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高中不等式习题精选精解


高中不等式习题精选精解
一、求取值范围
1、已知 ? 1 ? x ? y ? 1,1 ? x ? y ? 3 ,求 3 x ? y 的取值范围。 解: 3 x ? y ? 1 * ( x ? y ) ? 2 * ( x ? y ) 根据已知条件: ? 1 ? 1 * 2 ? 3 x ? y ? 1 ? 2 * 3 ,1 ? 3 x ? y ? 7 所以 3 x ? y 的取值范围是 ?1, 7 ?

2、已知 a ? b ? c ,且 a ? b ? c ? 0 ,求 c / a 的取值范围。 解:由已知条件,显然 a ? 0 , c ? 0
? b ? c ,? a ? 2 c ? a ? b ? c ? 0 ,? a ? 0 ,? c / a ? ? 1 / 2 ? a ? b ,? 2 a ? c ? a ? b ? c ? 0 , c ? ? 2 a ,? a ? 0 ,? c / a ? ? 2

综上所述 c / a 的取值范围是 ? ? 2 , ? 1 / 2 ?

3、正数 x , y 满足 x ? 2 y ? 1 ,求 1 / x ? 1 / y 的最小值。 解: 1 / x ? 1 / y ? 1 * (1 / x ? 1 / y ) ? ( x ? 2 y )( 1 / x ? 1 / y ) ? 1 ? x / y ? 2 y / x ? 2
? 3 ? 2 ( x / y )( 2 y / x ) ? 3 ? 2 2 (? x , y 为正数)

4、设实数 x , y 满足 x ? ( y ? 1) ? 1 ,当 x ? y ? c ? 0 时,求 c 的取值范围。
2 2

解:方程 x ? ( y ? 1) ? 1 表示的是以点(0,1)为圆心的圆,根据题意当直线 x ? y ? c ? 0
2 2

( c 为常数)与圆在第二象限相切时, c 取到最小值; (此时,切点的坐标 ( x , y ) 满足
x ? y ? c ? 0 ,其它圆上的点都满足 x ? y ? c ? 0 (因为在直线的上方) ,当 c 增大,直线向

下方平移,圆上的全部点满足 x ? y ? c ? 0 , 因此: 0 ? (1 ?
2 ) ? c min ? 0 , c min ? 2 ?1

y

所以 c 的取值范围是

?

2 ? 1, ??

?
1

x

5、已知函数 f ( x ) ? a x ? b x ( a ? 0 ) 满足 1 ? f ( ? 1) ? 2 ,2 ? f (1) ? 5 ,求 f ( ?3) 的取值范
2

围。 解:由习已知得: 1 ? a ? b ? 2 , 2 ? a ? b ? 5
?m ? n ? 9 ?m ? 3 ? ? ?m ? n ? ?3 ?n ? 6

设: f ( ? 3 ) ? 9 a ? 3 b ? m ( a ? b ) ? n ( a ? b ) ? ?

? f ( ? 3 ) ? 6 * f ( ? 1) ? 3 * f (1), ? 12 ? f ( ? 3 ) ? 27

所以 f ( ? 3 ) 的取值范围是 ?12 , 27 ?

6、已知: a 、 b 都是正数,且 a ? b ? 1 , ? ? a ?
2

1 a

,? ? b ?

1 b

,求 ? ? ? 的最小值

1 1 ?a?b? ? 4 解:? a , b 是正数,? ab ? ? ? ? ,? 4 ab ? 2 ?

?? ? ? ? a ?

1 a

?b?

1 b

? (a ? b) ? (

1 a

?

1 b

) ?1?

a?b ab

?1?

