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吉林省延边州2016届高三数学下学期质量检测试题 文


延边州 2016 年高考复习质量检测 文科数学
注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的 姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非 选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题前,考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号 涂黑。 第Ⅰ卷 (选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有 一项是 符合题目要求的,请将正确选项填写在答题卡上。

1,2? ? M ? ? 1,2,3,4? ,则集合 M 的个数是 1.已知集合 M 满足 ?
A. 4 2.复数 B. 3 C. 2 D. 1

2i 的共轭复数是 1? i
B. ? 1 ? i C.

A. 1 ? i

1? i

D.

?1? i

3.若向量 a ? (3,4) ,且存在实数 x , y 使得 a ? xe1 ? ye2 ,则 e1 , e2 可以是 A. e1 ? ?0,0?, e2 ? ?? 1,2? C. e1 ? ?? 1,2?, e2 ? ?3,?1? 4. sin50 cos 20 ? sin40 cos70 等于
0 0 0 0

B. e1 ? ?? 1,3?, e2 ? ?2,?6? D. e1 ? ? ?

? 1 ? ,1?, e 2 ? ?1,?2? ? 2 ?

A. 1

B.

3 2

C.

2 2

D.

1 2
A C B

5.如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均 为 2,且侧棱 AA1⊥平面 A1B1C1,正视图是正 方形,俯视图是正三角形,该三棱柱的侧视图 面积为 A. 2 3 B.
C1 A

B A1 B1
-1-

正视图

B1

3

A1

俯视图

C. 2 2

D. 4

?2 x ? 2 y ? 1 ? 6.若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ,则目标函数 z ? 3 x ? 2 y 的最大值是 ?2 x ? y ? 1 ?
A.3 B.4 C.5 D.6
开始 输入正整数P,Q Q=0? 是

7.执行如图所示的程序框图,如果输入 P=153, Q=63, 则输出的 P 的值是 A. 2 B. 3 C. 9 D. 27

否 R为P除以Q的余数 P=Q Q=R 输出P 结束

8.在 ? ABC 中,若 a 2 ? b 2 ? 3bc,且 A.

? 6

B.

? 3

c ? 2 3 ,则角 A ? b 5? 2? C. D. 3 6

9.下列四种说法中,正确的个数有 ① 命题“ ? x ? R ,均有 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”的否定是: “ ?x0 ? R ,使得 ; x0 ? 3 x0 ? 2 ? 0 ”
m ② ?m ? R ,使 f ( x) ? mx
2

2

? 2m

是幂函数,且在 ( 0,? ?) 上是单调递增;

③ 不过原点 (0,0) 的直线方程都可以表示成

x y ? ? 1; a b

④ 回归直线的斜率的估计值为 1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为 ? =1.23x+0.08 y A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个

?x ? ? )(? ? 0) 10.如图所示,M, N 是函数 y ? 2 sin(
图象与 x 轴的交点,点 P 在 M, N 之间的图象上运 动,当△MPN 面积最大时, PM ? PN , 则 ? =
M

y P N o x

A.

? 4

B.

? 3

C.

? 2

D.

8

x2 y2 2 2 11.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a >0, b >0)的渐近线与圆 ( x ? 2) ? y ? 1 相切,则该双 a b
曲线的离心率等于
-2-

A. 2

B.

6 2

C.

3 2 2

D.

2 3 3

? x 2 ? 6 x ? 6, x ? 0 12 . 设 函 数 f ( x ) ? ? , 若 互 不 相 等 的 实 数 x1 , x 2 , x 3 满 足 ?3 x ? 4, x ? 0
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 3 ) ,则 x1 ? x 2 ? x 3 的取值范围是
A. ?

? 11 ? ,6? ? 6 ?

B. ?

? 11 ? ,6 ? ? 3 ?

C. ?

? 20 26 ? , ? ? 3 3?

D. ?

? 20 26? , ? ? 3 3?

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分, 第 13 题-21 题为必考题, 每个试题考生都必须作 答, 第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上。 13.设函数 f ( x ) ? ?

?log3 x , ( x ? 0) 1 ,若 f ( x ) 是奇函数,则 g ( ? ) 的值为 9 ? g( x ), ( x ? 0)

.

14.已知直线 y ? x ? b, b ? ?? 2,3?,则直线在 y 轴上的截距大于 1 的概率是

.

