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25用含参数的一元二次不等式的解法


三个“二次”及其应用(二) 含参数的一元二次不等式的解法
二次函数 一元二次方程
一元二次不等式

三个“二次”是指:
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)(a≠0)

它们之间关系密切,搞清楚它们之间的相互联系, 一切此类问题将迎刃而解。

数形结合思想

心中有图,胸有成竹 图形可直观形象地反映 函数的性质

复习回顾:三个“二次”的基本关系:
? ? b2 ? 4ac
y ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0)

? ?0

y
O

y
x1 x 2

? ?0

y

??0

图象

x

O

x

O
无实根

x

方程ax 2 ? bx ? c=0的根
二 次 不 等 式 的 解 集

? b ? b 2 ? 4ac x =x ? ? b x1、 1 2 2= 2a 2a

ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集
ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

b? ? ?x | x ? x1或x ? x2 ? ? x | x ? R, x ? ? 2a ? ? ?

R
?

?x | x1 ? x ? x2 ?

?

复习回顾

二次函数与x轴的交点,
就是所对应方程的根,

也是所对应的一元二次不等式解区间的端点。

复习回顾:三个“二次”之间的关系进一步梳 理: 前提1:二次项系数a>0 M1 前提2: ? ? b ? 4ac ? 0
2

x1
2

M2 x2

二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 与x轴的交点为(x1,0)和(x2,0)

? ?

二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 (-∞,x1)∪(x2 ,+∞) (x1<x2)
2 ax ? bx ? c ? 0 二次不等式

二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根为x1和x2
2

的解集为 (x1,x2) (x1<x2)

二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),当
M 1 M 2 ? x1 ? x 2 ?

? ? b ? 4ac ?时图象与 0 x轴
2

有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0),则弦长
2

? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x 2 ? a
2

M 1M 2

2

b ? 4ac ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x 2 ? a2
2 2

复习: 已知二次不等式的解集,求相应不等式的解集

解:∵关于 x 的一元二次不等式 ax2+bx+c > 0 判断二次项系数的正负号 ; 的解集是(-4,1), 第二步:利用韦达定理,表示 b ? ?4 ? 1 = ? ? 各系数a,b,c; ? a ∴b=3a,c=-4a, ∴ a< 0, 且? , 第三步:用a表示b,c; ?(?4) ?1= c ? a ? ∴不等式bx2+cx+a<0可化为3ax2-4ax+a<0, 第四步:将b,c代入所求解的 不等式,消去参数a; 2

例 关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是(-4,1),求不等式 bx2+cx+a<0的解集 . 第一步:由已知不等式的解集,

故不等式的解集是(-∞, )∪(1,+∞).

即3x -4x+1>0, 1 解得 x ? 1或x ? , 3 1

第五步:利用分解因式法,求 解不等式。

3

题型六 解含参数的一元二次不等式

用十字相乘法分解因式: 1 1

-a -a2

例1 解关于x的不等式x2-(a2+a)x+a3<0.
解:x2-(a2+a)x+a3=(x-a)(x-a2)<0, 当a<0时,原不等式的解集为{x|a<x<a2} 当a=0时,原不等式化为x2<0,不等式的解集为?; 当0<a<1时,不等式的解集是{x|a2<x<a}.

对应方程的两根为: a和a 2 令两根相等:

a?a

2

a ? 0或a ? 1 解得:

当a=1时,原不等式化为(x-1)2<0,不等式的解集为?;把a=0和1放在数轴上 a=0 当a>1时,原不等式的解集为{x|a<x<a2}

综上:当a=0或a=1时,原不等式的解集为?;
当0<a<1时,原不等式的解集为{x|a2<x<a}; 当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|a<x<a2}. 这种方法叫做零点分界法。

0

1

这两个点把数轴分成了5部分.

分这5部分进行讨论。

题型六 解含参数的一元二次不等式

用十字相乘法分解因式: a 1

-1 2

1 1 当? <a<0时,不等式的解为{x|x< 或x>?2}; ②二次项系数为0:a=0 2 a

1 对应方程的两根为:-2和 解:原不等式可化为(ax-1)(x+2)<0, a 1 1 1 当a< ? 时,不等式的解为{x|x<?2,或x> }. ①令两根相等: -2= 2 a a 1 1 当a= ? 时,不等式的解为{x|x≠-2}; 解得: a ? ? 2 2

例:解关于x的不等式ax2+(2a-1)x-2<0.

