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立体几何一之点线面

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精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号:sh13 学员姓名:Selena 课 题 年 级:高二 辅导科目:数学 课时数:3 学科教师:满英

立体几何(一)
1、 熟悉点线面之间的位置关系和集合描述语言 2、 熟悉异面直线所成角的概念和求法 3、 熟悉直线和平面所成角的概念和求法 教学内容

教学目的

一、 知识点回顾
1 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
集合语言:

公理 2:过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。 推论 1、 推论 2、 推论 3、 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 集合语言;

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2.空间中直线与直线之间的位置关系:
空间两条直线的位置关系有且只有三种:

如图:AB 与 BC 相交于 B 点,AB 与 A′B′平行,AB 与 B′C′异面。

公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。

3.空间中直线与平面之间的位置关系:
其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。

注意,我们不提倡如下画法.

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4.平面与平面之间的位置关系:

5 求空间角
(1)异面直线所成的角通过平移成两相交直线所成的角来算 (2)斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角,它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内 的射影。因此求直线和平面所成的角,几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解;网

二 例题讲解

例 1、求证:两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内.分析:四条直线两两相交且不共点,可能有两种:
一是有三条直线共点;二是没有三条直线共点,故而证明要分两种情况.

(1)已知:d∩a=P,d∩b=Q.d∩c=R,a、b、c 相交于点 O. 求证:a、b、c、d 共面. 证明:∵d∩a=P,∴过 d、a 确定一个平面α (推论 2).
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中国领先的中小学教育品牌 同理过 d、b 和 d、c 各确定一个平面β 、γ . ∵O∈a,O∈b,O∈c,∴O∈α ,O∈β ,O∈γ . ∴平面 α 、β 、γ 都经过直线 d 和 d 外一点 O.∴α 、β 、γ 重合.∴a、b、c、d 共面. 注:本题的方法是“同一法”. (2)已知:d∩a=P,d∩b=Q,d∩c=R,a ∩b=M,b∩c=N,a∩c=S,且无三线共点.

求证:a、b、c、d 共面 证明:∵d∩a=P, ∴d 和 a 确定一个平面α (推论 2). ∵a∩b=M,d∩b=Q, ∴M∈α ,Q∈α .

∴a、b、c、d 四线共面. 注:①让学生从实物摆放中得到四条直线的两种位置关系. ②分类讨论时,强调要注意既不要重复,又不要遗漏. ③结合本例,说明证诸线共面的常用方法. 例 2、如图,已知空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、AD、BC、CD 上的点,且 EF 交 GH 于 P. 求证:P 在直线 BD 上. 分析:易证 BD 是两平面交线,要证 P 在两平面交线上,必须先证 P 是两平面公共点. 已知:EF∩GH=P, E∈AB、 F∈AD, G∈BC, H∈CD, 求证:B、D、P 三点共线. 证明:∵AB∩BD=B, ∴AB 和 BD 确定平面 ABD(推论 2). ∵A∈AB,D∈BD,

∵E∈AB,F∈AD, ∴EF∩GH=P,∴P∈平面 ABD.同理,P∈平面 BCD. ∴平面 ABD∩平面 BCD=BD.
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中国领先的中小学教育品牌 ∴P∈BD 即 B、D、P 三点共线.注:结合本例,说明证三点共线的常规思路. 变式练习:两个平面两两相交,有三条交线,若其中两条相交于一点,证明第三条交线也过这一点. 分析:虽说是证三线共点问题,但与例 2 有异曲同工之处,都是要证点 P 是两平面的公共点.

已知:如图 1-26,α ∩β =a,β ∩γ =b,α ∩γ =c,b∩c=p. 求证:p∈a. 证明:∵b∩c=p, ∴p∈b.∵β ∩γ =b, ∴p∈β .同理,p∈α .又∵α ∩β =a,∴p∈a. 例 3、设图中的正方体的棱长为 a, (1)图中哪些棱所在的直线与直线 BA′成异面直线? (2)求直线 BA′和 CC′所成的角的大小. (3)求异面直线 BC 和 AA′的距离. 解:(l)∵A′平面 BC′,而点 B,直线 CC′都在平面 BC′

∴直线 BA′与 CC′是异面直线.同理,直线 C′D′、D′D、DC、AD、B′C′都和直线 BA′成异面直线.

(2)∵CC′∥BB′, ∴BA′和 BB′所成的锐角就是 BA′和 CC′所成的角.∵=∠A′BB′=45°,∴BA′和 CC′所成的角是 45°. (3)∵AB⊥AA′,AB∩AA′=A,又∵AB⊥BC,AB∩BC=B,∴AB 是 BC 和 AA′的公垂线段. ∵AB=a,∴BC 和 AA′的距离是 a. 说明:本题是判定异面直线,求异面直线所成角与距离的综合题,解题时要注意书写规范. 变式练习: 1、(1)两条直线互相垂直,它们一定相交吗? 解析:不一定,还可能异面. (2)垂直于同一直线的两条直线,有几种位置关系? 解析:三种:相交,平行,异面. 2、画两个相交平面,在这两个平面内各画一条直线使它们成为(1)平行直线;(2)相交直线;(3)异面直线. 解:

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中国领先的中小学教育品牌 例 4、在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=3,AA1=4.求异面直线 A1B 和 AD1 所成的角的余弦.

解析:

16 25

变式练习: 1、在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,∠C1BC=45°,∠B1AB=60°.求 AB1 与 BC1 所成角的余弦.

解析: 2、在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=c,AB=a,AD=b,且 a>b.求 AC1 与 BD 所成的角的余弦.

