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江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编-圆锥曲线


江苏省 13 大市 2013 届高三上学期期末数学试题分类汇编

圆锥曲线
一、填空题 1、 (常州市 2013 届高三期末) 已知双曲线 则该双曲线的离心率的值为 答案: 5 2、 (连云港市 2013 届高三期末)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2 = 4x 的准线交于 A、B 两点,AB = 3,则 C 的实轴长为 答案:1 3、 (南京市、盐城市 2013 届高三期末)已知 F1 、 F2 分别是椭圆 ▲ . ▲

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线经过点 (1, 2) , a 2 b2

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点, 8 4


点 P 是椭圆上的任意一点, 则 答案: [0, 2 2 ? 2]

| PF1 ? PF2 | 的取值范围是 PF1



2 y2 4、 (南通市 2013 届高三期末)已知双曲线 x 2 ? 2 ? 1 的一个焦点与圆 x2+y2-10x=0 的圆心 a b

重合,且双曲线的离心率等于 5 ,则该双曲线的标准方程为
2 y2 ? 1. 答案: x ? 5 20





5、 (徐州、淮安、宿迁市 2013 届高三期末)已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦 a 2 b2

点为 F , 若以 F 为圆心的圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 与此双曲线的渐近线相切,则该双曲线的离 心率为 ▲ 答案: .

3 5 5

6 、( 苏 州 市 2013 届 高 三 期 末 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 双 曲 线

E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左顶点为 A ,过双曲线 E 的右焦点 F 作与实轴垂直的直线 a 2 b2
. 答案:2

交双曲线 E 于 B , C 两点,若 ?ABC 为直角三角形,则双曲线 E 的离心率为

7、 (泰州市 2013 届高三期末)设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 为双曲 4 5

线上位于第一象限内一点,且 ? PF1 F2 的面积为 6,则点 P 的坐标为 答案: ?

?6 5 ? ? ? 5 ,2 ? ? ?

8、 (无锡市 2013 届高三期末)如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 L 交抛物线于点 A、B,交其准线于点 C,若|BC|=2|BF|,且 |AF|=3,则此抛物线的方程为 答案: y2 ? 3x 9 、 扬 州 市 2013 届 高 三 期 末 ) 已 知 圆 C 的 圆 心 为 抛 物 线 y ? ?4 x 的 焦 点 , 又 直 线 (
2



4 x ? 3 y ? 6 ? 0 与圆 C 相切,则圆 C 的标准方程为 ▲ .
答案: ( x ? 1) ? y ? 4
2 2

10、 (镇江市 2013 届高三期末)圆心在抛物线 x 2 ? 2 y 上,并且和抛物线的准线及 y 轴都相切 的圆的标准方程为 ▲ .

?x ? 1? ? ? y ? 1 ? ? 1 ? ? 2? ?
2

2

二、解答题 1、 (常州市 2013 届高三期末)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知 F1 , F2 分别是椭圆

E:

???? ???? ? ? ? x2 y 2 右焦点, B 分别是椭圆 E 的左、 A, 右顶点, AF2 ? 5 BF2 ? 0 . 且 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 2 a b
(1)求椭圆 E 的离心率;

(2) 已知点 D ?1, 0 ? 为线段 OF2 的中点, 为椭圆 E 上的动点 M (异于点 A 、B ) 连接 MF1 , 并延长交椭圆 E 于点 N ,连接 MD 、 ND 并分别延长交椭圆 E 于点 P 、 Q ,连接 PQ ,设 直线 MN 、 PQ 的斜率存在且分别为 k1 、 k2 ,试问是否存在常数 ? ,使得 k1 ? ? k2 ? 0 恒 成立?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由.

