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太原五中2016-2017学年度第二学期高三数学(理)


太原五中 2016-2017 学年度第二学期




?


2


?

出题人、校对人:张福兰 王彩风 史天保(2017 年 3 月 15 日) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个正确答案) 1. 设集合 U ? ?0,1, 2,3, 4,5? , A ? ?1, 2? , B ? x ? Z | x ? 5 x ? 4 ? 0 ,则 (CU A) ? (CU B) ? A. ?0,1,2,3? B. ?5? C. ?1,2,4? D. ?0, 4,5?

2.已知复数满足 ? z ? i ??1 ? 2i ? ? 2 ,则复数 z 在复平面内的对应点所在象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 已知 ? , ? 是两个不同平面,直线 l ? ? ,则“ ? // ? ”是“ l // ? ”的 A.充分不必要条件 C. 充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松 长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.右图是源 于其思想的一个程序框图, 若输入的 a 、b 分别为 5 、2 , 则输出的 n ? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5.设随机变量? 服从正态分布 N (1,? 2 ) ,若 P(? ? ?1) ? 0.2 ,则函数

1 f ( x) ? x3 ? x 2 ? ? 2 x 没有极值点的概率是 3 A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8

6.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的 三视图,则该几何体的体积为 A. 9 ? 16? B. 9 ? 18? C. 12 ? 18? D. 18 ? 18?

7.函数 y ? ln x ? x 的图像为
2

1

8. 已 知 函 数 f ? x? ? sin?? x? ? ? 的 部 分 图 象如 图 所 示 , 点

A

B

C

D

B, C 是该图象与 x 轴的交点,过点 C 的直线与该图象交于 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? D, E 两点,则 BD ? BE ? BE ? CE 的值为

?

??

?

A.-1

B. ?

1 2

C.

1 2

D.2

9. 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若公差 d ? 0, (S8 ? S5 )(S9 ? S5 ) ? 0 ,则 A. | a7 |?| a8 | B. | a7 |?| a8 | C. | a7 |?| a8 | D. a7 ? 0

10. 长方体 ABCD? A , 点 N 是平面 A1 B1C1 D1上的 1 B 1C 1 D 1 中, DC ? CC 1 ? 8, CB ? 4, AM ? MB

???? ?

????

MN 的最小值是 点,且满足 C1 N ? 5 ,当长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的体积最大时,线段
A. 6 2 B. 8 C.

21

D. 4 3

11. 已知双曲线 C1 :

x2 x2 y 2 ? y 2 ? 1 ,双曲线 C2 : 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , 4 a b

M 是双曲线 C2 的一条渐近线上的点,且 OM ? MF2 ,O 为坐标原点,若 S?OMF2 ? 16 ,且 C1 , C2 双 曲线的离心率相同,则双曲线 C2 的实轴长是 A. 32 B. 16 C. 8 D. 4

12. 已知函数 f ? x ? ?

x2 , x ? 0, e 为自然对数的底数,关于 x 的方程 ex

f ? x? ?

2 f ? x?

? ? ? 0 有四

个相异实根,则实数 ? 的取值范围是 A. ? 0,

? ?

2? ? e?

B. 2 2, ??

?

?

C. ? e ?

? ?

2 ? , ?? ? e ?
2

D. ?

? e2 4 ? ? 2 , ?? ? ?2 e ?

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.直线 m 经过抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点 F,与 C 交于 A,B 两点,且 AF ? BF ? 10 ,则线段 AB 的 中点 D 到 y 轴的距离为 14.已知 a ? .

??

2

1

?1

( 1 ? x 2 ? sin x)dx ,则二项式 ( x ?

a 9 ) 的展开式中的常数项为___________. x2

?x ? 4 y ≥ 4 ? 15.给定区域 D : ? x ? y ≤ 4 .令点集 T ? {( x0 , y0 ) ? D | x0 , y0 ? Z , ( x0 , y0 ) 是 z ? x ? y 在 D 上取得最 ?x ≥ 0 ?
大值或最小值的点},则 T 中的点共确定 条不同的直线.

16.艾萨克牛顿(1643 年 1 月 4 日——1727 年 3 月 31 日)英国皇家学会会长,英国著名物理学家, 同时在数学上也有很多杰出的贡献, 牛顿用 “作切线” 的方法求函数 f ? x ? 零点时给出一个数列 ?xn ? 满足: xn?1 ? xn ?

f ? xn ? 2 ,我们把该数列叫做牛顿数列.如果函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c ? a ? 0? 有两 f ? ? xn ?
xn ? 2 ,已知 a1 ? 2, xn ? 1,则 ?an ? 的通项公式 xn ? 1

个零点 1,2 ,数列 ?xn ? 为牛顿数列,设 an ? ln

an ?