1 ab

?5

? ? ? ? 的最小值是 5, (当且仅当 a ? b ? 1 / 2 时) 。

2 2 7、已知集合 A ? ?x | x ? 5 x ? 4 ? 0 ? 与 B ? ?x | x ? 2 ax ? a ? 2 ? 0 ? ,若 B ? A ,求 a

的取值范围。
2 解: x ? 5 x ? 4 ? ( x ? 4 )( x ? 1) ? 0 ,1 ? x ? 4 ,? A ? ?x | 1 ? x ? 4 ?

y
X1

设 y ? x ? 2 ax ? a ? 2 ? (*)
2

x2 4 x

当 B ? ?,即方程(*)无解,显然 B ? A 成立,由 ? ? 0 得
4 a ? 4 ( a ? 2 ) ? 0 ,解得 ? 1 ? a ? 2 ? (1)
2

o

1

当 B ? ?,且 B ? A 成立,即: ?x | x1 ? x ? x 2 ? ? ?x | 1 ? x ? 4 ?
? 2 ?1 ? 2 a * 1 ? a ? 2 ? 0 ? 2 18 ? (2) ? 4 ? 2 a * 4 ? a ? 2 ? 0 ,解得 1 ? a ? 7 ? ? 2a ?1 ? ? 4 ?2 ?

根据图像得出:

综合(1) (2)两式,得 a 的取值范围为 ? ? 1,18 / 7 ? 。

2

8、若关于 x 的方程 4 ? a ? 2 ? a ? 1 ? 0 有实数解,求实数 a 的取值范围。
x x

解一:设 t ? 2 ,? 2 ? 0 ,? t ? 0 ,原题转换为求方程 t ? at ? a ? 1 ? 0 在 ?0 , ?? ? 上有解。
x

x

2

共有两种情况,一种是有两个根,一种是只 有一个根(如图所示) ,由二次函数的图像和 性质,得方程 t ? at ? a ? 1 ? 0 在 ?0 , ?? ? 上
2

y

y

o

o x

x

有实数解的充要条件为:
? ? ? a 2 ? 4 ( a ? 1) ? 0 ? ? ? ? a 2 ? 4 ( a ? 1) ? 0 ? a ? ? 0 或? ? ? f (0) ? a ? 1 ? 0 ? 2 ? f (0) ? a ? 1 ? 0 ?

注:两组不等式分别对应两个图

解得 ? 1 ? a ? 2 ? 2 2 或 a ? ? 1, 即 a ? 2 ? 2 2 所以 a 的取值范围是 ?? ? , 2 ? 2 2 解二:由方程 t ? at ? a ? 1 ? 0 得 a ? ?
2

?
2

1? t

1? t

(t ? 0 )

函数 f ( t ) ? ?
1? t
2

1? t

2

1? t
2

( t ? 0 ) 的值域就是 a 的取值范围。

a ? ? ? ? (2

1? t

?

? ( t ? 1) ? 2 1? t 2

2 ? 2 ? ? ? ? ? ( t ? 1) ? ? ? ( t ? 1) ? ?2 ? ? ? ? t ? 1? t ?1 ? ? ?

2 ? 2) ? 2 ? 2

所以 a 的取值范围是 ?? ? , 2 ? 2 2

?

二、解不等式
1、 ( x ? 2 ) x ? 2 x ? 3 ? 0
2

解:不等式 f ( x ) ?

? f (x) ? 0 g (x) ? 0 与 ? 或 g ( x ) ? 0 同解,也可以这样理解: ? g (x) ? 0
g (x) ? 0 可转化为

符 号 “ ? ” 是 由 符 号 “>”“=” 合 成 的 , 故 不 等 式 f ( x ) ?
f (x) ? g (x) ? 0 或 f (x) ? g (x) ? 0 。

解得:原不等式的解集为 ?x | x ? 3 或 x ? ? 1?
3

2、

x ? 3x ? 2
2

x ? 2x ? 3
2 2

? 0.