???? ???? ? ? ? ???? ? ???? ? 解: (1)? AF2 ? 5 BF2 ? 0 ,? AF2 ? 5F2 B .? a ? c ? 5 ? a ? c ? ,化简得 2a ? 3c ,
故椭圆 E 的离心率为
2 . 3

4 (2)存在满足条件的常数 ? , l ? ? .点 D ?1, 0 ? 为线段 OF2 的中点,? c ? 2 ,从 7

而 a ? 3 , b ? 5 ,左焦点 F1 ? ?2,0 ? ,椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , 9 5

P ? x3 , y3 ? , Q ? x4 , y4 ? ,则直线 MD 的方程为 x ?

x1 ? 1 x2 y 2 ? 1 ,整 y ? 1 ,代入椭圆方程 ? y1 9 5

理得,

y ? x ? 1? 5 ? x1 2 x1 ? 1 4 y1 5x ? 9 y ? y ? 4 ? 0 .? y1 ? y3 ? 1 1 , ? y3 ? .从而 x3 ? 1 ,故点 2 x1 ? 5 y1 y1 x1 ? 5 x1 ? 5

? 5 x ? 9 4 y1 ? ? 5 x2 ? 9 4 y2 ? y1 y2 ? , P? 1 , , ? .同理,点 Q ? ? .? 三点 M 、 F1 、 N 共线,? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 5 x1 ? 5 ? x2 ? 5 x2 ? 5 ? ? ?

从而 x1 y2 ? x2 y1 ? 2 ? y1 ? y2 ? .
4 y1 4 y2 ? x y ? x2 y1 ? 5 ? y1 ? y2 ? 7 ? y1 ? y2 ? 7k1 y ? y4 x ? 5 x2 ? 5 ? 1 ? 1 2 ? ? 从而 k2 ? 3 . 5 x1 ? 9 5 x2 ? 9 x3 ? x4 4 ? x1 ? x2 ? 4 ? x1 ? x2 ? 4 ? x1 ? 5 x2 ? 5
4k 2 4 ? 0 ,从而存在满足条件的常数 ? , l ? ? . 7 7 x2 y2 2、 (连云港市 2013 届高三期末)已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的上顶点为 A,左,右焦 a b

故 k1 ?

4 b 点分别为 F1, 2,且椭圆 C 过点 P( , ),以 AP 为直径的圆恰好过右焦点 F2. F 3 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,试问:在 x 轴上是否存在两定点,使其到直线 l 的距离之积为 1?若存在,请求出两定点坐标;若不存在,请说明理由.

y A P F1 O
1

F2

x

(第 18 题图)

4 b 16 1 解:(1)因为椭圆过点 P( , ),所以 2+ =1,解得 a2=2, 3 3 9a 9

………………2 分

b b 3 又以 AP 为直径的圆恰好过右焦点 F2.所以 AF2?F2P,即? ? =?1, b2=c(4?3c).……6 分 c4 ?c 3 而 b2=a2?c2=2?c2,所以 c2?2c+1=0,解得 c2=1, x2 故椭圆 C 的方程是 +y2=1. 2 ………………………8 分

(2)①当直线 l 斜率存在时,设直线 l 方程为 y=kx+p,代入椭圆方程得 (1+2k2)x2+4kpx+2p2-2=0. 因为直线 l 与椭圆 C 有只有一个公共点,所以 △=16k2p2-4(1+2k2)(2p2-2)=8(1+2k2―p2)=0, 即 1+2k2=p2. …………………………………10 分

设在 x 轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线 l 的距离之积为 1,则 |ks+p| |kt+p| |k2st+kp(s+t)+p2| ? 2 = =1, k2+1 k2+1 k +1 即(st+1)k+p(s+t)=0(*),或(st+3)k2+(s+t)kp+2=0 (**).
?st+1=0, ?s=1 ?s=?1 由(*)恒成立,得? 解得? ,或? , ?t=?1 ?t=1 ?s+t=0.

…………………………14 分

而(**)不恒成立. ②当直线 l 斜率不存在时,直线方程为 x=? 2时, 定点(-1,0)、F2(1,0)到直线 l 的距离之积 d1? d2=( 2-1)( 2+1)=1. 综上,存在两个定点(1,0),(?1,0),使其到直线 l 的距离之积为定值 1. ………16 分

3、 (南京市、盐城市 2013 届高三期末)如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆

C:

x2 y 2 2 2 , F1 、F2 分别是椭 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 M (3 2, 2) ,椭圆的离心率 e ? 2 a b 3

圆的左、右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 M 作两直线与椭圆 C 分别交于相异两点 A 、 B . ①若直线 MA 过坐标原点 O , 试求 ?MAF2 外接圆的方程; ②若 ?AMB 的平分线与 y 轴平行, 试探究直线 AB 的斜率是否为定值?若是, 请给予 证明;若不是, 请说明理由.

