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广西桂林十八中2014-2015学年高二数学上学期开学试卷 文(含解析)


文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

广西桂林十八中 2014-2015 学年高二上学期开学数学试卷(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)函数 的定义域是() C. (1,2) D.

A. [1,2] B. (﹣∞,1]∪[2,+∞) (﹣∞,1)∪(2,+∞) 2. (5 分)如果 a<0,b>0,那么,下列不等式中正确的是() A. B. C. a <b
2 2

D. |a|>|b|

3. (5 分)等差数列{an}中,a2+a6=8,则 a4=() A. 2 B. 4 C. 8

D. 16

4. (5 分)已知等比数列{an}的公比 q=﹣ ,则

等于()

A. ﹣

B. ﹣3

C.

D. 3

5. (5 分)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图()

A.

B.

C.

D.

6. (5 分)已知等比数列{an}满足 a1=3,且 4a1,2a2,a3 成等差数列,则 a3+a4+a5=() A. 33 B. 84 C. 72 D. 189 7. (5 分)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x(万元)4 2 3 5 销售额 y(万元) 49263954 根据上表可得回归方程 = x+ 的 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为() A. 63.6 万元 B. 65.5 万元
2 2

C. 67.7 万元

D. 72.0 万元

8. (5 分)若 f(x)=3x ﹣x+1,g(x)=2x +x﹣1,则 f(x)与 g(x)的大小关系是()

1

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. f(x)>g(x) C. f(x)<g(x)
2

B. f(x)=g(x) D. 随 x 的值的变化而变化

9. (5 分)不等式 ax +5x+c>0 解集为 A. a=6,c=1 B. a=﹣6,c=﹣1
4 4

,则 a、c 的值为() C. a=1,c=6 D. a=﹣1,c=﹣6

10. (5 分)已知 sinα = A. ﹣

,则 sin α ﹣cos α 的值为() C. D.

B. ﹣

11. (5 分)数列 1, (1+2) , (1+2+2 ) ,?, (1+2+2 +?+2 n n n+1 A. 2 ﹣1 B. n?2 ﹣n C. 2 ﹣n

2

2

n﹣1

)?的前 n 项和为() n+1 D. 2 ﹣2﹣n

12. (5 分)在等差数列{an}中,其前 n 项和是 Sn,若 S15>0,S16<0,则在 中最大的是() A. B. C. D.



,?,

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)直线 2x﹣y+1=0 与直线 ax+y+2=0 垂直,则 a 等于.

14. (5 分)已知向量



满足





,则

=.

15. (5 分)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )+b 的图象如图所示,则 f(x)的解析式为.

16. (5 分)若数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣10n+1(n∈N ) ,则通项 an=.

2

*

三、解答题(17 小题 10 分,其余各 12 分,共 70 分) 17. (10 分)设等差数列{an}满足 a3=5,a10=﹣9. (Ⅰ)求{an}的通项公式;

2

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅱ)求{an}的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值. 18. (12 分)“你低碳了吗?”这是某市为倡导建设节约型社会而发布的公 益广告里的一句 话.活动组织者为了了解这则广告的宣传效果,随机抽取了 120 名年龄在[10,20) ,[20, 30) ,?,[50,60)的市民进行问卷调查,由此得到的样本的频率分布直方图如图所示. (1)根据直方图填写频率分布统计表; (2)根据直方图,试估计受访市民年龄的中位数(保留整数) ; (3)按分层抽样的方法在受访市民中抽取 n 名市民作为本次活动的获奖者,若在[10,20) 的年龄组中随机抽取了 6 人,则 n 的值为多少? 分组 频数 频率 [10,20) 18 0.15 [20,30) 30 [30,40) [40,50) 0.2 [50,60) 6 0.05

19. (12 分)如图所示,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB= M 是线段 EF 的中点. (1)证明:CM∥平面 BDF; (2)求四面体 DE FB 的体积.

,AF=1,

20. (12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 A= 积为 .

,b=3,△ABC 的面

(1)求边 c 的长; (2)求 cos2B 的值.