? ( x 2 ? 3 x ? 2 )( x 2 ? 2 x ? 3 ) ? 0 ? ? 0 ? ? ? 解: 2 2 x ? 2x ? 3 ?x ? 2x ? 3 ? 0 ?

x ? 3x ? 2

? ( x ? 1)( x ? 2 )( x ? 3 )( x ? 1) ? 0 ,用根轴法(零点分段法)画图如下: ? ? ( x ? 3 )( x ? 1) ? 0

+ -1 1

+ 2 3

+

? 原不等式的解集为 ?x | ? 1 ? x ? 1或 2 ? x ? 3? 。

3、 x ? 1 ? ax ? 1, ( a ? 0 )
2

解:原式等价于
?
2

x ? 1 ? 1 ? ax
2

x ? 1 ? 1,? 1 ? ax ? 1 ,即 ax ? 0 注:此为关键

? x 2 ? 1 ? (1 ? ax ) 2 ? a ? 0 ,? x ? 0 ? 原不等式等价于不等式组 ? 解得: ?x ? 0

? ? 当 0 ? a ? 1时,原不等式解集为 ? ? 当 a ? 1时,原不等式解集为 ?

2a ? ? ?x | 0 ? x ? 2 ? 1? a ? ?

?x | x

? 0?

4、 ( x ? 2 )( ax ? 2 ) ? 0 解:当 a ? 0 时,原不等式化为 x ? 2 ? 0 ,得 x ? 2 ; 当 a ? 0 时,原不等式化为 ( x ? 2 )( x ?
2 a ) ? 0 ,得 2 a 2 a ) ? 0 ,得 x ? 2 或 x ? 2 a ? x ? 2;

当 0 ? a ? 1 时,原不等式化为 ( x ? 2 )( x ?
2



当 a ? 1 时,原不等式化为 ( x ? 2 ) ? 0 ,得 x ? 2 ; 当 a ? 1 时,原不等式化为 ( x ? 2 )( x ?
2 a ) ? 0 ,得 x ? 2 a 或x ? 2

4

?? ? 综合上面各式,得原不等式的解集为: ?? ?? ?
ax ? b x?2

5、关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集为 ?1, ?? ? ,求 解:由题意得: a ? 0 ,且 a ? b 则不等式
ax ? b

? 0 的解集。

? ( ax ? b )( x ? 2 ) ? 0 ? 0 与不等式组 ? 同解 x?2 ?x ? 2 ? 0

得所求解集为 ?x | x ? ? 1或 x ? 2 ?

6、已知 a ? 0 且 a ? 1 ,关于 x 的不等式 a ? 1 的解集是 ? x x ? 0 ? ,解关于 x 的不等式
x

lo g a ( x ?

1 x

) ? 0 的解集。
x

解:? 关于 x 的不等式 a ? 1 的解集是 ? x x ? 0 ? ,? a ? 1 ,

? lo g a ( x ? ) ? 0 ? ? x ? 1

x? x?

1 x 1 x

?0 ?1

? ?1 ? x ?
1? 2

1? 2

5

或1 ? x ?

1? 2

5

?

原不等式的解集是 ( ? 1,

1? 2

5

) ? (1,

5

)。

三、证明题 1、已知 a ? b ? c ,求证: a b ? b c ? c a ? ab ? bc ? ca
2 2 2 2 2 2

证一: a b ? b c ? c a ? ab
2 2 2

2

? bc

2

? ca

2

? ab ( a ? b ) ? bc ( b ? c ) ? ca ( c ? a )

? ab ( a ? b ) ? bc ( b ? c ) ? ca ( c ? b ? b ? a ) ? ab ( a ? b ) ? bc ( b ? c ) ? ca ( b ? c ) ? ca ( a ? b ) ? a ( a ? b )( b ? c ) ? c ( b ? c )( b ? a ) ? ( a ? b )( b ? c )( a ? c ) ? 0 , (? a ? b ? c )
? a 2 b ? b 2 c ? c 2 a ? ab
证二: a b ? b c ? c a ? ab
2 2 2 2 2 2
2

? bc
2

2

2 ? ca ,证毕。

? bc

? ca

2

? a (b ? c ) ? b (c ? a ) ? c ( a ? b )
2 2 2 2 2

? a ( b ? c ) ? b ( c ? b ? b ? a ) ? c ( a ? b ) ? ( b ? c )( a

? b ) ? ( a ? b )( c
2

2

?b )
2

? ( b ? c )( a ? b )( a ? b ) ? ( a ? b )( b ? c )( b ? c ) ? ( a ? b )( b ? c )( a ? c ) ? 0

5

? a 2 b ? b 2 c ? c 2 a ? ab

2

? bc

2

2 ? ca ,证毕。

2、设 a ? b ? 0 , n 为偶数,证明

b

n ?1 n

?

a

n ?1 n

?