15 .三棱锥 P ? ABC 中, ΔAB C 为等边三角形, PA ? PB ? PC ? 2 , PA ? PB ,三棱锥

P ? AB C 的外接球的表面积为________.
16.给出下列命题: ① 若 a ? b ? a ? b ,则存在实数 ? ,使得 b ?
0.5

?a ;

② a ? log 1 2, b ? log 1 3, c ? ?
3 2

?1? ? 大小关系是 c ? a ? b ; ? 3?

③ 已 知 直 线 l 1 : ax ? 3 y ? 1 ? 0 , l 2 : x ? by ? 1 ? 0 , 则 l 1 ? l 2 的 充 要 条 件 是

a ? ?3 ; b

④ 已知 a ? 0, b ? 0, 函数 y ? 2ae ? b 的图像过点 ?0,1? ,则
x

1 1 ? 的最小值是 4 2 . a b

其中正确命题的序号是

(把你认为正确的序号都填上).

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 数列 ?a n ? 是首项 a1 ? 4 的等比数列, S n 为其前 n 项和,且 S 3 , S 2 , S 4 成等差数列,

-3-

n? N? .
(Ⅰ) 求数列 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ) 若 bn ? log2 an ,设 Tn 为数列 ? 18. (本小题满分 12 分) 2015 年 7 月 9 日 21 时 15 分,台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆, 造成 165.17 万人受灾,5.6 万人紧急转移安置,288 间房屋倒塌,46.5 千公顷农田受灾, 直接经济损失 12.99 亿元。距离陆丰市 222 千米的梅州也受到了台风的影响,适逢暑假, 小明调查了梅州某小区的 50 户居民由于台风造成的经济损失,将收集的数据分成

?

1 ? ? 的前 n 项和,求 Tn . ? bn bn ? 1 ?

?0,2000? , ?2000,4000? , ?4000,6000?, ?6000,8000?, ?8000,10000 ? 五组,并作出如

下频率分布直方图(图 1) : (Ⅰ) 试根据频率分布直方图估计小区每户居民的平均损失(同一组中的数据用该组区间 的中点值作代表) ; (Ⅱ) 小明向班级同学发出倡议,为该小区居民捐款。现从损失超过 6000 元的居民中随 机抽出 2 户进行捐款援助,求这两户在同一分组的概率; (III)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款,小明调查的 50 户居民捐款情况如 图 2,根据图 2 表格中所给数据,分别求 b, c, a+b, c+d, a+c, b+d, a+b+c+d 的值, 并说明是否有 95%以上的把握认为捐款数额多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关? 经济损失不超过 经济损失超过 合计 4000 元 4000 元 捐款超过 500 元 捐款不超 过 500 元 合计
(图 1)

a=30 c

b d=6

(图 2)

P(K2≥k) k

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

附:临界值表参考公式: K 2 ?

n( ad ? bc )2 ,n ? a ? b ? c ? d . ( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

19. (本小题满分 12 分) 如图,在矩形 ABCD 中,AB=4, AD=2, E 是 CD 的中点,O 是 AE 的中点,以 AE 为折痕 向上折起,使 D 为 D? , 且 D?B ? D?C . (Ⅰ) 求证:平面 D?AE ? 平面 ABCE; (Ⅱ) 求四棱锥 D? ? ABCE 的体积. D' E D C

O O A B A

E C B
-4-

20. (本小题满分 12 分) 已知点 P 为 y 轴上的动点,点 M 为 x 轴上的动点,点 F(1,0)为定点,且满足

1 PN ? NM ? 0, PM ? PF ? 0 . 2
(Ⅰ) 求动点 N 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ) 过点 F 且斜率为 k 的直线 l 与曲线 E 交于两点 A,B. 试判断在 x 轴上是否存在点 C, 使得 CA ? CB ? AB 成立,请说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 已知 x=1 是函数 f(x)=mx -3(m+1)x +nx+1 的一个极值点,其中 m、n∈R,m<0. (Ⅰ) 求 m 与 n 的关系表达式; (Ⅱ) 当 m ? ?
3 2

2

2

2

1 时,求 f(x)的单调区间; 3

(Ⅲ) 当 x∈[-1,1]时,函数 y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m,求 m 的 取值范围. 请考生在题(22) (23) (24)中任选一题作答,如果多做,则按所做的的第一题计分。做 题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知⊙ O 1 和⊙ O 2 相交于 A, B 两点,过 点 A 作⊙ O 1 的切线交⊙ O 2 于点 C,过点 B 作两 圆的割线分别交⊙ O 1 ,⊙ O 2 于点 D, E, DE 与 AC 相交于点 P. (Ⅰ) 求证:PE·AD=PD·CE; (Ⅱ) 若 AD 是⊙ O 2 的切线,且 PA=6, PC=2, BD=9, 求 AD 的长.

