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傅里叶变换与小波分析的对比研究


第 23 卷第 2 期 · 2010 年 3 月 开发与创新· 文章编号: 1002-6673 (2010 ) 02-022-03

Development & Innovation of Machinery & Electrical Products

机电产品开发与创新

Vol.23,No.2 Mar.,2010

傅里叶变换与小波分析的对比研究
房永亮
(包头轻工职业技术学院, 内蒙古 包头 014045 )



要: 小波是近十几年才发展起来并迅速应用到图像处理和语音分析等众多领域的一种数学工具 , 是 继 110 多年前的傅立叶 (Joseph Fourier) 分析之后的一个重大突破 , 无论是对古老的自然学科还 是对 新 兴 的 高 新 技 术 应 用学 科 都 产 生 了 强 烈 冲 击 。 本 文 先 简 单 回 顾 傅 里 叶 变 换 讨 论 其 优 缺 点 , 然后讨论如何克服其缺点和引入窗口傅里叶变换 , 继而引入小波的 基 本 概 念 , 重点 探 讨 在 大 多 数情况下小波变换优于傅里叶变换的内在原因。

关键词: 小波分析; 傅里叶变换; 加窗傅里叶变换 中图分类号: O29 文献标识码: A

doi:10.3969/j.issn.1002-6673.2010.02.009

The Comparative Study of Fourier Transform and Wavelet Analysis
FANG Yong-Liang
(Baotou Light Industry Vocational Technical College , Baotou Inner Mongolia 014035 , China )

Abstract: Wavelet analysis,the mathmatical tool which has been developing in recent decades and are applied in many feilds like image pro cessing and voice analysis etc., is a great breakthrough after the analytic method of Joseph Fourier 110 years ago.It bring about great impact on both triditional natural sciences and some new high-tech application technologies.In the following pages, I shall first give an review on fourier transformation.after that,we talk about the way we overcome its weakness and introduce the basic concepts of wavelet,followed by the introduction of window fourier transformation. The key point of this page is finding the internal reason why wavelet is better than fourier transformation under many situations. Key words: wavelet analysis ; fourier transform ; windowed fourier transform

0 引言
傅立叶理论指出, 一个信号可表示成一系列正弦和 余弦函数之和, 叫做展开式。 用傅立叶表示一个信号 时, 只有频率分辨率而没有时间分辨率 , 这就意味我们 可以确定信号中包含的所有频率, 但不能确定具有这些 频率的信号出现在什么时候。 为了继承傅立叶分析的优 点 , 同 时 又克 服 它 的 缺 点 , 人 们 一 直在 寻 找 新 的 方 法 。 小 波 变 换 的 主 要 算 法 则 是 由 法 国 的 科 学 StephaneMallat 在 1988 年 提 出 。 他 在 构造 正 交 小 波 基 时 提 出 了多 分 辨 率的概念, 从空间上形象地说明了小波的多分辨率的特 性, 提出了正交小波的构造方法和快速算法, 叫做

程 应 用 方 面 做 出 了 极 其 重 要 的 贡 献 。 例 如 , Inrid

Daubechies 于 1988 年 最 先 揭 示 了 小 波 变 换 和 滤 波 器 组
(filter banks ) 之间的内在关系
[2]

, 使离散小波分析变成

为现实。 在信号处理中,自从 S.Mallat 和 Inrid Daubechies 发现滤波器组与小波基函数有密切关系之后 , 小波在信 号 (如声音信号, 图像信号等) 处理中得到极其广泛的 应用。

1 傅里叶变换的伟大贡献及其局限性
1807 年, 法 国 数 学 、 物 理 学 家 傅 立 叶 ( Jean Baptistle Joseph Fourier ), 提 出 任 意 一 个 周 期 为 T =2π 的 函
数 f (t )都可以用三角级数表示。 傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里程 碑, 从 1807 年开始, 直到 1966 年, 整整用了一个半世 纪 多 , 才 发展 成 熟 。 她 在 各 个 领 域 产生 了 深 刻 的 影 响 , 得到了广泛的应用, 推动了人类文明的发展。 其原因 是, 傅立叶理论不仅仅在数学上有很大的理论价值 , 更 重要的是傅立叶变换或傅立叶积分得到的频谱信息具有