3

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 21. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}满足 bn=log2(an+1) ,a1=1 且对于任意 n≥2,n∈N+有 an=2an﹣1+1. (1)证明数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)若 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 22. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1: (x+3) +(y﹣1) =4 和圆 C2: (x﹣4) 2 2 +(y﹣5) =4. (1)若直线 l 过点 A(4,0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 ,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分别 与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求所 有满足条件的点 P 的坐标.
2 2

广西桂林十八中 2014-2015 学年高二上学期开学数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)函数 的定义域是() C. (1,2) D.

A. [1,2] B. (﹣∞,1]∪[2,+∞) (﹣∞,1)∪(2,+∞)

考点: 一元二次不等式的解法;函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 根据平方根的定义可知负数没有平方根,得到被开方数大于等于 0,列出关于 x 的 不等式,再根据两数相乘,同号得正的取符号法则转化为两个不等式组,求出两不等式组解 集的并集,即为函数的定义域. 解答: 解:∵函数
2

有意义,

∴x ﹣3x+2≥0,即(x﹣1) (x﹣2)≥0, 可化为: 或 ,

解得:x≥2 或 x≤1, 则函数的定义域为(﹣∞,1]∪[2,+∞) . 故选 B 点评: 此题属于以函数的定义域为平台, 考查了一元二次不等式的解法, 利用了转化的思 想,是 2015 届高考中的基本题型.

4

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2. (5 分)如果 a<0,b>0,那么,下列不等式中正确的是() A. B. C. a <b
2 2

D. |a|>|b|

考点: 不等关系与不等式. 专题: 计算题. 分析: 根据已知条件分别 对 A、B、C、D,四个选项利用特殊值代入进行求解. 解答: 解:A、如果 a<0,b>0,那么 B、取 a=﹣2,b=1,可得
2

,∴

,故 A 正确;


2

,故 B 错误;

C、取 a=﹣2,b=1,可得 a >b ,故 C 错误; D、取 a=﹣ ,b=1,可得|a|<|b|,故 D 错误; 故选 A. 点评: 此题考查不等关系与不等式, 利用特殊值法进行求解更加简便, 此题是一道基础题. 3. (5 分)等差数列{an}中,a2+a6=8,则 a4=() A. 2 B. 4 C. 8

D. 16

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 根据等差数列的性质知:a2+a6=2a4,即可求出 a4 的值. 解答: 解:∵数列{an}是等差数列, ∴a2+a6=2a4=8, ∴a4=4. 故选:B. 点评: 此题考查了等差数列的性质,熟练掌握性质是解本题的关键.

4. (5 分)已知等比数列{an} 的公比 q=﹣ ,则

等于()

A. ﹣

B. ﹣3

C.

D. 3

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据 = = = = ,进而可知 = ,答案可得.

解答: 解:∵

=

=

=

= ,

5

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= =﹣3.

故选 B 点评: 本题主要考查了等比数列的性质.属基础题. 5. (5 分)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图()

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 作图题;压轴题. 分析: 根据三视图的特点,知道左视图从图形的左边向右边看,看到一个正方形的面,在 面上有一条对角线,对角线是由左下角到右上角的线,得到结果. 解答: 解:左视图从图形的左边向右边看, 看到一个正方形的面, 在面上有一条对角线, 对角线是由左下角到右上角的线, 故选 D. 点评: 本题考查空间图形的三视图,考查左视图的做法,本题是一个基础题,考查的内容 比较简单,可能出现的错误是对角线的方向可能出错. 6. (5 分)已知等比数列{an}满足 a1=3,且 4a1,2a2,a3 成等差数列,则 a3+a4+a5=() A. 33 B. 84 C. 72 D. 189 考点: 等比数列的性质;等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 由 4a1,2a2,a3 成等差数列,根据等差数列的性质和 a1 的值,即可求出公比 q 的值, 然后写出等比数列的通项公式,利用通项公式把所求的式子化简即可求出值. 解答: 解:由 4a1,2a2,a3 成等差数列,得到 4a2=4 a1+a3, 2 2 又 a1=3,设公比为 q,可化为:12q=12+3q ,即(q﹣2) =0, n﹣1 解得:q=2,所以 an=3×2 , 则 a3+a4+a5=12+24+48=84. 故选 B 点评: 此题考查学生掌握等差数列的性质, 灵活运用等比数列的通项公式化简求值, 是一 道基础题.