解: (1)由 e ? 分

x2 y2 2 2 c2 a 2 ? b2 8 , 2 ? ? ,得 a 2 ? 9b 2 ,故椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ………3 a a2 9 9b b 3

又 椭 圆 过 点 M (3 2, 2) , 则

18 2 ? 2 ? 1 , 解 得 b2 ? 4 , 所 以 椭 圆 的 方 程 为 2 9b b

x2 y 2 ? ? 1 ………5 分 36 4
(2)①记 ?MF1 F2 的外接圆的圆心为 T .因为 kOM ?

1 ,所以 MA 的中垂线方程为 y ? ?3 x , 3

又由 M (3 2, 2) , F2 4 2, 0 ,得 MF1 的中点为 ? ?

?

?

?7 2 2? , ? ,而 kMF2 ? ?1 , 2 2 ? ? ?

所以 MF2 的中垂线方程为 y ? x ? 3 2 ,由 ?
2

?3 2 9 2 ? ? y ? ?3 x ? ,得 T ? ? 4 , ? 4 ? …8 分 ? ?y ? x ?3 2 ? ? ?
2

? 3 2? ? 9 2? 5 5 所以圆 T 的半径为 ? 4 2 ? , ? ??0 ? ? ? ? ? ? ? 4 ? ? 4 ? 2 ?

? 3 2? ? 9 2 ? 125 故 ?MAF2 的外接圆的方程为 ? x ? ………………10 分 ? ?? y? ? ? ? 4 ? ? 4 ? 4 ? ? ? ?
(说明:该圆的一般式方程为 x 2 ?

2

2

3 2 9 2 x ? y2 ? y ? 20 ? 0 ) 2 2

(3)设直线 MA 的斜率为 k , A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由题直线 MA 与 MB 的斜率互为相反

? y ? kx ? 2 ? 3 2k ? 数,直线 MB 的斜率为 ? k .联立直线 MA 与椭圆方程: ? x 2 y 2 , ? ?1 ? ? 36 4
整理得 9k ? 1 x ? 18 2k ?1 ? 3k ? x ? 162k ? 108k ? 18 ? 0 ,得 x ? 1
2 2 2

?

?

18 2 ? 3k 2 ? k ? 9k 2 ? 1

?3 2 ,

所以 x ? 2 分

18 2 ? 3k 2 ? k ? 9k 2 ? 1

? 3 2 ,整理得 x2 ? x1 ?

36 2k 108 2k 2 ,x2 ? x1 ? ? 6 2 …13 9k 2 ? 1 9k 2 ? 1

又 y2 ? y1 ? ? kx2 ? 2 ? 3 2k ? kx2 ? 2 ? 3 2k ? ? k ? x2 ? x1 ? ? 6 2k

?

?

12 2k y2 ? y1 9k 2 ? 1 1 ?108k 3 12 2k ? ? 为定值………………16 分 = ,所以 k AB ? ? 12 2k ? 2 x2 ? x1 36 2k 3 9k 2 ? 1 9k ? 1 9k 2 ? 1
4、 (南通市 2013 届高三期末)已知左焦点为 F(-1,0)的椭圆过点 E(1, 2 3 ).过点 P(1, 3 1)分别作斜率为 k1,k2 的椭圆的动弦 AB,CD,设 M,N 分别为线段 AB,CD 的中点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 为线段 AB 的中点,求 k1; (3)若 k1+k2=1,求证直线 MN 恒过定点,并求出定点坐标. 解:依题设 c=1,且右焦点 F ? (1,0).
? ? 所以,2a= EF ? EF ? = (1 ? 1) ? ? 2 3 ? ? 2 3 ? 2 3 ,b2=a2-c2=2, 3 ? 3 ?
2 2