Mallat 算 法 。 Inrid Daubechies , Ronald Coifman 和 Vic[1]

tor Wickerhauser 等著名科学家把这个小波理论引入到工
收稿日期: 2009-12-29 作者 简 介 : 房 永 亮 (1981- ), 男 , 本 科 , 助 教 。 主 要 从 事 电 子信息等领域的教学和科研工作。

22

· 开发与创新·

物理意义。 遗憾的是, 这种理论具有一定的局限性: (1 ) 傅立叶变换的三种形式中的傅立叶系数都是常 数, 不随时间 t 变化, 因而只能处理频谱成分不变的平 稳信 号 , 相 反 地 在 处 理 非 平稳 信 号 时 会 带 来 很 大 误差 , 甚至与实际情况大相径庭。 在实际信号中, 若高频与低频差别很大, 在相同的 时间间隔内, 高频信号衰减了而低频信号尚未衰减 , 所 以, 在不同时刻, 信号的频谱成分是不同的。 硬要用傅 立叶变换找出所有时刻的频谱成分 , 硬要把幅值的变化 用 频 率 的 变 化 来补 偿 , 不 仅 高 频 的 傅 立 叶系 数 有 误 差 , 低频的傅立叶系数也有很大误差 , 包括求出的频率当然 也有误差。 (2 ) 求傅立叶系数是全时间域上的加权平均 。 局部 突变信息被平均掉了, 局部突变信息的作用很难反映出 来 (好 比 吃 大 锅 饭 , 平 均 主义 )。 差 别 很 大 的 信 号 , 如 方波、 三角波、 正弦波都可以得到相同的频率, 所以处 理、 捕捉突变信号如故障信号, 灵敏度很差。 处理 、 捕 捉突变信号应使用能反映局部信息的变换 。 为了克服以 上两点局限性, 这就要求: ① 将变换系数视为随时间变 化的, 级数求和由一重变为两重; ② 使用能反映局部信 息的变换, 则函数组不能使用全域上的函数 , 只能使用 有 所 谓 紧 支 撑 的 函 数 , 即 “小 波 函 数 ” 或 加 窗 傅 立 叶 变换的窗函数。









軒 f (t )=ΣΣ<f ,ψj,k>ψj,k(t)=ΣΣdj,kψj,k(t)
j=-∞ k=-∞ j=-∞ k=-∞

(1 ) (2 )

ψj,k=ψ (2jt-k )
其中, ψ (t )—小波函数; dj,k—小波系数, 且 :

軒 dj,k=<f ,ψj,k>

(3 )

由式 (1 )~ (3 )可以看到, 小波级数是两重求和 , 小 波系数 的 指 标 不 仅 有 频 率 的 指 标 j , 而 且 还 有 时 间 的 指 标 k 。 也就是说 , 小波系数不仅像傅立叶系数那样 , 是 随频 率 不 同 而 变 化 的 , 而 且 对 于 同 一 个 频 率 指 标 j , 在 不同时刻 k , 小波系数也是不同的 。 这样就克服了上面 所述的第一个不足。 由于小波函数具有紧支撑的性质 , 即某一区间外为 零。 这样在求各频率水平不同时刻的小波系数时 , 只用 到该时刻附近的局部信息, 从而克服了上面所述的第二 个不足。 第三个不足, 小波分析是如何克服的呢? 通过与加 窗傅立叶变换的 “时间—频率窗” 的相似分析, 可得到 小波变换的 “时间—频率窗” 的笛卡儿积是 :
⌒ ⌒ · · [b+at*-a△ψ,b+at*+a△ψ]× ω - 1 △ψ , ω + 1 △ψ (4 ) a a a a