6

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 7. (5 分)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x(万元)4 2 3 5 销售额 y(万元) 49263954 根据上表可得回归方程 = x+ 的 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为() A. 63.6 万元 B. 65.5 万元 C. 67.7 万元 D. 72.0 万元

考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: 首先求出所给数据的平均数,得到样本中心点,根据线性回归直线过样本中心点, 求出方程中的一个系数,得到线性回归方程,把自变量为 6 代入,预报出结果. 解答: 解:∵ =42, ∵数据的样本中心点在线性回归直线上, 回归方程 中的 为 9.4, =3.5,

∴42=9.4×3.5+a, ∴ =9.1, ∴线性回归方程是 y=9.4x+9.1, ∴广告费用为 6 万元时销售额为 9.4×6+9.1=65.5, 故选:B. 点评: 本题考查线性回归方程.考查预报变量的值,考查样本中心点的应用,本题是一个 基础题,这个原题在 2011 年山东卷第八题出现. 8. (5 分)若 f(x)=3x ﹣x+1,g(x)=2x +x﹣1,则 f(x)与 g(x)的大小关系是() A. f(x)>g(x) B. f(x)=g(x) C. f(x)<g(x) D. 随 x 的值的变化而变化 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题. 2 分析: 比较大小一般利用作差的方法,进而得到 f(x)﹣g(x)=x ﹣2x+2,然后再利用 二次函数的性质解决问题即可. 2 2 解答: 解:由题意可得:f(x)=3x ﹣x+1,g(x)=2x +x﹣1 2 2 所以 f(x)﹣g(x)=x ﹣2x+2=(x﹣1) +1≥1, 所以 f(x)>g(x) . 故选 A. 点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握比较大小的方法与二次函数的性质, 并且结合正确 的运算.
2 2 2

9. (5 分)不等式 ax +5x+c>0 解集为

,则 a、c 的值为()

7

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. a=6,c=1 B. a=﹣6,c=﹣1 C. a=1,c=6 D. a=﹣1,c=﹣6

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可得出. 解答: 解: ∵不等式 ax +5x+c>0 解集为 根为 , ,且 a<0.
2

, ∴方程 ax +5x+c=0 的两个实数

2



,解得

故选 B. 点评: 熟练掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系是解题的 关键.
4 4

10. (5 分)已知 sinα = A. ﹣

,则 sin α ﹣cos α 的值为() C. D.

B. ﹣

考点: 三角函数中的恒等变换应用. 分析: 用平方差公式分解要求的算式, 两个因式中一部分用同角的三角函数关系整理, 另 一部分把余弦变为正弦,代入题目的条件,得到结论. 4 4 解答: 解:sin α ﹣cos α 2 2 =sin α ﹣cos α 2 =2sin α ﹣ 1 =﹣ , 故选 B. 点评: 已知一个角的某一个三角函数值, 便可运用基本关系式求出其它三角函数值. 在求 值中,确定角的终边位置是关键和必要的. 11. (5 分)数列 1, (1+2) , (1+2+2 ) ,?, (1+2+2 +?+2 n n n+1 A. 2 ﹣1 B. n?2 ﹣n C. 2 ﹣n 考点: 数列的求和. 专题: 计算题.
2 2 n﹣1

)?的前 n 项和为() n+1 D. 2 ﹣2﹣n

8

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分析:

由 1+2+2 +?+2

2

n﹣1

=

=2 ﹣1 可知,数列的前 n 项和为: (2 ﹣1)+

n

1

(2 ﹣1)+(2 ﹣1)+?+(2 ﹣1)=2 +2 +2 +?+2 ﹣n=

2

3

n

1

2

3

n

=2 ﹣2﹣n

n+1

解答: 解:∵1+2+2 +?+2

2

n﹣1

=
2

=2 ﹣1
2 n﹣1

n

∴数列的前 n 项和为:1+(1+2)+(1+2+2 )+?+(1+2+2 +?+2 1 2 3 n =(2 ﹣1)+(2 ﹣1)+(2 ﹣1)+?+(2 ﹣1) 1 2 3 n =2 +2 +2 +?+2 ﹣n = =2 ﹣2﹣n
n+1



故选 D 点评: 本题为数列的求和问题,求出数列的通项公式并应用到数列中是解决问题的关键, 属中档题. 12. (5 分)在等差数列{an}中,其前 n 项和是 Sn,若 S15>0,S16<0,则在 中最大的是() A. B. C. D. , ,?,

考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 由题意知 a8>0,a9<0.由此可知 >0, >0,?, >0, <0, <

0, ,

<0,所以在



,?,

中最大的是



解答: 解:由于 S15=

=15a8>0,

S16=

=8(a8+a9)<0,

所以可得 a8>0,a9<0. 这样 >0, >0,?, >0, <0, <0,?, <0,

9

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 而 S1<S2<<S8,a1>a2>>a8, 所以在 , ,?, 中最大的是 .

