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立体几何与解析几何初步复习课件 必修二(1)


必修二 立体几何初步与 解析几何初步的复习

空间图形
(借助长方体)

三视图

直观图

公理 点、线、面的位置关系 平行与垂直

简单几何 体的表面 积和体积

判定定理、性质定理

三视图

在正投影中,一种是光线从几何体的前面向后面正投 影,这种投影图叫做几何体的正(主)视图;从几何 体左面向右面的正投影图称为侧(左)视图;从几何 体上面向下面的正投影图称为俯视图。

斜二测画法步骤是:(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y 轴,两轴相交于点O。画直观图时,把它们画成对应 的x’轴和y’轴,两轴交于点O’,且使∠x’O’y’=45°(或 135 °),它们确定的平面表示水平面。(2)已知图 形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平 行于x’轴或y’轴的线段。(3)已知图形中平行于x轴的 线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线 段,长度为原来的一半。

练1:圆柱的正视图、侧视图都是 矩形 ,俯视图是 圆 ; 圆锥的正视图、侧视图都是 三角形 ,俯视图是圆及圆心; 圆台的正视图、侧视图都是 梯形 ,俯视图是 圆环 。
练2:利用斜二测画法可以得到: ①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平 行四边形;③正方形的直观图是正方形;④菱形的直观图 是菱形。以上结论正确的是( A ) (A)①② (B)① (C)③④ (D)①②③④ 练3:根据三视图可以描述物体的形状,其中根据左视图可以判 断物体的 宽度和高度 ;根据俯视图可以判断物体的 长度和宽度 ;根据主视图可以判断物体的 长度和高度。

练4:某生画出了图中实物的主视图与俯视图,则下列判断正确的 是( B ) A.主视图正确,俯视图正确 B.主视图正确,俯视图错误 C.主视图错误,俯视图正确 D.主视图错误,俯视图错误 俯视 主视图 俯视图 左视
主视 练5:下图中三视图所表示物体的形状为( 一个倒放着的圆锥 ) 主视图 左视图 俯视图

空间点、直线、平面的位置关系 公理1:如果一条直线的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 公理2:如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理3:经过不在同一条直线上的三点, 有且只有一个平面。 推论:一直线和直线外一点确定一平面; 两相交直线确定一平面; 两平行直线确定一平面。 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。

空间中的平行问题
(1)直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条 直线平行,则该直线与此平面平行。 线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行。 (2)平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 (1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这两个平面平行 (2)垂直于同一条直线的两个平面平行, 两个平面平行的性质定理 (1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线 与另一个平面平行。 (2)如果两个平行平面都和第三个平面相交, 那么它们的交线平行。

空间中的垂直问题
(1)线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角是直角, 就说这两条异面直线互相垂直。 ②线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直, 就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角是直二面角, 就说这两个平面垂直。

(2)垂直关系的判定和性质定理
①线面垂直判定定理和性质定理 判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直这个平面。

性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 ②面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相垂直。 性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于 他们的交线的直线垂直于另一个平面。

空间角问题 (1)直线与直线所成的角 (2)直线和平面所成的角 (3)二面角和二面角的平面角

练习:在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F、G、H分别为棱BC、
CC1、C1D1、AA1的中点,O为AC与BD的交点(如图),求 证:(1)EG∥平面BB1D1D;(2)平面BDF∥平面B1D1H;

(3)A1O⊥平面BDF;(4)平面BDF⊥平面AA1C。

1、柱体、锥体、台体的侧面积和体积 棱柱 S直棱柱侧=ch(c为底面周长,h为高) V柱体=Sh(S为柱体的底面积,h为柱体的高) 1 棱锥 S正棱锥侧= ch′(c为底面周长,h′为斜高) 1 2 V锥体= Sh(S为锥体的底面积,h为锥体的高) 3 1 棱台 S正棱台侧= (c+c′)h′(c,c′为上、下底面周长, 2 h′为斜高) 1 V棱台= (S+ SS1 +S1)h(S,S1为棱台的上、下底面 3 积,h为高) 圆柱、圆锥、圆台 S圆柱侧=2πr (r为底面半径,l 为侧面母线长) l S圆锥侧=πr (r为底面半径,l 为侧面母线长) l S圆台侧=π (r+R)(r,R为上、下底面半径,l 为侧面母线长) l 2、球的表面积和体积 4 3 2 S球= 4?R V球= ?R (R为球的半径) 3

