? ? sin(2 x ? ) ?? 8 分 2 2 2 3 2 3 2 3
对称的点 ( 又?

点 ( x, y ) 关于 x ?

?

?

?
4

?x?

?
2

,所以 ?

7? 2? ? 1 1 2? 3 ? 2x ? ? ,则 ? ? sin(2 x ? ) ? 6 3 3 2 2 3 4
9分

故 g ( x) ? [ ?

3 1 , ] ?????????? 4 2

所以 g ( x) min ? ?

1 3 ; g ( x ) max ? ?????????? 2 4

10 分


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