故选 B 点评: 本题考查等数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)直线 2x﹣y+1=0 与直线 ax+y+2=0 垂直,则 a 等于 .

考点: 专题: 分析: 解答:

直线的一般式方程与直线的垂直关系. 直线与圆. 利用两条直线互相垂直的充要条件即可得出. 解:∵直线 2x﹣y+1=0 与直线 ax+y+2=0 垂直,

∴斜率满足 2×(﹣a)=﹣1,解得 a= . 故答案为: . 点评: 本题考查了两条直线互相垂直的充要条件,属于基础题.

14. (5 分)已知向量



满足





,则

=



考点: 平面向量数量积的运算;向量的模. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 直接利用向量的数量积的性质即可求解 解答: 解:∵ = = = =

故答案为:2 点评: 本题主要考查了平面向量的数量积的基本运算,属于基础试题 15. (5 分)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )+b 的图象如图所示,则 f(x)的解析式为 .

考点: 由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式.
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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由函数图象得到 ,解方程组得到 A,b 的值,再由图象得到周期,代入

周期公式求得 ω ,再由 f(0)=1 求得 φ 的值. 解答: 解:由图可知, T=4,即 ∴ 由 得 sinφ =0,φ =0. ∴ 故答案为: . . ,则 ω = . . , ,解得 A= ,b=1.

点评: 本题考查了由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象求函数解析式,考查了三角函数的周 期公式,是基础题.

16. (5 分)若数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣10n+1(n∈N ) ,则通项 an=

2

*



考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用公式
2

求解.
*

解答: 解:∵数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣10n+1(n∈N ) , ∴n=1 时,a1=S1=1﹣10+1=﹣8. n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1 2 2 =(n ﹣10n+1)﹣[(n﹣1) ﹣10(n﹣1)+1] =2n﹣11. n=1 时,2n﹣11=﹣9≠a1. ∴an= .

故答案为:



11

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点评: 本题考查数列的前 n 项和的求法,解题时要注意公式 合理运用. 三、解答题(17 小题 10 分,其余各 12 分,共 70 分) 17. (10 分)设等差数列{an}满足 a3=5,a10=﹣9. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)求{an}的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值.



考点: 等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. 分析: (1)设出首项和公差,根据 a3=5,a10=﹣9,列出关于首项和公差的二元一次方程 组,解方程组得到首项和公差,写出通项. (2)由上面得到的首项和公差,写出数列{an}的前 n 项和,整理成关于 n 的一元二次函数, 二次项为负数求出最值. 解答: 解: (1)由 an=a1+(n﹣1)d 及 a3=5,a10=﹣9 得 a1+9d=﹣9,a1+2d=5 解得 d=﹣2,a1=9, 数列{an}的 通项公式为 an=11﹣2n (2)由(1)知 Sn=na1+
2

d=10n﹣n .

2

因为 Sn=﹣(n﹣5) +25. 所以 n=5 时,Sn 取得最大值. 点评: 数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数, 当自变量从小到大依次 取值对应的一列函数值,因此它具备函数的特性. 18. (12 分)“你低碳了吗?”这是某市为倡导建设节约型社会而发布的公益广告里的一句 话.活动组织者为了了解这则广告的宣传效果,随机抽取了 120 名年龄在[10,20) ,[20, 30) ,?,[50,60)的市民进行问卷调查,由此得到的样本的频率分布直方图如图所示. (1)根据直方图填写频率分布统计表; (2)根据直方图,试估计受访市民年龄的中位数(保留整数) ; (3)按分层抽样的方法在受访市民中抽取 n 名市民作为本次活动的获奖者,若在[10,20) 的年龄组中随机抽取了 6 人,则 n 的值为多少? 分组 频数 频率 [10,20) 18 0.15 [20,30) 30 [30,40) [40,50) 0.2 [50,60) 6 0.05