练1:已知圆锥的表面积为?a m 2,且它的侧面展开图是一个半 圆,则圆锥的底面半径为( B ) (A) 2a m (B) 3a m (C) a m (D) 5a m
2

3

2

5

练2:一个正三棱锥的底面边长是6,高是 3 ,那么这个正三棱 锥的体积是( A ) 7 9 (A)9 (B) (C)7 (D) 2 2
A1
C1 B1

练3:一个正三棱台的上、下底 面边长分别为3cm和6cm, 高是1.5cm,求三棱台的侧 面积。

27 3 cm 2 2

A B

C

训练1:正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 2 ,点 E, F 分别是 棱 CC1 , BB1 上的点,点 M 是线段 AC 上的动点, EC ? 2 FB ? 2 ,当点 M 在何位置时,MB // 面 AEF . 训练2:如图,在四边形 ABCD 中, ?DAB ? 90? , ?ADC ? 135? , AB ? 5, CD ? 2 2 , AD ? 2 ,求四边形 ABCD 绕 AD 旋转 一周所成几何体的表面积及体积

直线和圆

直 线 的 斜 率 与 倾 斜 角

直 线 方 程 的 五 种 形 式

两 条 直 线 的 位 置 关 系

点 到 直 线 的 距 离 公 式

圆 的 标 准 及 一 般 方 程

直 线 与 圆 的 位 置 关 系

圆 与 圆 的 位 置 关 系

了 解 空 间 直 角 坐 标 系

空 间 两 点 的 距 离 公 式

直线方程
①倾斜角: ?0, ? ?
y 2 ? y1 ( x1 ? x 2 ) ; ;②若 a ? 90 ,则 k ? tan a ? x 2 ? x1
?

③点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x 0 ) ;④斜截式: y ? kx ? b ; y ? y1 x ? x1 x y ? ⑤两点式: ;⑥截距式: ? ? 1 ; y 2 ? y1 x 2 ? x 1 a b ⑦一般式: Ax ? By ? C ? 0 ; ⑧直线系方程: A1 x ? B1 y ? C1 ) ? ? ( A2 x ? B2 y ? C 2 ) ? 0 ; ( ⑨与截距式有关几点:与坐标轴围成三角形面积是: 1 ab ;与坐

标轴围成三角形周长:a ? b ? a ? b ;直线在坐标轴上截距相
2 2

2

等:k ? ?1或 直 线 过 原 点;截距相等 ? 截距绝对值相等。

练1、过 P (?1,2) 的直线 l 与线段 AB 相交,若 A( ?2,?3), B( 3,0) , 求 l 的斜率 k 的取值范围。 2、证明:A( ?1,?5), B( 3,3), C (7,11) 三点共线。 3、设直线 l 的斜率为 k ,且 ? 3 ? k ? 1 ,求直线的倾斜角 a 的取值范围。 3 4、已知直线 l 的倾斜角的正弦值为 ,且它与两坐标轴围成 5 的三角形面积为 6 ,求直线 l 的方程。

1? ? 答案: 1、 k ? ? ? ?,? ? ? ?5,??? ;2、方法:① k AB ? k AC 2? ? ? 2? ? AB ? BC ? AC ③ AB// AC ;3、 ?0, ? ? ? ,? ? ? ? ② ? 4 3
? ? ? ?