2 y2 ?1. 故所求的椭圆的标准方程为 x ? 3 2

………………………………4 分

(2)设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),则

x12 y12 x2 y 2 ? ? 1 ①, 2 ? 2 ? 1 ②. 3 2 3 2

②-①,得 所以,k1=

( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) ( y2 ? y1 )( y 2 ? y1 ) ? ? 0. 3 2

y2 ? y1 2( x2 ? x1 ) 4x ?? ?? P ??2 . x2 ? x1 3( y2 ? y1 ) 6 yP 3

……………………………9 分

(3)依题设,k1≠k2. 设 M( xM , yM ),直线 AB 的方程为 y-1=k1(x-1),即 y=k1x+(1-k1),亦即 y=k1x+k2, 代入椭圆方程并化简得 于是, xM ? 同理, xN ?
2 (2 ? 3k12 ) x 2 ? 6k1k2 x ? 3k2 ? 6 ? 0 .

?3k1k2 2k 2 , yM ? . 2 2 ? 3k1 2 ? 3k12 ?3k1k2 2k1 , yN ? . 2 2 2 ? 3k2 2 ? 3k2

………………………………11 分

当 k1k2≠0 时, 直线 MN 的斜率 k=
2 4 ? 6(k2 ? k2 k1 ? k12 ) 10 ? 6k2 k1 yM ? y N = .………………13 分 ? ?9k2 k1 (k2 ? k1 ) xM ? xN ?9k2 k1

直线 MN 的方程为 y ? 即 亦即
y?

2k 2 10 ? 6k2 k1 ?3k1k2 ? (x ? ), 2 ?9k2 k1 2 ? 3k1 2 ? 3k12

10 ? 6k2 k1 10 ? 6k 2 k1 3k1k 2 2k 2 x?( ? ? ), 2 ?9k2 k1 ?9k2 k1 2 ? 3k1 2 ? 3k12
10 ? 6k2 k1 x? 2 . ?9k2 k1 3

y?

此时直线过定点 (0, ? 2 ) . ………………………………………………………15 分 3 当 k1k2=0 时,直线 MN 即为 y 轴,此时亦过点 (0, ? 2 ) . 3 综上,直线 MN 恒过定点,且坐标为 (0, ? 2 ) . 3 ……………………………16 分

5 、 徐 州 、 淮 安 、 宿 迁 市 2013 届 高 三 期 末 ) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 椭 圆 (

E:
(1) (2)

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2,且过点 ( 2 ,

6 ). 2

求椭圆 E 的方程; 若点 A , B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴,点 P 是椭

圆上异于 A , B 的任意一点,直线 AP 交 l 于点 M . (ⅰ)设直线 OM 的斜率为 k 1 , 直线 BP 的斜率为 k 2 ,求证: k 1 k 2 为定值;

(ⅱ)设过点 M 垂直于 PB 的直线为 m .
y

求证:直线 m 过定点,并求出定点的坐标.

P

M

A

B

O

x
l

m

答案: .⑴由题意得 2c ? 2 ,所以 c ? 1 ,又

2 3 + 2 ? 1 ,…………………………………2 分 2 a 2b 1 消去 a 可得, 2b4 ? 5b2 ? 3 ? 0 ,解得 b2 ? 3 或 b 2 ? ? (舍去) ,则 a2 ? 4 , 2
所以椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .……………………………………………………4 分 4 3
y0 y , k2 ? 1 , 2 x1 ? 2

⑵(ⅰ)设 P( x1 , y1 )( y1 ? 0) , M (2, y0 ) ,则 k1 ?

因为 A, P, B 三点共线,所以 y0 ?

y0 y1 4 y12 4 y1 ? , 所以, k1k2 ? ,8 分 2( x1 ? 2) 2( x12 ? 4) x1 ? 2
3 4 y12 3 (4 ? x12 ) ,故 k1k2 ? ? ? 为定值.10 分 2 4 2( x1 ? 4) 2

因为 P ( x1 , y1 ) 在椭圆上,所以 y12 ?