把①②得到的a值放在数轴上
1 ? 2
0

当a=0时,不等式的解为{x|x>?2 };
1 当a>0时,不等式的解为{x|?2<x< }; a

这两个点把数轴分成了5部分 分这5部分进行讨论。

这种方法叫做零点分界法。

解含参数的一元二次不等式步骤 : 题型六 解含参数的一元二次不等式

用十字相乘法分解因式: a 1

-1 2

第一步 :用十字相乘法将不等式分解因式 例:解关于 x的不等式ax2+(2a-1)x-2; < 0.

1 1 当? <a<0时,不等式的解为{x|x< 或x>?2}; ②二次项系数为0:a=0 2 : 按照分界点自左而右进行分类讨论, a 第五步

1 对应方程的两根为:-2和 第二步 解:原不等式可化为 :令相应方程的两根相等 (ax-1)(x+2)<0, ,确定分界点; a 1 1 1 当 a< ? 时,不等式的解为 {x|x<?2,或;x> }. ①令两根相等: -2= 第三步 :令二次项系数为 0 ,确定分界点 2 a a 1 1 第四步 ,确定将数轴分为 当a= ?: 将分界点放在数轴上 时,不等式的解为{x|x≠ -2}; 解得: a ? ? 2 2 几部分,注意界点自成一部分 ;
写出解集 .注意二次项系数的正负号 当a=0时,不等式的解为 {x|x>?2 };
1 当a>0时,不等式的解为{x|?2<x< }; a

把①②得到的a值放在数轴上
1 ? 2
0

这两个点把数轴分成了5部分 分这5部分进行讨论。

这种方法叫做零点分界法。

题型六解含参数的一元二次不等式的步骤总结:
例:解关于x的不等式ax2+(2a-1)x-2<0.
解:原不等式可化为(ax-1)(x+2)<0, 1 1 当a<? 时,不等式的解为{x|x<?2,或x> }. 2 a 需分类讨论,关键是找分类的标准. 找分类的标准用“零点分界法”。

用“零点分界法”的关键是找零点。 解含参数的一元二次不等式步骤:

1 当 a= ? 时,不等式的解为{x|x≠-2}; 2 第一步:用十字相乘法将不等式分解因式; 1 1 ? 当 <a<0时,不等式的解为{x|x< 或x>?2}; 第二步:令相应方程的两根相等,确定分界点; 2 a
当a=0时,不等式的解为{x|x>?2 }; 第三步:令二次项系数为0,确定分界点; 第四步:将分界点放在数轴上 , 确定将数轴分 为几部分,注意界点自成一部分;

1 当a>0时,不等式的解为{x|?2<x< }; a

这种分类的方法叫做零点分界法。

第五步 : 按照分界点自左而右进行分类讨论, 写出解集;注意二次项系数的正负号.

练习

1.解关于x的不等式:a(a-x)<6x2.
解:原不等式可化为(3x-a)(2x+a)>0,
a a 当a<0时,不等式的解集为:{x|x< 或 x > ? }; 3 2

当a=0时,不等式的解集为{x|x>0或x<0} ; 2.解关于x的不等式x2+(1-a)x-a<0(a∈R).

a a 当a>0时a,不等式的解集为:{x|x> 或x< ? }, 2 3

解:原不等式可化为 (x+1)(x-a)<0,
当a>-1时,不等式解集为{x|-1<x<a},

当a=-1时,原不等式即为(x+1)2<0,不等式解集为φ. 当a<-1时,不等式解集为{x|a<x<-1},

练习

3.解关于x的不等式ax2-(2a+1)x+2<0. .
解:原不等式等价为(ax-1)(x-2)<0.

1 当a<0时,不等式的解集为(2,+∞)∪(?∞, ); a
当a=0时,不等式的解集为(2,+∞);

1 1 当 0< a< 时,不等式的解集为(2, ); 2 a 1 当a= 时,不等式的解集为 ?; 2 1 1 当 a> 时,不等式的解集为( ,2). 2 a

练习

4.解关于x的不等式:( a – 1 ) x 2 - ( a – 2 ) x – 1 < 0 .

1 ? ? a ? 0, 不等式的解集为 ? ??, ? 1? a ? ? a ? 0, 不等式的解集为 {x |x ? 1 }; 0 ? a ? 1, 不等式的解集为 ? ??,1? a ? 1, 不等式的解集为 ? ??,1? ; ? 1 ? a ? 1, 不等式的解集为 ? ,1? . ? 1? a ?

?1, ?? ? ;

? 1 ? , ?? ? ; ? ? 1? a ?


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