其 中 a=2 -j, 时 间 窗 的 宽 度 为 2a△ψ, 随 着 频 率 的 增 大 (即 j 的增 大 ) 而 变 窄 , 随 着 频 率 的 减 小 (即 j 的 减 小 ) 而 变 宽 , 之 所 以 有 这 样 的 结 果 , 关 键 在 于 式 ( 2) 中, 时间变量 t 前面乘了个 “膨胀系数” 2j。 小波变换的 “时间—频率窗” 的宽度, 检测高频信 号时变窄, 检测低频信号时变宽, 这正是时间—频率分 析所希望的。 根据小波变换的 “时间—频率窗” 的宽度可变的特 点, 为了克服上面所述的第三个不足 , 只要不同时检测 高频与低频信息, 问题就迎刃而解了。 如, 选择从高频 到低频的检测次序, 首先选择最窄的时间窗, 检测到最 高频率信息, 并将其分离。 然后, 适当放宽时间窗, 再 检测剩余信息中的次高频信息。 再分离, 再放宽时间 窗, 再检测次次高频信息, 依次类推
[3]

2 Garbor 变换—窗口 Fourier 变换
在 时 间—频 率 分 析 中 , Fourier 变 换 公 式 的 不 足 已 经被 D. Garbor 注意到了, 在 1946 年的论文中, 为了提 取 信 号 的 Fourier 变 换 的 局 部 信 息 , 引 入 了 一 个 时 间 局 部化的 Gaussian 函数作为 “窗函数” g (t-b ), 其中参数

b 用于平移动窗以 便 覆 盖 整个 时 间 域 。 因 为 一 个 Gaussian 函 数 的 Fourier 变 换 还 是 Gaussian 函 数 , 所 以 Fourier 逆变换即频率也是局部的。
加窗傅立叶变换的 “时间—频率窗” 的宽度对于观 察所有的频率是不变的。 在较长的时间窗内, 对于高频 信 号 , 可 能 经 过 了 很 多 周 期 , 因 而 求 出 的 Fourier 变 换 系 数是 很 多 周 期 的 平 均 值 , 局部 化 性 能 不 能 得 到 体 现 。 若 减 小 时 间 窗 (减 小 a ), 高 频 信 号 局 部 化 性 能 得 到 体 现, 但对于很低的频率信号来讲, 检测不到。 综上所 述, 加窗傅立叶变换对于高频与低频差别很大的信号仍 不是很有效的。 由于 上 述 原 因 , 必 须 进 一 步改 进 , 克 服 上 述 不 足 , 这就导致了小波分析。



为了检测到不同频率水平信息, 即求出不同频率水 平下不同时刻的小波系数, 首先要选好小波函数。 选择小波函数的 “四项原则”。 在求小波系数式

軒 ( 3 ) 中 , 如 果 ψ (t-k )是 L2 (IR )空 间 的 正 交 基 , 则 ψ j,k 为 ψj,k 的复共轭。 小波分析的最重要的应用是滤波, 为了保
证滤波不失真, 小波函数必须具有线性相位, 至少具有 广义线性相位。 小波分析的另一重要应用是捕捉 、 分析 突变信号, 这就要使用函数的导数, 小波函数至少 C' 是 连续。 由前面分析可知, 小波函数必须具有紧支撑的性 质。 所以, 正交、 线性相位、 连续、 紧支撑是选择小波 函数的 “四项原则”。 (下转第 18 页)

3 小波分析
将时程函数 f (t )表示为下面的小波级数:

23

· 开发与创新·

下变量进行如下取值: RT∈[55,235] , 线性取 10 个值; θ∈

( 3) 综 上 , 将 数 据 锁 定 在 : RT =

(0, 30°] , 线 性 取 10 个 值 ;δ∈[0,100] , 线 性 取 10 个 值 ; n∈[50,400] , 线 性 取 8 个 值 ;借 助 Matlab6.5 软 件 进 行 编
程(程序略去), 研究各因素对总错位效应的影响: ( 1) 通 过 输 出 的 大 量 数 据 获 得 RT=175 ; θ=0.5236 ;

175, 50, 研 究 偏移
量和压辊轴倾角联 合作用下对总错位 效应 E 的影响, 获 得曲面如图 5 所示。 从联合影响图可以 看出, 曲面基本上 可分为三个区域, 即低效应区 a; 中效 应 区 b; 高 效 应 区