(ⅱ)直线 BP 的斜率为 k2 ?

y1 2 ? x1 ,直线 m 的斜率为 km ? , x1 ? 2 y1

则直线 m 的方程为 y ? y0 ?

2 ? x1 ( x ? 2) ,…………………………………………12 分 y1

y?

2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 4 y12 2 ? x1 2 ? x1 2(2 ? x1 ) 4 y1 ? x? ( x ? 2) ? y0 ? x? ? y1 ( x1 ? 2) y1 y1 y1 y1 x1 ? 2

?

2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 12 ? 3 x12 2 ? x1 2 ? x1 2 ? x1 x? = = x? ( x ? 1) , y1 ( x1 ? 2) y1 y1 y1 y1
………………………………………………………16 分

所以直线 m 过定点 (?1,0) .

6、 (苏州市 2013 届高三期末)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 F 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点, A , B , C 分别为椭圆 E 的右、下、上顶点,满足 a 2 b2 ??? ??? ? ? 1 FC ?BA ? 5 ,椭圆的离心率为 . 2 E:
(1)求椭圆的方程; (2)若 P 为线段 FC (包括端点)上任意 一点, PA?PB 取得最小值时, 当 求点 P 的 坐标; (3)设点 M 为线段 BC (包括端点)上 的一个动点,射线 MF 交椭圆于点 N ,若

??? ??? ? ?

y

C M A O N B

???? ???? ? NF ? ? FM ,求实数 ? 的取值范围.

x

答案:

7、 (泰州市 2013 届高三期末)直角坐标 XOY 中,已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

?3 ? 的左、右顶点分别是 A1,A2,上、下顶点为 B2,B1,点 P ? a, m ? ? m ? 0 ? 是椭圆 C ?5 ?

上一点, PO ? A2 B2 ,直线 PO 分别交 A1B1 、 A2 B2 于 M,N。

(1)求椭圆离心率; (2)若 MN=

7 21 ,求椭圆 C 的方程; 4

(3)在(2)的条件下,设 R 点是椭圆 C 上位于第一象限内的点, F1 、 F2 是椭圆 C 的左,右焦点,RQ 平分 ?F RF2 且与 y 轴交于点 Q,求点 Q 纵坐标的取值范围。 1
解:(1)P(

3a 4b , ),………………………………………………………1 分 5 5 1 K 4b a e= ①…………………………4 分 K A2 B2 · OP=-1,∴ 2=3a2=4(a2-c2), ∴ 2=4c2, ∴ 2
(2)MN=

4 21 = 7

2 1 1 ? 2 2 a b

,∴

a 2 ? b2 7 ? a 2b 2 12



由① 得,a2=4,b2=3, ∴ ②

x2 y2 ? ? 1 ………………………………………… .8 分 4 3
=

(3)cosα=cosβ,∴

RF 1· RQ RF 1 · RQ

RF 2 · RQ RF 2 · RQ

………………………….………….10 分



(?1 ? x0 ,? y0 )(? x0 , t ? y 0 ) ( x0 ? 1) ? y0
2 2

?

(1 ? x0 ,? y0 )(? x0 , t ? y 0 ) ( x0 ? 1) 2 ? y 0
2

化简得: ∴ t=-

1 y0…………………………….................................................14 分 3

∵ 0< 3 ,t∈ 0<y (-

3 ,0) …………………………………………………………..16 分 3
y C D B A O x

8 、 扬 州 市 2013 届 高 三 期 末 ) 如 图 , 已 知 椭 圆 E1 方 程 为 (

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,圆 E2 方程为 x 2 ? y 2 ? a 2 ,过椭圆的左 2 a b
顶点 A 作斜率为 k1 直线 l1 与椭圆 E1 和圆 E2 分别相交于 B、C.