1 a

?

1 b

a b
n ?1 n

b
n

证:

?

a

n ?1 n

?

1 a

?

1 b

?

( a ? b )( a
n

n ?1 n

?b

n ?1

)

.

a

b

(ab)
n

①当 a ? 0, b ? 0 时, ( a b ) ? 0 , ( a ? b
n

n

)( a
n ?1 n

n ?1

?b

n ?1

) ?0 ,



( a ? b )( a
n n

n ?1 n

?b

n ?1

)

? 0 ,故

b

n ?1 n

?

a

?

1 a

?

1 b

;

(ab)

a

b

②当 a , b 有一个负值时,不妨设 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? b ? 0 ,即 a ? | b | . ∵ n 为偶数时,∴ ( a ? b
n n n ?1

)( a

?b

n ?1

) ? 0 ,且 ( a b ) ? 0
n



( a ? b )( a
n n

n ?1 n

?b

n ?1

)

? 0 ,故

b

n ?1 n

?

a

n ?1 n

?

1 a

?

1 b

.

(ab)

a

b

综合①②可知,原不等式成立 注:必须要考虑到已知条件 a ? b ? 0 ,分类讨论,否则不能直接得出 ( a ? b
n n

)( a

n ?1

?b

n ?1

) ?0

3、求证:

a ? 16 ?
2

(a ? 4) ? 36 ? 2 29
2

?? ? ?? ? ?? ? 证:设向量 p ? ( a , 4 ), q ? ( 4 ? a , 6 ) ,由 | p | ? | q |? | p ? q | ,得
a ? 16 ?
2

?? ? ?? ? 2 ( a ? 4 ) ? 3 6 ?| p | ? | q | ?| p ? q |

? | ( a , 4 ) ? ( 4 ? a , 6 ) | ? | ( 4,1 0 ) | ?

16 ? 100 ? 2 29

?? ? 4 注意:当 p ∥ q 时,即 a ? ? 8 , p ? ( ? 8, ) , q ? ( ? 12 , 6 ) , p 、 q 方向相同,取等号。
当利用公式 | p | ? | q |? | p ? q | 证明时,会得:

a ? 16 ?
2

?? ? 2 ( a ? 4 ) ? 3 6 ?| p | ? | q |

?? ? ? | p ? q |? | ( a , 4 ) ? ( a ? 4, 6 ) | ? | ( 4, ? 2 ) | ?

1 6 ? 4 ? 2 5 的错误结论,因为这里取等号

?? ?? ? ? 的条件是 p ∥ q ,且 p 、 q 方向相反,根据题设条件, p ∥ q 时,方向相同,故取不到等号,
计算的结果也使不等式范围缩小了。

6

4、求证: 1 ?

1 2
2

?
1

1 3
2

?? ?
1

1 n
2

? 2?
1 n

1 n

(n ? 2 )

证一:?

1 n
2

?

n ( n ? 1)

?

n ?1

?

(n ? 2 )

?1?

1
2

?

1
2

?? ?

1
2

2 3 n ? 原不等式成立,证毕。

1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ( ? ) ? ( ? ) ?? ? ? ? 2? 1 2 2 3 n ?1 n n 1 2
2

证二:当 n ? 2 时,原不等式为: 1 ?

? 2?

1 2

,显然成立;

假设当 n 取 k -1 时,原不等式成立,即 1 ?

1 2
2

?

1 3
2

?? ?

1 ( k ? 1)
2
2

? 2?

1 k ?1

成立,则

1?

1 2
2

?

1 3
2

?? ?

1 ( k ? 1)
1 ( k ? 1) k
2

?

1 k
2

? 2?

1 k ?1

?