.

三.解答题 17. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 某 校 园 内 有 一 块 三 角 形 绿 地 AEF ( 如 图 1 ), 其 中

2? ,绿地内种植有一呈扇形 AMN 的花卉景观,扇形 AMN 的两 3 边分别落在 AE 和 AF 上,圆弧 MN 与 EF 相切于点 P . AE ? 20m, AF ? 10m, ?EAF ?
(1)求扇形花卉景观的面积; (2)学校计划 2017 年年整治校园环境,为美观起见,设计在原有绿地基础上改建成平行四边形

2? ,并种植两块面积相同的扇形花卉景观,两扇形的边都分别落 3 在平行四边形 ABCD 的边上,圆弧都与 BD 相切,若扇形的半径为 8m ,求平行四边形 ABCD 面积

ABCD (如图 2) ,其中 ?BAD ?

的最小值.

F P N N A M M 图1

D

C

E

3

A 图2

B

18. (本小题满分 12 分)如图所示,某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到 不 同 程 度 的 污 损 , 其 中 , 频 率 分 布 直 方 图 的 分 组 区 间 分 别 为

?50,60? ,?60,70? ,?70,80? ,?80,90? , ?90,100? ,据此解答如下问题.

(Ⅰ)求全班人数及分数在 ?80,100? 之间的频率; 的份数为 X ,求 X 的分布列和数学望期.

(Ⅱ) 现从分数在 ?80,100? 之间的试卷中任取 3 份分析学生情况, 设抽取的试卷分数在 ?90,100?

AD / / BC , 19.(本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,
?ADC ? ?PAB ? 90? BC ? CD ?
异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90 . (Ⅰ)证明:CD⊥平面 PAD;
? (Ⅱ) 若二面角 P ? CD ? A 的大小为 45 , 求直线 PA 与平面 PCE

1 AD , E 为棱 AD 的中点, 2

?

所成角的正弦值. 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(0 ? b ? 3) 的 9 b2
两点,

左右焦点分别为 E , F ,过点 F 作直线交椭圆 C 于 A, B 若 AF ? 2 FB 且 AE ? AB ? 0. (1)求椭圆 C 的方程;

??? ? ??? ?

(2)已知 O 为原点,圆 D : ( x ? 3) ? y ? r (r ? 0) 与椭圆 C 交于 M , N 两点,点 P 为椭圆 C 上一
2 2 2

4

动点,若直线 PM , PN 与 x 轴分别交于点 R, S , 求证: | OR | ? | OS | 为常数. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 g ( x) ? x ? ln( x ? a ) ,其中 a 为常数.
2

(1)讨论函数 g ( x) 的单调性;

(2)若 g ( x) 存在两个极值点 x1 , x 2 ,求证:无论实数 a 取什么值都有

g ( x1 ) ? g ( x 2 ) x ? x2 ? g( 1 ). 2 2

请考生在第 22、 23 题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.作答时请写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系, 两种坐标系中取相同的单位, 已知圆 C 的参数方程为?
? ?x=2cos θ, ?y=2sin θ ?

4 (θ 为参数),直线 l 的极坐标方程为 ρ= .点 P 在 l 上. sin θ+cos θ

(1)过 P 向圆 C 引切线,切点为 F,求|PF|的最小值; (2)射线 OP 交圆 C 于 R,点 Q 在射线 OP 上,且满足|OP|2=|OQ|· |OR|,求 Q 点轨迹的极坐标方程. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ? x ? ? x ? a , g ? x ? ? x ? 3 ? x ,记关于 x 的不等式 f ? x ? ? g ? x ? 的解集为 M . (1)若 a ? 3 ? M ,求实数 a 的取值范围; (2)若 ? ?1,1? ? M ,求实数 a 的取值范围.

5

一、 选择题 DDACC DADBC 二、填空题 13. 4 14.-84 三.解答题 17.

BC 15.6 16. 2n

18.(Ⅰ)由茎叶图知分数在 [50,60) 的人数为 4 人; [60,70) 的人数为 8 人; [70,80) 的人数为 10 人.