A O1 D B P O2 E C

23. (本小题满分 10 分)选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程

1 ? x?? t ? 2 ? 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,若以原点 O 3 ?y ? 2? t ? 2 ? 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 已知圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4 cos? , 设 M是
圆 C 上任一点,连结 OM 并延长到 Q ,使 OM ? MQ . (Ⅰ) 求点 Q 轨迹的直角坐标方程; (Ⅱ) 若直线 l 与点 Q 轨迹相交于 A , B 两点,点 P 的直角坐标为 ?0,2? ,求 PA ? PB 的值.

-5-

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f (x)=|x-1|. (Ⅰ) 解不等式 f (x)+f (x+4)≥8; (Ⅱ) 若|a|<1,|b|<1,且 a≠0,求证:f (ab)>|a|f (

b ). a

文科参考答案及评分标准 题号 选项 13、2 1 B 2 D 3 C 4 D 5 A 6 C 7 C 8 A 9 B 10 A 11 D 12 B

14、2/5 或 0.4

15、 12?

16、①②(选错或少选或多选都为 0 分)

17、(Ⅰ)设等比数列 ?an ? 的公比为 q ????????????1 分 当 q ? 1 时, S 3 ? 12, S 2 ? 8, S 4 ? 16 ,不成等差数列????????2 分

4(1 ? q 3 ) 4(1 ? q 2 ) 4(1 ? q 4 ) 所以 q ? 1 ,故 S 3 ? ???3 分 , S2 ? , S4 ? 1? q 1? q 1? q
因为 2S 2 ? S 3 ? S 4 ????????????4 分 所以

8(1 ? q 2 ) 4(1 ? q 3 ) 4(1 ? q 4 ) ? ? 1? q 1? q 1? q
3 2

即 q ? q ? 2q ? 0 ????????????5 分
4

因为 q ? 0, q ? 1 所以 q ? ?2 所以 an ? 4 ? (?2) n?1 ? (?2) n?1 ????????????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? log2 an ? log2 (?2) 所以
n?1

? n ? 1 ????????????8 分

1 1 1 1 ? ? ? bn bn?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2
1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ... ? ? ????????????10 分 2 3 3 4 n ?1 n ? 2

所以 Tn ? 所以 Tn ?

1 1 ? ????????????12 分 2 n?2

18.解: (Ⅰ)记每户居民的平均损失为 x 元,则:

-6-

x ? (1000 ? 0.00015 ? 3000 ? 0.0002 ? 5000 ? 0.00009 ?????4 分 ? 7000 ? 0.00003 ? 9000 ? 0.00003) ? 2000 ? 3360
(Ⅱ)由频率分布直方图可得,损失不少于 6000 元的居民共有(0.00003+0.00003) ×2000×50=6 户, 损失为 6000~8000 元的居民共有 0.00003×2000×50=3 户, 损失不少于 8000 元的居民共有 0.00003×2000×50=3 户,?????5 分 设损失为 6000~8000 元的三户居民为 a,b,c,损失不少于 8000 元的三户居民为 1,2,3。 则 损 失 超 过 6000 元 的 居 民 中 随 机 抽 出 2 户 的 情 况 有 : ( a,b ) ,(a,c),(b,c),(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),(1,2), (1,3),(2,3),共 15 种,其中两户在同一分组的有 6 种, 因此,这两户在同一分组的概率为 P ?

6 2 ? ???????8 分 15 5

(没有罗列组合或树状图的只得出 2/5 或 0.4 的给 1 分) (Ⅲ)解得 b=9,c=5,a+b=39,c+d=11,a+c=35,b+d=15,a+b+c+d=50????9 分

50 ? (30 ? 6 ? 9 ? 5) 2 K ? 39 ?11? 35 ?15 ,???????11 分 ? 4.046 ? 3.841
2

所以有 95℅以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济损失是否 4000 元有关.?????????12 分 19、(Ⅰ)证明:连接 D ?O ???????????1 分 因为 E 为 CD 的中点,所以

D ?E ? DE ?

