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2019-2020年高三数学 3.6函数的单调性第一课时备课资料 大纲人教版选修

2019-2020 年高三数学 3.6 函数的单调性第一课时备课资料 大纲人教版
选修
课时安排 1 课时 从容说课 本节教学安排,应是在学生已有的单调性的概念基础上进一步建构完善认知结构,使学 生充分认识学习导数的作用.可以从如下三个方面进行教学: (1)从函数图象出发给出了用导数的符号判别函数增减性的方法.先从 y=x2,y=x3,y=x4 等常见的函数入手,让学生进行归纳概括出一般的问题 (2)学生在高一学习函数时,已经知道了增函数、减函数和单调函数的意义,用导数 判断或证明函数在给定区间的单调性要简捷得多.在教学时,要从学生的已有知识出发,并 且要引导学生对新旧方法进行比较,例如,可以让学生用导数法重新证明《数学》第一册(上) 的例题“证明函数 f(x)=在(0,+∞)上是减函数”.通过比较,可以提高学生对导数与微分 的学习意义的认识 (3)本小节的内容是与后面两小节有着直接联系的.特别地,关于本小节习题的演练, 带有一定的过渡性,较为系统、全面的解题方法将在后续各小节中逐步介绍.要让学生总结 概括利用导数确定函数的增减区间的具体步骤,这样为以后的学习打下了基础 还应向学生交待,以往是证明函数在某个区间是单调的,但他们不知道这些区间是如何 划分的,这时可以补充例题:求 y=ax+(ab>0)的单调区间
第十二课时 课题 3.6 函数的单调性 教学目标 一,教学知识点 1.函数单调性的概念 2.增函数的概念与判别方法 3.减函数的概念与判别方法 4.常数函数的概念与判别方法 二,能力训练要求 1.根据增函数的定义,求函数的单调递增区间或进行证明 2.根据减函数的定义,求函数的单调递减区间或进行证明 三,德育渗透目标 1.培养学生数形结合的数学思想 2.使学生认识到新知识的学习,会为我们解决实际问题带来方便,激发学生的学习兴趣 和求知欲望. 教学重点 增函数与减函数的新定义,新的判别方法的应用. 教学难点 增减函数的定义的理解,如何利用导数去判别函数的增减性.从函数图象出发给出增减 函数的定义以及用导数的符号判别函数单调性的方法.关键是先求导,解不等式得单调区间, 或者证明导数与 0 的大小关系来判别单调性. 教学方法

建构主义式 通过让学生观察图象,根据曲线 y=f(x)的切线的斜率就是函数 f(x)的导数,来判断 斜率的正负,从而得到 f′(x)的正负与增减函数的关系,让学生自己重新定义增减函数 教学过程 Ⅰ.课题导入 [师]我们在高一时已经学习了增、减函数,它们是如何定义的? [生]对于任意的两个数 x1,x2∈I,且当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么函数 f(x) 就是区间 I 上的增函数 对于任意的两个数 x1,x2∈I,且当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么函数 f(x)就是 区间 I 上的减函数. [师]那我们如何来判断一个函数是增函数还是减函数呢? [生]可以根据定义,在区间内任取两个数 x1,x2,先假设 x1<x2,然后比较 f(x1)与 f (x2)的大小.f(x1)<f(x2),则是增函数;f(x1)>f(x2),则是减函数 [师]回答得很好.什么叫函数的单调性? [生]1.如果函数 f(x)在某个区间上是增函数或减函数,那么就说 f(x)在这个区间 上具有单调性.(板书) [师]这节课我们来重新研究一下函数的单调性 Ⅱ.讲授新课 (一)函数的单调性 [师]我们一起来观察一下这个函数图象. y=f(x)=x2-4x

图 3-14

[师]曲线的切线与导数有什么关系?

[生]曲线 y=f(x)的切线的斜率就是函数 f(x)的导数

[师]y=f(x)=x2-4x+3 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数?

[生]y=f(x)=x2-4x+3 在(2,+∞)内为增函数,在(-∞,2)内是减函数

[师]在(2,+∞)内,切线的斜率和 f(x)的导数有什么特征呢?

[生]在(2,+∞)内,切线的斜率为正,f′(x)>0.

[师]在(-∞,2)内呢?

[生]在(-∞,2)内,切线的斜率为负,f′(x)<

(根据学生的回答,填写下列表格)

y=f(x)=x2-4x+3

切线的斜率

f′(x)

(2,+∞)

增函数



>0

(-∞,2)

减函数



<0

[师]我们能否根据函数的导数的正负与函数的增减性的关系来重新定义增减函数呢?