δ=0.01 ; n=50 的时候 , 总错位效应 E=0.0054 比较理想 ,
同时说明偏移量越小, 总错位效应 E 越小。 将数据锁定 在 : RT=175 ; δ=0.01 ; n=50 , 研 究 压 辊 轴 倾 角对 总 错 位 效应 E 的影响, 获得曲线如图中 3, 可以看出偏移量接 近于零的时候, 倾角对总错位效应的影响呈现陡降 、 然 后平缓的趋势, 这就指导我们压辊轴倾角的取值应当大 于 0.1rad , 以有效降低对总错位效应的影响。 ( 2) 将 数 据 锁 定 在 : RT=175 ; θ=0.1745 ; n=50 , 研 究偏移量对总错位效应 E 的影响 , 获得曲线如图 4, 可 以 发 现 偏移 量 δ=10 以 内 , 曲 线 斜 率 较 大 , 其 后 , 曲 线 走势平缓, 从压辊的设计来看, 大的偏移量往往造成压 辊整体尺寸偏大, 结构布置困难, 那么理论上希望偏移 量不要超过 10mm , 且越小越好。

c。 设计上 , 一 方 面
考虑不要有太大的 偏移量, 另一方面倾角也不宜太大, 这样可有效地降低 总的错位效应, 从而降低随之带来的的错位磨损。

5 结论
(1) 依据功能原理, 从速度差入手 , 间接地建立了 错位磨损理论。 (2) 建立了用来评价错位磨损的错位效应。 (3) 对压辊轴偏移量和压辊轴倾角对错位效应的影 响进行研究, 得出: 适当减小压辊轴偏移量和压辊轴倾 角, 能有效降低错位磨损。 参考文献:
[1] 吴宇宁,等.造粒机平模用新型高铬耐磨钢的研制[J].江苏冶金,1989,5. [2] 孙智,等.失效分析—基础及应用[M].北京:机械工业出版社,2005. [3] 国家机械工业委员会 . 失效分析 [M]. 北京:机械工业出版社,1994. [4] 日本润滑学会;霍庶辉 ( 译 ). 磨损 [M]. 北京:中国铁道出版社,1985. [5] 吴劲锋 . 制粒环模磨损失效机理研究及优化设计 [D]. 兰州:兰州理
工大学,2008.

(上接第 23 页)

如果选择某个小波函数, 同时满足

情况下, 具有实际的物理意义, 所以傅立叶变换得到了 广泛的应用。 但是, 这种理论具有一定的局限性。 小波 分析从理论上克服了上述傅立叶变换的三个缺点 。 由于 小波系数随时间变化, 所以, 不论是平稳信号还是非平 稳信号得到的小波频谱与实际的物理频谱 , 都十分接 近。 由于小波具有紧支撑的性质, 局部突变信息的作用 能很好地反映出来, 处理、 捕捉突变信号, 灵敏度很 高。 小波函数的选择, 对分析结果影响很大。 根据不同 的用途, 应慎重选择合适的小波函数。 参考文献:
[1] 陆费东,蒋爱平 . 小 波 分 析 在 控 制 中 的 应 用 及 展 望 [J]. 第 一 届 中 国
智能计算大会论文集,2007.

四项指标 , 为了 进 行 小 波 分 解 与 重 构 ,“四 合 一 ”的 小 波 函数不存在, 数学家们 “一分为四”, 选择了四个函数, 巧 妙 地 解 决了 这 些 问 题 。 这 四 个 函 数 是 : 尺 度 函 数 准 ,

軒 軒 小波函数 ψ , 对偶尺度函数 准 , 对偶小波函数 ψ 。 选择这
四个函数的原因是小波变换的“时间—频率窗” 的宽度, 当检测高频信号时变窄, 检测低频信号时变宽。 为了检 测到所有频率信号,“时间—频率窗” 的宽度必须按一定 的次序变化, 不失一般性, 从窄到宽, 检测频率信号从 高频到低频的次序进行—— —实际上也正是这样的次序。

4 结论
傅立叶理论不仅在数学上有很大的理论价值 , 更重 要的是傅立叶变换或傅立叶积分得到的频谱信息在许多

[2] 唐远炎 , 王玲 . 小波分析与文本文字识别 [M]. 科学出版社 ,2004. [3] 刘明才 . 小波分析及其应用 [M]. 清华大学出版社 ,2005.

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