1 k
2

? 2?

k ? k ?1 ( k ? 1) k
1 k
2

? 2?

k ( k ? 1) ( k ? 1) k
2

?

2

? 2?

1 k

?

1 ( k ? 1) k
2

? 2?

,即 n 取 k 时原不等式也成立。

综上,对于任意 n ( n ? 2 )原不等式成立,证毕。 注意:此类证明方法称为数学归纳法

5、设 f

?x? ?

x ? x ? 1 3 ,实数 a 满足 x ? a ? 1 ,求证: f
2

?x? ?

f

?a?

? 2 ? a ? 1?

证: | f ( x ) ? f ( a ) | ? | x ? x ? 13 ? a ? a ? 13 |? | x ? a ? ( x ? a ) |
2 2 2 2

= | ( x ? a )( x ? a ? 1) |? | x ? a ? 1 | ? | ( x ? a ) ? 2 a ? 1 | ?当 x ? a ? 0 , | f ( x ) ? f ( a ) |? | ( x ? a ) ? 2 a ? 1 |? | 2 a |? 2 (| a | ? 1) ?当 x ? a ? 0 , | f ( x ) ? f ( a ) |? | ( x ? a ) ? 2 a ? 1 |? | 2 a ? 1 |? 2 (| a | ? 1) ?当 x ? a ? 0 , | f ( x ) ? f ( a ) |? | ( x ? a ) ? 2 a ? 1 |? | 2 a ? (1 ? | x ? a |) |? 2 (| a | ? 1) 综合???式情况,原不等式成立。证毕 注:??式的最后一步省略了对 a ? 0 , a ? 0 , a ? 0 的详细分析,正式解题时不能省。分析过程用

a , b 同号 ? | a ? b |? | a | ? | b |? || a | ? | b || ? | a ? b |; a , b 异号 ? | a ? b |? | a | ? | b |? || a | ? | b || ? | a ? b |

6、已知: x ? 0 , y ? 0 , x ? y , 且 x ? y ? x ? y ? xy ,求证: 1 ? x ? y ?
2 2

4 3

7

证:由已知得: x ? y ? ( x ? y ) ? xy ,即 xy ? ( x ? y ) ? ( x ? y ) ? ?
2 2

? x? y? ? x? y? 2 ? x ? y ,及基本不等式? xy ? ? ? ,代入式?得: ? ? ? (x ? y) ? (x ? y) ? 2 ? ? 2 ?
解得 x ? y ?

2

2

4 3


2

? x ? 0 , y ? 0 ,? xy ? 0 ,由式?得 ( x ? y ) ? ( x ? y ) ? 0 ,? x ? y ? 1
综上得: 1 ? x ? y ?

4 3

。 证毕。

7、已知 a , b , c ? 0 , abc ? 1 ,证明:

1 a (b ? c )
3

?

1 b (c ? a )
3

?

1 c (a ? b)
3

?

1 1 1 1 ( ? ? ) 2 a b c

证:?

1 a (b ? c )
3

?

abc a (b ? c )
3

?

bc a (b ? c )
2

?

1 a
2

?

1 1 b ? 1 c



1 a (b ? c )
3

?

1?1 1? 1 1 1?1 1? 1 ? ? ? ?? , ? ? ?? 2 ? 1 1 4?b c? a 4?b c? a ? b c

?, ? a , b , c ? 0 )同理得: (

1 b (c ? a )
3

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? )? ? ( ? )? ? ?, 3 4 a c b c (a ? b) 4 a b c
1 a (b ? c )
3

???式两边相加,得

?

1 b (c ? a )
3

?

1 c (a ? b)
3

?

1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? )? ? ? 2 a b c a b c

?

1 a (b ? c )
3

?

1 b (c ? a )
3

?

1 c (a ? b)
3

?

1 1 1 1 ( ? ? ) 2 a b c

所以原不等式成立,证毕。

注: “

1 4

”的来由:不等式

1 a
2

?

1 1 b ? 1 c

1 k ?1 1? ? k? ? ? ? 2 当且仅当 a ? b ? c 时取等号,得 k ? 。 4 a ?b c?

8


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