(学生回答,老师板书)

2.设函数 y=f(x)在某个区间内可导,

(1)如果 f′(x)>0,则 f(x)为增函数;

(2)如果 f′(x)<0,则 f(x)为减函数

[师]现在我们判断函数的增减性的方法是什么? [生]也是根据定义,先对函数进行求导,再判断 f′(x)在某个区间上是大于 0 还是 小于 0.大于 0,是增函数;小于 0,是减函数 [师]如果 f′(x)=0,f(x)是什么函数? [生]∵C′=0(C 是常数),∴f′(x) 则 f(x)=C(C 是常数).∴f(x)是常数函数 [板书]3.如果在某个区间内恒有 f′(x)=0,则 f(x)为常数函数. [师]我们要判断一个函数是否是常数函数,只要看它的导数是否恒等于 (二)课本例题 [例 1]确定函数 f(x)=x2-2x+4 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.
图 3-15 解:f′(x)=(x2-2x+4)′=2x-2. 令 2x-2> 解得 x> ∴当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数 令 2x-2<0,解得 x< ∴当 x∈(-∞,1)时,f′(x)<0,f(x)是减函数 (总结)求函数单调区间的步骤: ①求函数 f(x)的导数 f′(x) ②令 f′(x)>0,解不等式,得 x 的范围,就是递增区间 ③令 f′(x)<0,解不等式,得 x 的范围,就是递减区间 [例 2]确定函数 f(x)=2x3-6x2+7 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数 解:f′(x)=(2x3-6x2+7)′=6x2-12x. 令 6x2-12x>0,解得 x>2 或 x< ∴当 x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,f(x)是增函数 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数 令 6x2-12x<0,解得 0<x< ∴当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)是减函数.
图 3-16 (三)精选例题 [例 1]证明函数 f(x)=在(0,+∞)上是减函数. 证法一:(用以前学的方法证)任取两个数 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2 f(x1)-f(x2)=.

∵x1>0,x2> ∴x1x2> ∵x1<x2 ∴x2-x1> ∴> ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) ∴f(x)=在(0,+∞)上是减函数 证法二:f′(x)=()′=(-1)·x-2=-, x>0,
∴x2> ∴-< ∴f′(x)< ∴f(x)=在(0,+∞)上是减函数 [师]比较一下两种方法,用求导证明是不是更简捷一些,如果是更复杂一些的函数, 用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性 [例 2](xx 年全国Ⅰ,理 19)已知 a∈R,求函数 f(x)=x2eax 的单调区间 解:函数 f(x)的导数 f′(x)=2xeax+ax2eax=(2x+ax2)eax (1)当 a=0 时,f(x)=x2,若 x<0,则 f′(x)<0,若 x>0,则 f′(x)> ∴当 a=0 时,函数 f(x)在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数 (2)当 a>0 时,令 f′(x)=0,∴(ax2+2x)eax ∵eax>0,∴ax2+2x ∴x1=-,x2 若 x<-,则 f′(x)> 若-<x<0,则 f′(x)< 若 x>0,则 f′(x)> ∴函数 f(x)在区间(-∞,-)内为增函数,在区间(-,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内 为增函数. (3)当 a<0 时,令 f′(x) ∴(ax2+2x)eax ∵eax>0,∴ax2+2x ∴x1=0,x2=-> 若 x<0,∵a< ∴ax2+2x<0,则 f′(x)< 若 0<x<-2[ ]a,则 ax2+2x> ∴f′(x)> 若 x>-,ax2+2x<0,则 f′(x)< ∴函数 f(x)在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,- )内为增函数,在区间(-,+∞) 内为减函数 解题回顾:本题通过求单调区间,考查学生求导运算的法则,考查导数的性质 f(′ x)> 即可求增区间,f′(x)<0 即可求减区间;通过解不等式考查了学生的运算能力及分类讨论的 数学思想.本题中注意对参数 a 的分类.特别是 a<0 时,ax2+2x 的符号与 a>0 的情况相反,不少 考生都以为相同了.考查综合运用数学知识解决问题的能力. [例 3](xx 年全国Ⅱ,21)若函数 f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1 在区间(1,4)内为减函数, 在区间(6,+∞)上为增函数,试求实数 a 的取值范围

解:f′(x)=x2-ax+(a-1)=(x-1)[x-(a-1)],令 f′(x)=0,得

x1=1,x2=a-1. ①当 a=2 时,x1=x2=1,若 x<1,则 f′(x)>0; 若 x>1,则 f′(x)>0.