4、 ?

x 4

y x y 、x ? y ? 1 、 x ? y ? 1 、 ?1 ? ?1 。 3 ?4 ?3 4 ?3 ?4 3

① l1 // l 2 ? k1 ? k2,且b1 ? b2



一般式:l1 // l 2 ?

l1 ? l 2

A1 B1 C1 ? ? ; A2 B2 C2

1 ? k1 k 2 ? ?1即k1 ? ? k2



一般式:l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0;
③点 P( x0 , y0 )到直线 Ax ? By ? C ? 0 距离:d ?
C 2 ? C1 A2 ? B 2

Ax0 ? By0 ? C



A2 ? B 2 ④推广:直线 Ax ? By ? C1 ? 0 到直线 Ax ? By ? C 2 ? 0 的距离:
d?

练1、 为何值时,直线 ax ? (1 ? a ) y ? 3 ? 0 与(a ? 1) x ? ( 2a ? 3) y ? 2 ? 0 a 平行?垂直?
2 2、求过点 A(?1,2) 且与原点的距离为 的直线方程。 2

a 答案:1、判断 A1 B2 ? A2 B1 是否为 0 , ? 1或a ? ?3 时垂直;

2、 x ? y ? 1 ? 0或7 x ? y ? 5 ? 0 ;

圆的方程
①若点 ( x0 , y0 ) 是圆外一点,A, B 为两切点,则弦 AB 直线方程
为: 0 x ? y0 y ? r 2 ; x

②判断圆与直线的位置关系:通过圆心到直线的距离和半径的比
较; ③判断圆与圆的位置关系:通过圆心距与两圆半径三者之间关 系; ④弦长:弦心距,半径。

练1、两定点 A, B 距离为 8 ,求到两点 A, B 距离的平方和是 50

的动点的轨迹方程。

2、求以点 O(1,3) 为圆心,且和直线 3 x ? 4 y ? 7 ? 0 相切的圆的方程。 3、求过原点和 A(1,1)且在 x 轴上截得的线段长为 3 的圆的方程。 4、已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 与直线 l : 3 x ? 4 y ? m ? 0 ,m 为何 值时,直线 l 与圆 C 相交、相切、相离? 5、 C1 : x 2 ? y 2 ? 2mx ? 4 y ? m 2 ? 5 ? 0, C2 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2my ? m 2 ? 3 ? 0 两圆,m 为何值时,两圆外切、内含?

6、过直线 2 x ? y ? 4 ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 交点面积最 小圆的方程。 7、圆半径 10 ,圆心在 y ? 2 x 上,圆被x ? y ? 0 截得弦长为 4 2 , 求圆方程。

答案:1、设 A(?4,0), B(4,0), P ( x , y ) :x 2 ? y 2 ? 9 ;2、圆心到直线 256 距离等于半径:x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? ;3、若条件与圆心、 ( 25 半径无直接关系,用圆的一般式:
x 2 ? y 2 ? 3 x ? 5 y ? 0或x 2 ? y 2 ? 3 x ? y ? 0 ; 4、圆心到直

线距离与半径比较:相交 ? 8 ? m ? 2 ;相切 m ? ?8, m ? 2 ;

相离 m ? 2或m ? ?8 ;5、外切: m ? ?5, m ? 2 ;内含: ;6、圆系方程: x ? 13 ) 2 ? ( y ? 6 ) 2 ? 4 ; ? 2 ? m ? ?1 ( 5 5 5 2 2 7、 x ? 2) ? ( y ? 4) ? 10 。 (

练1:在空间直角坐标系中,已知点 P ( x, y, z ) ,下列叙述中正确 的个数是( C ) ①点 P 关于 x 轴对称点的坐标是 P1 ( x,? y, z ) ②点 P 关于 yOz 平面对称点的坐标是 P2 ( x ,? y,? z ) ③点 P 关于 y 轴对称点的坐标是 P3 ( x,? y, z )

④点 P 关于原点对称的点的坐标是 P4 (? x,? y,? z )
(A)3 (B) 2 (C)1 (D)0

练2:在空间直角坐标系中,求点 A( ?3,2,?4) 和 B(?4,3,1) 的距离。

3 3


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