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考点: 频率分布直方图;分层抽样方法;众数、中位数、平均数. 专题: 图表型. 分析: (1)利用统计中, 求出表中的 M,利用频数和为 120 及频率分布

直方图中频率=纵坐标×组距求出 a 的值进行计算即得. (2)由频率分布直方图估计样本数据的中位数,规律是:中位数,出现在概率是 0.5 的地 方. (3)令在[10,20)的年龄组中在所有市民中所占的比例等于抽到的在[10,20)的年龄组 中与样本容量的比,列出方程,求出 n 的值. 解答: 解: (1)由分组[20,30)内的频率是 0.025×10=0.25, 知频率分布统计表中第二行的空格中填 0.25, 由分组[40,50)内的频率是 0.2, 知频率分布统计表中第四行的空格中填 0.2×120=24, 根据样本容量 120 得出分组[30,40)内的频数是 42, 根据频率和为 1 得出此组的频率为 0.35, 作出频率分布统计表如图. (2)受访市民年龄的中位数为: 30+ (3)由 ,解得 n=40. =30+ ≈33;

点评: 本小题主要考查频率分布直方图、中位数、分层抽样方法等基础知识.在解决频率 分布直方图的问题时,要注意直方图中的纵坐标,直方图中求频率等于纵坐标乘以组距. 19. (12 分)如图所示,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB= M 是线段 EF 的中点. (1)证明:CM∥平面 BDF; ,AF=1,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)求四面体 DEFB 的体积.

考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位 置关系与距离;空间角. 分析: (1)通过证明 CM∥OF,进一步证明 CM∥平面 BDF (2)平面 ACEF⊥平面 ABCD 正方形对角线 AC⊥BD,∴OD⊥平面 ACEF 同理可得:OB 是四棱 锥 B﹣ACEF 的高,进一步可证:AF 是三棱锥 F﹣ABD 的高,EC 是三棱锥 E﹣CBD 的高在正方 形 ABCD 中,AC=BD=2,进一步利用分割法 求出四面体的体积. 解答: 证明:连结 AC,BD 交于点 O,连结 OF ∴O 是 AC 的中点, ∵M 是 EF 的中点, ∴CO∥MF,CO=MF ∴四边形 OCMF 是平行四边形. ∴CM∥OF ∵CM?平面 BDF,OF? 平面 BDF ∴CM∥平面 BDF (2)∵平面 ACEF⊥平面 ABCD 正方形对角线 AC⊥BD ∴OD⊥平面 ACEF 同理可得:OB 是四棱锥 B﹣ACEF 的高 进一步可证:AF 是三棱锥 F﹣ABD 的高,EC 是三棱锥 E﹣CBD 的高 在正方形 ABCD 中,AC=BD=2 ∴OD=OB=1 V 四面体 DEFB=V 四棱锥 D﹣ACEF+V 四棱锥 B﹣ACEF﹣V 三棱锥 F﹣ABD﹣V 三棱锥 E﹣CBD = = ﹣ )

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题考查的知识要点:线面平行的判定,面面垂直的性质定理,以及分割法在体积 运算公式中 的运算.

20. (12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 A= 积为 .

,b=3,△ABC 的面

(1)求边 c 的长; (2)求 cos2B 的值. 考点: 余弦定理的应用. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (1)由 (2)求出 a,利用 得 得边 c 的长; ,求出 sinB,即可求 cos2B 的值.

解答: 解: (1)由 所以 c=5.?(4 分) (2)由 a =b +c ﹣2bccosA 得, 所以 a=7.?(6 分) 由 得 ,
2 2 2

得,

.?(2 分)



所以 所以

.?(9 分) .?(12 分)

