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高中数学竞赛教材讲义 第十六章 平面几何


第十六章 平面几何 一、常用定理(仅给出定理,证明请读者完成) 梅涅劳斯定理 设 A' , B' , C ' 分别是Δ ABC 的三边 BC,CA,AB 或其延长线上的点,若 A' , B' , C ' 三点共线,则 BA' CB ' AC ' ? ? ? 1. A' C B ' A C ' B 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上,若 BA' CB ' AC ' ? ? ? 1. 则 A' , B' , C ' 三点共线。 A' C B ' A C ' B 塞瓦定理 设 A' , B' , C ' 分别是Δ ABC 的三边 BC,CA,AB 或其延长线上的点,若 AA' , BB' , CC ' 三线平行或共点,则 塞瓦定理的逆定理 BA' CB ' AC ' ? ? ? 1. A' C B ' A C ' B 设 A' , B' , C ' 分别是 Δ ABC 的三边 BC , CA , AB 或其延长线上的点,若 BA' CB ' AC ' ? ? ? 1. 则 AA' , BB' , CC ' 三线共点或互相平行。 A' C B ' A C ' B 角元形式的塞瓦定理 A' , B' , C ' 分别是 Δ ABC 的三边 BC , CA , AB 所在直线上的点,则 sin ?BAA ' sin ?ACC ' sin ?CBB ' ? ? ? 1. sin ?A' AC sin ?C ' CB sin ?B' BA AA' , BB' , CC ' 平行或共点的充要条件是 广义托勒密定理 设 ABCD 为任意凸四边形,则 AB?CD+BC?AD≥AC?BD,当且仅当 A,B,C,D 四点共圆时取等号。 斯特瓦特定理 设 P 为Δ ABC 的边 BC 上任意一点,P 不同于 B,C,则有 AP =AB ? 2 2 PC BP 2 +AC ? -BP?PC. BC BC 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线,则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则该点在三角形的外接 圆上。 九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点,这九 点共圆。 蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。 (到两圆的幂(即切线长)相等的点构成集合为一 条直线,这条直线称根轴) 欧拉定理 Δ ABC 的外心 O,垂心 H,重心 G 三点共线,且 OG ? 1 GH . 2 二、方法与例题 1.同一法。即不直接去证明,而是作出满足条件的图形或点,然后证明它与已知图形或点重 合。 0 0 0 例 1 在Δ ABC 中,∠ABC=70 ,∠ACB=30 ,P,Q 为Δ ABC 内部两点,∠QBC=∠QCB=10 ,∠PBQ= 0 ∠PCB=20 ,求证:A,P,Q 三点共线。 [证明] 设直线 CP 交 AQ 于 P1, 直线 BP 交 AQ 于 P2, 因为∠ACP=∠PCQ=10 , 所以 0 AP AC ? , CQ QP 1 -1- ①在Δ ABP,Δ BPQ,Δ ABC 中由正弦定理有 AP2 QP2 AB AC AB BQ ? .④ ,② ,③ ? ? 0 0 sin 30 sin 70 0 sin ?AP2 B sin ?ABP sin 20 sin ?BP2 Q 2 由②,③,④得 AP AP 1 ? 2 。又因为 P1,P2 同在线段 AQ 上,所以 P1,P2 重合,又 BP 与 CP QP QP2 1 仅有一个交点,所以 P1,

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