1 CD , 2 1 CD 2

D' E C O A B F

又在矩形 ABCD 中, AB=4.BC=2 所以 D ?A ? DA ?

0 且 ?ADE ? ?AD?E ? 90 ,所以 D ?A ? D ?E ,又 O 为

AE 的中点 所以 D?O ? AE ???????????3 分

又 D ?B ? D ?C ,设 F 为 BC 的中点,则 OF ? BC, D?F ? BC 所以 BC ? 平面 D ?OF ???????????5 分 所以 BC ? D?O ,又 BC 与 AE 相交, 所以 D ?O ? 平面 ABCE 又因为 D ?O ? 平面 D?AE 所以平面 D ?AE ? 平面 ABCE???????????6 分 (证明过程不唯一,只要符合逻辑、证明正确给 6 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知 D ?O 为四棱锥 D ? ? ABCE 的高, 在直角三角形 ADE 中,求得 D ?O = 2 ???????????8 分

-7-

又底面 ABCE 是梯形,所以其面积为 S ABCE ?

( EC ? AB ) ? BC ? 6 ???10 分 2

所以 V D?? ABCE ?

1 S ABCE ? D ?O ? 2 2 ???????????12 分 3 1 20、(Ⅰ)设 N ( x, y) ,则由 PN ? NM ? 0 得 P 为 MN 的中点????2 分 2 y y y 所以 P (0, ), M ( ? x,0) ,所以 PM ? (? x,? ), PF ? (1,? ) ???????4 分 2 2 2

y2 ? 0 ,即 y 2 ? 4 x ????????????5 分 所以 PM ? PF ? ? x ? 4
所以动点 N 的轨迹 E 的方程为 y 2 ? 4 x ????????????。6 分 (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ????????????7 分

由?

? y ? k ( x ? 1) ? y ? 4x
2

2 消去 x 得 y ?

4 y ? 4 ? 0 ????????????8 分 k 4 , y1 y 2 ? ?4 ????????9 分 k

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 y1 ? y 2 ?

假设存在点 C (m,0) 满足条件,则 CA ? ( x1 ? m, y1 ),CB ? ( x2 ? m, y2 )

CA ? CB ? x1 x 2 ? m( x1 ? x 2 ) ? m 2 ? y1 y 2
2 y1 y 2 2 y12 ? y 2 ?( ) ? m( ) ? m2 ? 4 4 4 ????????????10 分 m ? ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2 y1 y 2 ? m 2 ? 3 4 4 ? m 2 ? m( 2 ? 2) ? 3 k 4 2 因为 ? ? ( 2 ? 2) ? 12 ? 0 ????????????11 分 k 4 2 所以,关于 m 的方程 m ? m( 2 ? 2) ? 3 ? 0 有解 k

?

?

所以假设成立,即在 x 轴上存在点 C,使 CA ? CB 21、解 (1)f′(x)=3mx -6(m+1)x+n. 因为 x=1 是 f(x)的一个极值点, 所以 f′(1)=0, 即 3m-6(m+1)+n=0,所以 n=3m+6. (2)由(1)知,f′(x)=3mx -6(m+1)x+3m+6
2 2

2

2

? AB 成立????12 分

2

???????????4 分

其中 m=-1/3,所以 f ?( x ) ? ? x ? 4 x ? 5 .令 f ?( x ) ? 0
2

-8-

解得 x1 ? 1, x 2 ? ?5 ???????????6 分 当 x 变化时,f(x)与 f′(x)的变化如下表:

x f′
(x)

(-∞, ? 5 ) -

?5
0

( ? 5 ,1) +

1 0 极大 值

(1,+∞) -

f(x)

单调递减

极小值

单调递增

单调递减

由上表知, f(x)在 ?? ?,?5? ,(1,+∞)上单调递减, 在 ?? 5,1? 上单调递增. (3)由已知,得 f′(x)>3m, 即 mx -2(m+1)x+2>0. 2 2 2 ∵m<0,∴x - (m+1)x+ <0,
2

???????????(8 分)

m

m

? 1? 2 2 即 x -2?1+ ?x+ <0,x∈[-1,1].① ?
m? m


g(x) = x2 - 2 ?1+ ? x + m

? ?