又 f(x)在 x=1 处是连续的

∴f(x)在 R 上是增函数,故 a=2 时不合题意

②当 a-1<1,即 a<2 时,列出下表

x

(-∞,a-1)

a-1

(a-1,1)

1

(1,+∞)

f′(x)

+

0

-

0

+

f(x)

单调递增

极大

单调递减

极小

单调递增

又 f(x)在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)上为增函数,∴当 a<2 时不合题意,

故舍去.

③当 a-1>1,即 a>2 时,得出下表

x

(-∞,1)

1

(1,a-1)

a-1

(a-1,+∞)

f′(x)

+

0

-

0

+

f(x)

单调递增

极大

单调递减

极小

单调递增

依题意知

∴5≤a≤7.

综上得 5≤a≤7. [例 4]当 x>0 时,证明不等式 1+2x<e2x 分析:假设令 f(x)=e2x-1-2x ∵f(0)=e0-1-0=0,

如果能够证明 f(x)在(0,+∞)上是增函数,那么 f(x)>0,则不等式就可以证明 证明:令 f(x)=e2x-1-2x ∴f′(x)=2e2x-2=2(e2x-1) ∵x>0,∴e2x>e0 ∴2(e2x-1)>0,

即 f′(x)> ∴f(x)=e2x-1-2x 在(0,+∞)上是增函数 ∵f(0)=e0-1∴当 x>0 时,f(x)>f(0)=0,即 e2x-1-2x> ∴1+2x<e2x

[师]所以以后要证明不等式时,可以利用函数的单调性进行证明,把特殊点找出来使

函数的值为

Ⅲ.课堂练习 1.已知函数 y=x+,试讨论出此函数的单调区间 解:y′=(x+)′=1-1·x-2

=,

令>0,

解得 x>1 或 x<-

∴y=x+的单调增区间是(-∞,-1)和(1,+∞). 令<0,解得-1<x<0 或 0<x<

∴y=x+的单调减区间是(-1,0)和(0,1).

2.若 x>0 时,f′(x)>g′(x),当 f(x)和 g(x)满足条件 f(0)=g(0)时,一定有

f(x)>g(x)(当 x>0 时) [师生共析]要证 f(x)>g(x),当 x>0 时, 可以令 F(x)=f(x)-g(x) ∵当 x>0 时,f(x)、g(x)都可导 ∴F(x)可导 ∴F′(x)=f′(x)-g′(x)> ∴F(x)在(0,+∞)上是增函数 当 x>0 时,F(x)>F(0).如果 F(0)=0, 那么 f(x)>g(x) ∴f(0)-g(0)=0,即 f(0)=g(0) 3.求证: (x-1)>x-1,其中 x∈(1,+∞) 证明:令 f(x)=(x-1)-x+1, f′(x)=[(x-1)-x+1] =-x=(1-) ∵x>1,∴< ∴(1-)> 即 f′(x)> ∴f(x)在(1,+∞)上是增函数 ∴当 x>1 时,f(x)>f(1)=(1-1)-1+1=0, 即(x-1)>x-1. Ⅳ.课时小结 (学生总结)这节课主要学习了增减函数的新定义:f(x)在某区间内可导,f′(x)>0
时是增函数,f′(x)<0 时是减函数(可以根据 f′(x)>0 或 f′(x)<0 求函数的单调区间, 或判断函数的单调性,或证明不等式)以及如果在某个区间上恒有 f′(x)=0,那么 f(x)
在这个区间上是常数函数 Ⅴ.课后作业 (一)课本 P128 习题 3.6 1、 (二)1.预习内容:课本 P128~129 函数的极值. 2.预习提纲: (1)极大值的定义,判别方法 (2)极小值的定义,判别方法 (3)求可导函数 f(x)的极值的步骤 板书设计 3.6 函数的单调性 1.函数单调性的定义 2.增减函数的定义 3.如果某区间内恒有 f′(x)=0,则 f(x)为常数函数 课本例题 例 1.确定 f(x)=x2-2x+4 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数 总结解题步骤 例 2.确定 f(x)=2x3-6x2+7 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数 精选例题 例 1.证明函数 f(x)=在(0,+∞)上是减函数.(两种方法) 例

例 例 4.当 x>0 时,证明不等式 1+2x<e2x. 课堂练习 1.求 y=x+的单调区间 2.若 x>0 时,f′(x)>g′(x),当 f(x)与 g(x)满足条件__________时,一定有 f(x) >g(x)(x>0). 3.求证: (x-1)>x-1(x∈(1,+∞)).


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