(Ⅰ)若 k1 ? 1 时, B 恰好为线段 AC 的中点,试求椭圆 E1 的离心率 e ; (Ⅱ) 若椭圆 E1 的离心率 e =

1 ,F2 为椭圆的右焦点, | BA | ? | BF2 |? 2a 时, k1 的值; 当 求 2

k1 b 2 (Ⅲ)设 D 为圆 E2 上不同于 A 的一点,直线 AD 的斜率为 k2 ,当 时,试问直线 ? k2 a 2
BD 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由. 解: (Ⅰ)当 k1 ? 1 时,点 C 在 y 轴上,且 C (0, a ) ,则 B (?

a a , ) ,由点 B 在椭圆上, 2 2
…………………2 分

a a (? ) 2 ( ) 2 2 ? 2 ? 1, 得 a2 b2


b2 1 c2 b2 2 6 . ? , e 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? ,∴e ? 2 3 3 3 a a a

…………………4 分

(Ⅱ)设椭圆的左焦点为 F1 ,由椭圆定义知, | BF1 | ? | BF2 |? 2a , ∴| BF1 |?| BA | ,则点 B 在线段 AF1 的中垂线上,∴xB ? ? 又e ?

a?c ,…………6 分 2

3 c 1 1 3a a ,∴xB ? ? , ? ,∴c ? a , b ? 2 a 2 2 4

代入椭圆方程得 yB ? ?

yB 7 21 21 =? .…………9 分 b=? a ,∴k1 ? xB ? a 4 8 2

? y ? k1 ( x ? a ), x 2 ? a 2 k12 ( x ? a ) 2 ? 2 ? ? 0, (Ⅲ)法一:由 ? x 2 得 y a2 b2 ? 2 ? 1, ? 2 b ?a

∴x ? ? a ,或 x ?

a (b 2 ? k12 a 2 ) , b 2 ? a 2 k12

a (b 2 ? k12 a 2 ) 2ab 2 k1 ∵xB ? ? a ,∴xB ? ,则 yB ? k1 ( xB ? a ) ? 2 .……11 分 b 2 ? a 2 k12 b ? a 2 k12
由?

? y ? k2 ( x ? a ), ?x ? y ? a ,
2 2 2

2 得 x 2 ? a 2 ? k2 ( x ? a ) 2 ? 0 ,

得 x ? ? a ,或 x ?

2 2 2ak2 a (1 ? k2 ) a (1 ? k2 ) ,同理,得 xD ? , yD ? ,……13 分 2 2 1 ? k22 1 ? k2 1 ? k2

b4 2 k2 ) 2 k1 b 2 2ab 2 k2 a(a 2 ? b 2 k2 ) a2 当 时, xB ? , yB ? 2 , ? ? 2 2 k2 a 2 a ? b 2 k2 b4 2 a 2 ? b 2 k2 2 b ? 2 k2 a a (b 2 ?

k BD

2ab 2 k2 2ak2 ? 2 2 2 2 a ? b k2 1 ? k2 1 AD,∵E2 为圆, ? ? ? ,∴ BD⊥ 2 2 2 2 k2 a (a ? b k2 ) a (1 ? k2 ) ? 2 2 a 2 ? b 2 k2 1 ? k2

∴ ∠ ADB 所对圆 E2 的弦为直径,从而直线 BD 过定点(a,0). ……………16 分 法二:直线 BD 过定点 (a, 0) , 证明如下: …………………10 分

xB 2 y B 2 设 P (a, 0) , B ( xB , yB ) ,则: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
k AD k PB ? y y y2 a2 a2 a2 a 2 b2 k1k PB ? 2 ? B ? B ? 2 ? 2 B 2 ? 2 (? 2 ) ? ?1 , b2 b xB ? a xB ? a b x B ? a b a

所以 PB ? AD ,又 PD ? AD 所以三点 P, B, D 共线,即直线 BD 过定点 P (a, 0) 。. …………………16 分

9、 (镇江市 2013 届高三期末)已知椭圆 O 的中心在原点,长轴在 x 轴上,右顶点 A(2,0) 到 右焦点的距离与它到右准线的距离之比为

3 1 . 不过 A 点的动直线 y ? x ? m 交椭圆 2 2

O 于 P,Q 两点.
(1) 求椭圆的标准方程;