4 ? 32 ………………………………….3 分 0.0125 ?10 10 5 ? 分数在 [80,100) 人数为 32 ? 4 ? 8 ? 10 ? 10 人? 频率为 ? …….5 分 32 16

? 总人数为

(Ⅱ) [80,90) 的人数为 6 人;分数在 [90,100) 的人数为 4 人

X 的取值可能为 0,1,2,3
6

3 2 1 C6 C6 C 20 1 60 1 P( X ? 0) ? 3 ? ? P( X ? 1) ? 3 4 ? ? C10 120 6 C10 120 2 1 2 3 C6 C4 C4 36 3 4 1 ? ? P ( X ? 3) ? ? ? …………………10 分 3 3 C10 120 10 C10 120 30

P( X ? 2) ?
? 分布列为
X P

0

1

2

3

1 6

1 2

3 10

1 30

E ?x ? ?

6 ………………………………….12 分 5

19.解: (1)由已知, PA ? CD , ?PAB ? 90? ,直线 AB ? 直线 CD ? M ,? PA ? 平面 ABCD , 又? CD ? PA , CD ? AD ,直线 PA ? 直线 AD ? A ,? CD ? 平面 PAD ,(2)? ?PDA 为二面
? 角 P ? CD ? A 的平面角,从而 ?PDA ? 45 .

如图所示,在平面 ABCD 内,作 AY ? AD ,以 A 为原点,以 AD , AP 的方向分别为 x 轴, z 轴 的正方向, 建立空间直角坐标系 A ? xyz , 设 BC ? 1 , 则 A(0,0,0) ,P(0,0,2) ,C (2,1,0) ,E (1,0,0) ,

PE ? (1,0,?2) , EC ? (1,1,0) , AP ? (0,0,2) .
设平面 PCE 的一个法向量 n ? ( x, y, z) ,则 ? 平面 PCE 所成角为 ? ,

?x ? 2 z ? 0 ,设 x ? 2 ,则 n ? (2,?2,1) .设直线 PA 与 ?x ? y ? 0

? ??? ? n ? AP 2 1 则 sin ? ? ? ??? ? . ? ? 2 2 2 3 n AP 2 2 ? (?2) ? 1
所以,直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为

1 . 3

————12 分

20.解:(1)设 BF ? m ,则 AF ? 2m , BE ? 6 ? m , AE ? 6 ? 2m , AB ? 3m . 则有 (6 ? 2m)2 ? (3m)2 ? (6 ? m)2 ,解得 m ? 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3(分)

? AF ? 2 , BE ? 5 , AE ? 4 , AB ? 3 ,
? AB ? AE
2 2

? BE ,? AE ? AF .
7

2

于是,在 Rt △ AEF 中, EF

2

? AE ? AF

2

2

? 4 2 ? 2 2 ? 20 ,

所以 EF ? 2 5 ,所以 b 2 ? 9 ? ( 5 ) 2 ? 4 ,椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 .· · · · · · · ·6(分) 9 4

(2)由条件可知 M 、 N 两点关于 x 轴对称,设 M ( x1 , y1 ) , P( x0 , y0 ) ,则 N ( x1 ,? y1 ) ,

x2 y2 x12 y12 9 9 2 2 ? (4 ? y 0 ). ? ? 1 , 0 ? 0 ? 1 ,所以 x12 ? (4 ? y12 ) , x 0 4 4 9 4 9 4
直线 PM 的方程为 y ? y 0 ?

y1 ? y 0 ( x ? x0 ) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9(分) x1 ? x0 x1 y 0 ? x0 y1 x y ? x0 y1 , 同 理 可 得 点 S 的 横 坐 标 xS ? 1 0 .于是 y 0 ? y1 y 0 ? y1

令 y ? 0 得 点 R 的 横 坐 标 xR ?

OR ? OS ?

2 2 x1 y0 ? x0 y1 x1 y0 ? x0 y1 x 2 y 2 ? x0 y1 ? ? 1 0 2 2 y0 ? y1 y0 ? y1 y0 ? y1

?

1 9 9 1 2 2 2 ? [ (4 ? y12 ) y 0 ? (4 ? y 0 ) y12 ] ? 2 ? 9( y0 ? y12 ) ? 9 , 2 4 y ? y1 4 y0 ? y12
2 0

所以, OR ? OS 为常数. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12(分) 21.解: (1)函数的定义域为 (? a,??) .

1 2 x 2 ? 2ax ? 1 2 ,记 h( x) ? 2 x ? 2ax ? 1 ,判别式 ? ? 4a 2 ? 8 . g ' ( x) ? 2 x ? ? x?a x?a
①当 ? ? 4a 2 ? 8 ? 0 即 ? 2 ? a ? 上单调递增. ②当 a?? 2 或 a?

2 时,h( x) ? 0 恒成立,g ' ( x) ? 0 , 所以 g ( x) 在区间 (? a,??)

