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2019年人教版高中必修五数学第2章 数列2.3 第1课时优质课课件_图文

?2.3 等差数列的前n项和 等差数列前n项和 ?第1课时 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程,掌握 等差数列五个量a1,n,d,an,Sn之间的关系. ? ? 2.掌握等差数列前n项和公式、性质及其应用. 3.能熟练应用公式解决实际问题,并体会方程思 想. ? 如图,某仓库堆放的一堆钢管,最上面的一层有4 根钢管,下面的每一层都比上一层多一根,最下面的 一层有9根. ? ? [问题1] 共有几层?图形的横截面是什么形状? [问题2] 假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆 钢管,如图所示,则这样共有多少钢管? ? ? ? [提示] (4+9)×6=78. 1 [问题 提示]3] 2× 78=39. 原来有多少根钢管? [问题4] 能否利用前面问题推导等差数列前n项 和公式Sn=a1+a2+…+an? ? [提示] Sn=a1+a2+…+an Sn=an+an-1+…+a1 相加:2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)=n(a1+an) n?a1+an? ∴Sn= . 2 等差数列的前n项和公式 已知量 求和 公式 首项、末项与项数 n?a1+an? 2 Sn=_____________ 首项、公差与项数 n?n-1? na1+ 2 d Sn=________________ ? ? 对等差数列前n项和公式的理解 (1)等差数列的前n项和公式有两种形式,涉及a1, an,Sn,n,d五个量,通常已知其中三个量,可求另 外两个量,解答方法就是解方程组. n?a1+an? (2)当已知首项a1和末项an及项数n时,用公式Sn= 2 来求,用此公式时常结合等差数列的性质. (3)当已知首项a1和公差d及项数n时,用公式Sn=na1+ n?n-1? 2 d来求和. 1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S7=35,则 a4=( ) ? ? ? A.8 C.6 解析: 由Sn= B.7 D.5 n?a1+an? 2 得 7?a1+a7? 7×2a4 S7 = = 2 =35. 2 ∴a4=5. 2.在等差数列{an}中,a2=1,a4=5,则{an}的 前5项和S5=( ) ? ? ? A.7 解析: B.15 利用等差数列的性质求解. C.20 D.25 ∵{an}是等差数列,∴a2+a4=2a3=1+5,∴a3=3, 5?a1+a5? 5×2a3 ∴S5= = 2 =5a3=5×3=15. 2 ? 答案: B 3.在等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前 n项和Sn=100,则n=____________. ? 解析: ∵a3+a5=a1+a7=14,∴a7=13. 13-1 又a7=a1+(7-1)d,∴d= 6 =2. n?n-1?d Sn=na1+ . 2 n?n-1? ∴n×1+ 2 ×2=100. 解得n=10或n=-10(舍). ? 4.在等差数列{an}中,a6=10,S5=5,求a8和S8. 解析: 方法一:设数列{an}的首项a1,公差d,由已 知,得 a +5d=10, ? ? ? 1 ?a1=-5, ? 得? 1 ? 5a1+2×5×4d=5, ?d=3. ? ? ∴a8=a1+7d=-5+7×3=16. 8 8 S8=2(a1+a8)=2(-5+16)=44. 方法二:由已知,得S6=S5+a6=5+10=15, 6?a1+10? ∴S6= =15, 2 a6-a1 ∴a1=-5,d= =3, 6-1 ∴a8=a1+7d=-5+7×3=16, 8?a1+a8? S8 = =44. 2 合作探究 课堂互动 与前n项和有关的基本量的运算 ? ? ? ? 在等差数列{an}中, (1)a1=105,an=994,d=7,求Sn; (2)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求d. [思路点拨] 将等差数列问题利用化归思想转化 为基本量的关系,再利用方程的思想来解决,是通性 通法. [边听边记] (1)由an=a1+(n-1)d,且a1=105,d=7,得 994=105+(n-1)×7,解之得n=128. n?a1+an? 128×?105+994? ∴Sn= = =70 336. 2 2 n?a1+an? n?1-512? (2)由Sn= = =-1 022.解之得n=4.又由 2 2 an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,解之得d=-171. 一般地,等差数列的五个基本量a1, an,d,n,Sn,知道其中任意三个量可建立方程组, 求出另外两个量,即“知三求二”问题,若能巧妙地 利用等差数列(或前n项和)的性质会使计算更简便. ? ? ? ? 1.已知等差数列{an}中, (1)d=2,an=11,Sn=35,求a1和n; (2)a2+a5=19,S5=40,求a10. ?an=a1+?n-1?d, ? 解析: (1)由? n?n-1? Sn=na1+ 2 d, ? ? ?a1+2?n-1?=11, ? 得? n?n-1? na + 2 ×2=35, ? ? 1 ? ?n=5, 解方程组得? ? ?a1=3 ? ?n=7, 或? ? ?a1=-1. ?2a1+5d=19, ? (2)由题设可得? 5?5-1? 5a + 2 d=40, ? ? 1 ? ?2a1+5d=19, 即? ? ?a1+2d=8, ? ?a1=2, 解得? ? ?d=3, 故 a10=2+3×(10-1)=29. 与前n项和有关的最值问题 ? ? ? 已知等差数列{an}中,a1=9,a4+a7=0. (1)求数列{an}的通项公式; (2)当n为何值时,数列{an}的前n项和取得最大 值. ? [思路点拨] [规范解答] (1)由a1=9,a4+a7=0, 2分 4分 6分 得a1+3d+a1+6d=

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