(2)证明 P,Q 两点的横坐标的平方和为定值; (3)过点 A,P,Q 的动圆记为圆 C,动圆 C 过不同于 A 的定点,请求出该定点坐标. 19.解: (1)设椭圆的标准方程为

3 x2 y2 .……2 分 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? .由题意得 a ? 2, e ? 2 2 a b
? 椭圆的标准方程为

?c ? 3 , b ? 1 , ……2 分
(2)证明:设点 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) 将y?

x2 ? y 2 ? 1 .……4 分 4

1 1 x ? m 带入椭圆,化简得: x 2 ? 2mx ? 2(m 2 ? 1) ? 0 ○ 2
2 x1 x2 ? 2(m 2 ? 1) ,……6 分 ? x12 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? 4 ,

? x1 ? x2 ? ?2m,

?P,Q 两点的横坐标的平方和为定值 4.……7 分
2 2 (3)(法一)设圆的一般方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则圆心为( ?

D 2

,?

E 2

),

PQ 中点 M( ? m, 圆心( ?

m 3 ), PQ 的垂直平分线的方程为: y ? ?2 x ? m , ……8 分 2 2

E 3 D E 3 2 ,? )满足 y ? ?2 x ? m ,所以 ? ? D ? m ○,……9 分 2 2 2 2 2

圆过定点(2,0),所以 4 ? 2 D ? F ? 0 ○,……10 分 3

? x12 ? y12 ? Dx1 ? Ey1 ? F ? 0, 圆过 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y 2 ) , 则 ? 2 两式相加得: 2 ? x2 ? y2 ? Dx2 ? Ey2 ? F ? 0,
x12 ? x2 2 ? y12 ? y2 2 ? Dx1 ? Dx2 ? Ey1 ? Ey 2 ? 2 F ? 0,
x1 ? x2 ? (1 ?
2 2

x1 4

2

) ? (1 ?

x2 4

2

) ? D ( x1 ? x2 ) ? E ( y1 ? y 2 ) ? 2 F ? 0 ,……11 分

? y1 ? y2 ? m ,
因为动直线 y ?

4 ? 5 ? 2mD ? mE ? 2 F ? 0 ○.……12 分

1 2

x ? m 与椭圆 C 交与 P,Q(均不与 A 点重合)所以 m ? ?1 ,
3( m ? 1) 4 , E? 3 2 m? 3 2 , 3 5 F ? ? m ? , ……13 分 2 2

由○○○解得: D ? 2 3 4

3 3 3 5 x ? ( m ? )y ? m ? ? 0 , 4 2 2 2 2 3 3 5 3 3 3 整理得: ( x 2 ? y 2 ? x ? y ? ) ? m ( x ? y ? ) ? 0 ,……14 分 4 2 2 4 2 2
代入圆的方程为: x 2 ? y 2 ?

3( m ? 1)

3 3 5 ? 2 2 ? x ? y ? 4 x ? 2 y ? 2 ? 0, ? 所以: ? ……15 分 3 3 3 ? x ? y ? ? 0, ? ? 4 2 2

? x ? 0, ? x ? 2, 解得: ? 或? (舍). ? y ? 1, ? y ? 0

所以圆过定点(0,1).……16 分
2 2 (法二) 设圆的一般方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,将 y ?

1 x ? m 代入的圆的方程: 2

5 2 ? E? 5 x ? ? m ? D ? ? x ? m 2 ? mE ? F ? 0 ○.……8 分 4 2? ?
方程○与方程○为同解方程. 1 5

1 2m 2( m 2 ? 1) , ……11 分 ? ? 2 5 E m ? mE ? F m?D? 4 2

圆过定点(2,0),所以 4 ? 2 D ? F ? 0 , ……12 分 因为动直线 y ? 解得: D ?

1 x ? m 与椭圆 C 交与 P,Q(均不与 A 点重合)所以 m ? ?1 . 2

3( m ? 1) 3 3 3 5 , E ? m ? , F ? ? m ? ,……13 分 (以下相同) 4 2 2 2 2

【说明】本题考查圆锥曲线的基本量间关系、直线与圆锥曲线的位置关系;考查定点定值问 题;考查运算求解能力和推理论证能力.


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