2 时 , 方 程 2 x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 有 两 个 不 同 的 实 数 根 x1 , x2 , 记

x1 ?

? a ? a2 ? 2 ? a ? a2 ? 2 , x2 ? ,显然 x1 ? x2 2 2
2

(ⅰ)若 a ? ? 2 , h( x) ? 2 x ? 2ax ? 1 图象的对称轴 x ? ?

a ? 0 , h(?a) ? h(0) ? 1 ? 0 . 2

两 根 x1 , x2 在 区 间 (0,? a ) 上 , 可 知 当 x ? ? a 时 函 数 h( x) 单 调 递 增 , h( x) ? h(? a ) ? 0 , 所 以
8

g ' ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在区间 (?a,??) 上递增.
(ⅱ)若 a ?

2 ,则 h( x) ? 2 x 2 ? 2ax ? 1 图象的对称轴 x ? ?

a ? 0 , h(?a) ? h(0) ? 1 ? 0 .,所以 2

? a ? x1 ? x2 ,当 x1 ? x ? x2 时, h( x) ? 0 ,所以 g ' ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 ( x1 , x2 ) 上单调递减.当 ? a ? x ? x1 或 x ? x2 时, h( x) ? 0 ,所以 g ' ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (?a, x1 ), ( x2 ,??) 上单调递增.
综上,当 a?

2 时 , g ( x) 在 区 间 (?a,??) 上 单 调 递 增 ; 当 a ? 2 时 , g ( x) 在

(

? a ? a2 ? 2 ? a ? a2 ? 2 ? a ? a2 ? 2 ? a ? a2 ? 2 , ) 上单调递减, ), ( ,??) 上单调递 在 ( ? a, 2 2 2 2

增. ( 2 )由( 1 )知当 a ?

2 时, g ( x) 没有极值点,当 a ? 2 时, g ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ,且

x1 ? x2 ? ?a, x1 x2 ?

1 . 2

2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? x12 ? ln( x1 ? a ) ? x2 ? ln( x2 ? a ) ? a 2 ? 1 ? ln 2 ,



g ( x1 ) ? g ( x2 ) a 2 ? 1 ? ln 2 x ? x2 a a2 a 又 g( 1 ? ) ? g (? ) ? ? ln , 2 2 2 2 4 2

g ( x1 ) ? g ( x2 ) x ?x a2 1 ln 2 a2 1 ln 2 . 记 h( a ) ? , a ? 2 ,则 ? g( 1 2 ) ? ? ln a ? ? ? ln a ? ? 2 2 4 2 2 4 2 2 h' ( x ) ? a 1 a2 ? 2 2 1 ln 2 ? ? ? 0 ,所以 h(a ) 在 a ? 2 时单调递增,h( 2 ) ? ? ln 2 ? ? ? 0, 2 a 2a 4 2 2
g ( x1 ) ? g ( x2 ) x ? x2 ? g( 1 ). 2 2

所以 h(a ) ? 0 ,所以

22.解

(1)圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2=4. l 的直角坐标方程为 x+y=4.

当 P 到圆心的距离最小时,切线长|PF|最小,由点到直线的距离公式知,圆心 O 到 P 的 距离|OP|≥ 4 =2 2,|PF|≥ (2 2)2-22=2.所以|PF|的最小值为 2. 2

(2)设 P,Q,R 是极坐标分别为(ρ1,θ),(ρ,θ),(ρ2,θ).
9

则由|OP|2=|OQ|· |OR|,得 ρ2 1=ρρ2. 4 因 ρ1= ,ρ =2. sin θ+cos θ 2 8 8 . 2= (sin θ+cos θ) 1+sin 2θ 8 . 1+sin 2θ

故 ρ=

所以,Q 点轨迹的极坐标方程是 ρ=

23.解: (1)依题意有: 2a ? 3 ? a ? ? a ? 3? ,

3 3 ,则 2a ? 3 ? 3 ,∴ ? a ? 3 , 2 2 3 3 若 0 ? a ? ,则 3 ? 2a ? 3 ,∴ 0 ? a ? , 2 2
若a ? 若 a ? 0 ,则 3 ? 2a ? ? a ? ? a ? 3? ,无解, 综上所述, a 的取值范围为 ? 0,3? ; (2)由题意可知,当 x ? ? ?1,1? 时, f ? x ? ? g ? x ? 恒成立, ∴ x ? a ? 3 恒成立, 即 ?3 ? x ? a ? 3 ? x ,当 x ? ? ?1,1? 时恒成立,∴ ?2 ? a ? 2 . 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

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