解析:法(一)连 AC,设 AC∩BD=0,则 O 为 AC 中点,取 C1C 的中点 F,
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定理,得

法(二)取 AC1 中点 O1,B1B 中点 G.在△C1O1G 中,∠C1O1G 即

一可知:

法(三)延长 CD 到 E,使 ED=DC.则 ABDE 为平行四边形.AE∥BD,所以∠EAC1 即为 AC1 与 BD 所成的角.(如图 5) 连 EC1,在

由余弦定理,得

所以∠EAC1 为钝角. 根据异面直线所成角的定义,AC1 与 BD 所成的角的余弦为

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【课堂小练】

3.在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是正方形 ABCD 的中心,E,F 分别是 AB,BC 中点.求:(1)异面 直线 A1D1 和 CD 的距离;(2)异面直线 C1O 和 EF 的距离.

4.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,∠BAB1=∠B1A1C1=30°.求:(1)AB 与 A1C1 所成的角的度数;(2)A1A 与 CB1 所 成的角的度数;(3)AB1 与 A1C1 所成的角的余弦.

【课堂总结】
1、 空间中两条直线的位置关系有哪些: 2、 如何求异面直线所成的角?主要有哪些步骤?

【课后练习】
1、在下列六组条件中, (1)空间三个点(2)空间的一条直线与一个点(3)空间两条相交直线(4)三条平行直线与 第四条直线都相交(5)两两相交且不同于一点的三条直线(6)三条直线中的一条与其余两条分别相交,能确定一个 平面的条件是 3,4,5 (不能的请举出反例) 2、判断下列命题的真假。 (1)可画一个平面,是它的长为 4cm,宽为 2cm. ( 错 ) (2)一条直线把它所在的平面分成两部分,一个平面把一个空间分成两部分。 ( 对 ) (3)平面 ? 与平面 ? 只有一个公共点。 ( 错 )

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中国领先的中小学教育品牌 (4)经过平面内的任意两点的直线,若直线上各点都在这个面内,那么这个面是平面。 ( 对 ) 3、若 a、b 为异面直线,c//a,则 c 与 b 的位置关系是 ( D ) A 相交 B 平行 C 异面 D 异面或相交

4、空间四边形 ABCD 中,对角线 AC ? 8 , BD ? 6 , M , N 分别为 AB, CD 的中点,且 MN ? 5 ,求异面 直线 AC , BD 所成的角。90°

5、 在空间四边形 ABCD 中,BD ? 4 ,AC ? 6 , 且 AC ? BD ,M , N 分别为 AB, CD 的中点, 求 MN 及 MN 与 BD 所成角的正切值。 13, arcsin
3 13 13

6、空间四边形 ABCD 中, AD ? BC ? 2 , E , F 分别是 AB, CD 的中点, EF ? 3 , 求异面直线 AD, BC 所成的角。 解析:取 BD 中点 G ,连结 EG, FG, EF ,∵ E , F 分别是 AB, CD 的中点,

A

1 1 AD ? 1, FG ? BC ? 1 , 2 2 ∴异面直线 AD, BC 所成的角即为 EG, FG 所成的角,
∴ EG // AD, FG // BC, 且 EG ?

E B

G
F

EG ? FG ? EF 1 ?? , 在 ?EGF 中, cos ?EGF ? 2 EG ? FG 2 ∴ ?EGF ? 120 ,异面直线 AD, BC 所成的角为 60 .
2 2 2

D

C

说明:异面直线所成的角是锐角或直角,当三角形 ?EGF 内角 ?EGF 是钝角时,表示异面直线 AD, BC 所成的角是 它的补角。

1、 “直线 l上有两点到平面?的距离相等”是“直线l与平面? 平行”的 A、充要条件. C、必要非充分条件. B、充分非必要条件. D、非充分非必要条件.

(

)

2.若 m 、 n 为两条不同的直线, ? 、 ? 为两个不同的平面,则以下命题正确的是(

)B

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中国领先的中小学教育品牌 A.若 m / / ? , n ? ? ,则 m / / n ; C.若 m / / ? , n / / ? ,则 m / / n ; B.若 m / / n , m ? ? ,则 n ? ? ; D.若 ?

? ? m , m ? n ,则 n ? ? .
【 】

3.设 a , b 是两条直线, ? , ? 是两个平面,则 a ? b 的一个充分条件是 A. a ? ? , b // ? , ? ? ? C. a ? ? , b ? ? , ? // ? B. a // ? , b ? ? , ? // ? D. a // ? , b // ? , ? ? ?

3.在空间中,给出下列 4 个命题(其中 a、b、c 表示直线, ? 表示平面),则正确命题的序号是( (1)三个点确定一个平面;(2)若 a || c,b || c,则a || b; (3)在空间中,若角 ?1与角? 2 的两边分别平行,则 ?1 ? ? 2 ; (4)若 a

)

? b,a ? c,b、c ? ?,则a ? ? .
?

A.(1)、(2)、(4).

B.(2).

C.(2)、(3).


D.(2)、(3)、(4).

4.以下四个命题中的假命题是??(

(A) “直线 a、b 是异面直线”的必要不充分条件是“直线 a、b 不相交” ; (B)直线“ a ? b ”的充分不必要条件是“a 垂直于 b 所在的平面” ; (C)两直线“a//b”的充要条件是“直线 a、b 与同一平面 ? 所成角相等” ; (D) “直线 a//平面 ? ”的必要不充分条件是“直线 a 平行于平面 ? 内的一条直线” .

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