点评: 本题考查余弦定理的应用,考查三角形面积的计算,考查学生的计算能力,属于中 档题. 21. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}满足 bn=log2(an+1) ,a1=1 且对于任意 n≥2,n∈N+有 an=2an﹣1+1. (1)证明数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)若 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 考点: 等差数列与等比数列的综合;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)通过已知条件,利用等比数列的定义,直接求出 an+1=2(an﹣1+1) ,即可求证 数列{an+1}是等比数列; (2)利用(1)直接求数列{an}的通项公式 an,然后求出{bn}的通项公式 bn,可得 cn=an?bn 的通项公式,利用分组求和法和错位相减法,可得答案.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 证明: (1)当 n=1 时,S1=2a1﹣1,得 a1=1. (1 分) ∵Sn=2an﹣n ∴当 n≥2 时,Sn﹣1=2an﹣1﹣(n﹣1) , 两式相减得:an=2an﹣2an﹣1﹣1, ∴an=2an﹣1+1. (3 分) ∴an+1=2an﹣1+2=2(an﹣1+1) , (5 分) ∴{an +1}是以 a1+1=2 为首项,2 为公比的等比数列. (6 分) n﹣1 n n * 解: (2)∵(2)由(1)得 an+1=2?2 =2 , ∴an=2 ﹣1,n∈N . (8 分) n * ∴bn=log2(an+1)=log22 =n,n∈N . (10 分) n n cn=an?bn=n(2 ﹣1)=n?2 ﹣n, 2 3 n﹣1 n 令 T′=1×2+2×2 +3×2 +?+(n﹣1)×2 +n×2 ,?①, 2 3 4 n n+1 2T′=1×2 +2×2 +3×2 +?+(n﹣1)×2 +n×2 ,?② ①﹣②得: 2 3 n﹣1 n n+1 n n+1 n+1 ﹣T'=2+2 +2 +?+2 +2 ﹣n×2 =﹣2(1﹣2 )﹣n?2 T'=2+(n﹣1)?2 ?(10 分) 故 ?(11 分) .?(12 分) 点评: 本题是 综合题,考查数列的基本性质,等比数列的证明,通项公式的求法,数列 求和,考查计算能力,注意解题方法的应用. 22. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1: (x+3) +(y﹣1) =4 和圆 C2: (x﹣4) 2 2 +(y﹣5) =4. (1)若直线 l 过点 A(4,0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 ,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分别 与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求所 有满足条件的点 P 的坐标.
2 2

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;转化思想;直线与圆. 分析: (1)直线 l 过点 A(4,0) ,故可以设出直线 l 的点斜式方程,又由直线被圆 C1 截得的弦长为 2 ,根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理,求出弦心距,即圆心到直 线的距离,得到一个关于直线斜率 k 的方程,解方程求出 k 值,可求直线 l 的方程. (2)与(1)相同,设出过 P 点的直线 l1 与 l2 的点斜式方程,由于两直线斜率为 1,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,得到一个关于直线斜率 k 的方程, 解方程求出 k 值,代入即得直线 l1 与 l2 的方程. 解答: 解: (1)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交; ∴直线 l 的斜率存在,设 l 方程为:y=k(x﹣4) (1 分) 圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d,∵l 被⊙C1 截得的弦长为 2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴d= =1(2 分)

d=

从而 k(24k+7)=0 即 k=0 或 k=﹣

∴直线 l 的方程为:y=0 或 7x+24y﹣28=0(5 分) (2)设点 P(a,b)满足条件,不妨设直线 l1 的方程为 y﹣b=k(x﹣a) ,k≠0 则直线 l2 方程为:y﹣b=﹣ (x﹣a) (6 分) ∵⊙C1 和⊙C2 的半径相等,及直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等, ∴⊙C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等



=

(8 分)

整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk| ∴1+3k+ak﹣b=±(5k+4﹣a﹣bk)即(a+b﹣2)k=b﹣a+3 或(a﹣b+8)k=a+b﹣5 因 k 的取值有无穷多个,所以 或 (10 分)

解得



这样的点只可能是点 P1( ,﹣ )或点 P2(﹣ ,



经检验点 P1 和 P2 满足题目条件(12 分) 点评: 在解决与圆相关的弦长问题时, 一般有三种方法: 一是直接求出直线与圆的交点坐 标,再利用两点间的距离公式得出;二是不求交点坐标,用一元二次方程根与系数的关系得 出,即设直 线的斜率为 k,直线与圆联立消去 y 后得到一个关于 x 的一元二次方程再利用弦 长公式求解,三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求.对于圆中的弦长 问题,一般利用第三种方法比较简捷.本题所用方法就是第三种方法.

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