1?

2

?

m

, 其 函 数 图 象 开 口 向 上 , 对 称 轴

x?

m?1 ???????????9 分 m
当?1?

m ?1 1 ? 1 时,即 m ? ? 时, m 2
2 2 ? ?1+2+ + <0, m m 即? ? ?-1<0

? ?g(-1)<0, 应满足? ?g(1)<0 ?

4 解得 m>- . 3 所以 ?

4 1 ? m ? ? ???????????10 分 3 2



m?1 1 ? ?1 时,即 m ? ? m 2

由题意①式恒成立.
?g(-1)<0, ? ∴? ?g(1)<0 ?

2 2 ? ?1+2+ + <0, m m ?? ? ?-1<0

-9-

4 ? ? <-3, ? ?m ? ?-1<0 又 m<0,∴ ?

4 ? m>- . 3

1 ? m ? 0 ???????????11 分 2

? 4 ? ∴综上所述,m 的取值范围是?- ,0?.????????12 分 ? 3 ?
###此问,不讨论直接由∴?
? ?g(-1)<0, ?g(1)<0 ?

得结论给满分

四、选做题 22、(Ⅰ) 证明:连接 AB, ???????? 1 分 因为 AC 是⊙ O1 的切线,所以 ?BAC ? ?D ?2 分 又因为 ?BAC ? ?E ,所以 ?D ? ?E ,???3 分 所以 AD//EC,所以 ?PCE ∽△PAD?????5 分 即 PE ? AD ? PD ? CE ?????????6 分 (Ⅱ)设 BP=x,PE=y, 因为 PA=6,PC=2,所以 xy=12?..①?????7 分 根据(Ⅰ) ?PCE ∽△PAD 得

A O1 B P C O2 E

D

DP AP 9 ? x 6 ? ? ??.②???????8 分 即 EP CP y 2

由①②解得 x=3,y=4,或 x=-12,y=-1(舍去)????????????9 分 所以 DE=9+x+y=16
2 因为 AD 是的切线,所以 AD ? DB ? DE ? 9 ? 16

所以 AD=12

????????????10 分

2 2 23. 解: (Ⅰ)圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 ,设 Q ( x, y ) ,则 M ( ,
2 2 ∴ ( ? 2) ? ( ) ? 4

x y ), 2 2

x y 2 2 2 2 ∴ ( x ? 4) ? y ? 16 这就是所求的直角坐标方程?????5 分

1 ? x?? t ? 2 ? 2 2 2 2 (Ⅱ)把 ? 代入 ( x ? 4) ? y ? 16 ,即代入 x ? y ? 8x ? 0 ?y ? 2 ? 3 t ? ? 2 1 3 2 1 得 (? t )2 ? (2 ? t ) ? 8(? t ) ? 0 ,即 t 2 ? (4 ? 2 3)t ? 4 ? 0 2 2 2
- 10 -

令 A, B 对应参数分别为 t1 , t2 ,则 t1 ? t 2 ? ?(4 ? 2 3) ? 0 , t1 ? t2 ? 4 ? 0 所以 PA ? PB ? t1 ? t 2 ? t1 ? t 2 ? 4 ? 2 3 ??????10 分

? ?-2x-2,x≤-3, -3≤x≤1, 24.解: (Ⅰ)f (x)+f (x+4)=|x-1|+|x+3|=?4, ?2x+2, x≥1. ?
当 x<-3 时,由-2x-2≥8,解得 x≤-5; 当-3≤x≤1 时,f (x)≤8 不成立; 当 x>1 时,由 2x+2≥8,解得 x≥3. 所以不等式 f (x)≤4 的解集为{x|x≤-5,或 x≥3}.

??????5 分

b (Ⅱ)f (ab)>|a|f ( )即|ab-1|>|a-b|. a 因为|a|<1,|b|<1, 2 2 2 2 2 2 2 2 所以|ab-1| -|a-b| =(a b -2ab+1)-(a -2ab+b )=(a -1)(b -1)>0, 所以|ab-1|>|a-b|.故所证不等式成立.???????????10 分

- 11 -


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