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高中数学竞赛教材讲义 第十六章 平面几何

第十六章 平面几何 一、常用定理(仅给出定理,证明请读者完成) 梅涅劳斯定理 设 A' , B' , C ' 分别是Δ ABC 的三边 BC,CA,AB 或其延长线上的点,若 A' , B' , C ' 三点共线,则 BA' CB ' AC ' ? ? ? 1. A' C B ' A C ' B 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上,若 BA' CB ' AC ' ? ? ? 1. 则 A' , B' , C ' 三点共线。 A' C B ' A C ' B 塞瓦定理 设 A' , B' , C ' 分别是Δ ABC 的三边 BC,CA,AB 或其延长线上的点,若 AA' , BB' , CC ' 三线平行或共点,则 塞瓦定理的逆定理 BA' CB ' AC ' ? ? ? 1. A' C B ' A C ' B 设 A' , B' , C ' 分别是 Δ ABC 的三边 BC , CA , AB 或其延长线上的点,若 BA' CB ' AC ' ? ? ? 1. 则 AA' , BB' , CC ' 三线共点或互相平行。 A' C B ' A C ' B 角元形式的塞瓦定理 A' , B' , C ' 分别是 Δ ABC 的三边 BC , CA , AB 所在直线上的点,则 sin ?BAA ' sin ?ACC ' sin ?CBB ' ? ? ? 1. sin ?A' AC sin ?C ' CB sin ?B' BA AA' , BB' , CC ' 平行或共点的充要条件是 广义托勒密定理 设 ABCD 为任意凸四边形,则 AB?CD+BC?AD≥AC?BD,当且仅当 A,B,C,D 四点共圆时取等号。 斯特瓦特定理 设 P 为Δ ABC 的边 BC 上任意一点,P 不同于 B,C,则有 AP =AB ? 2 2 PC BP 2 +AC ? -BP?PC. BC BC 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线,则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则该点在三角形的外接 圆上。 九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点,这九 点共圆。 蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。 (到两圆的幂(即切线长)相等的点构成集合为一 条直线,这条直线称根轴) 欧拉定理 Δ ABC 的外心 O,垂心 H,重心 G 三点共线,且 OG ? 1 GH . 2 二、方法与例题 1.同一法。即不直接去证明,而是作出满足条件的图形或点,然后证明它与已知图形或点重 合。 0 0 0 例 1 在Δ ABC 中,∠ABC=70 ,∠ACB=30 ,P,Q 为Δ ABC 内部两点,∠QBC=∠QCB=10 ,∠PBQ= 0 ∠PCB=20 ,求证:A,P,Q 三点共线。 [证明] 设直线 CP 交 AQ 于 P1, 直线 BP 交 AQ 于 P2, 因为∠ACP=∠PCQ=10 , 所以 0 AP AC ? , CQ QP 1 -1- ①在Δ ABP,Δ BPQ,Δ ABC 中由正弦定理有 AP2 QP2 AB AC AB BQ ? .④ ,② ,③ ? ? 0 0 sin 30 sin 70 0 sin ?AP2 B sin ?ABP sin 20 sin ?BP2 Q 2 由②,③,④得 AP AP 1 ? 2 。又因为 P1,P2 同在线段 AQ 上,所以 P1,P2 重合,又 BP 与 CP QP QP2 1 仅有一个交点,所以 P1,P2 即为 P,所以 A,P,Q 共线。 2.面积法。 例 2 见图 16-1,◇ABCD 中,E,F 分别是 CD,BC 上的点,且 BE=DF,BE 交 DF 于 P,求证: AP 为∠BPD 的平分线。 [证明] 设 A 点到 BE,DF 距离分别为 h1,h2,则 1 1 BE ? h1 , S ?ADF ? DF ? h2 , 2 2 1 又因为 S ?ABE ? S◇ABCD=SΔ ADF,又 BE=DF。 2 S ?ABE ? 所以 h1=h2,所以 PA 为∠BPD 的平分线。 3.几何变换。 例 3 (蝴蝶定理)见图 16-2,AB 是⊙O 的一条弦,M 为 AB 中点,CD,EF 为过 M 的任意弦, CF,DE 分别交 AB 于 P,Q。求证:PM=MQ。 [证明] 由题设 OM ? AB。不妨设 AF ? BD 。作 D 关于直线 OM 的对称点 D ' 。 ' ? ?D M Q . 要 证 PM=MQ , 只 需 证 连 结 PD' , D' M , DD' , D' F , 则 D' M ? DM .?P M D ?PD' M ? ?M D Q ,又∠MDQ=∠PFM,所以只需证 F,P,M, D ' 共圆。 因为∠ PFD ' =180 - MDD ' =180 -∠ MD ' D =180 -∠ PMD ' 。 (因为 DD ' ? OM。AB// DD ' ) 所以 F,P,M, D ' 四点共圆。所以Δ PD ' M ≌Δ MDQ。所以 MP=MQ。 例 4 平面上每一点都以红、蓝两色之一染色,证明:存在这样的两个相似三角形,它们的相 似比为 1995,而且每个三角形三个顶点同色。 [证明] 在平面上作两个同心圆,半径分别为 1 和 1995,因为小圆上每一点都染以红、蓝两 色之一,所以小圆上必有五个点同色,设此五点为 A,B,C,D,E,过这两点作半径并将半径 延长分别交大圆于 A1,B1,C1,D1,E1,由抽屉原理知这五点中必有三点同色,不妨设为 A1, B1,C1,则Δ ABC 与Δ A1B1C1 都是顶点同色的三角形,且相似比为 1995。 4.三角法。 0 例 5 设 AD,BE 与 CF 为Δ ABC 的内角平分线,D,E,F 在Δ ABC 的边上,如果∠EDF=90 ,求 ∠BAC 的所有可能的值。 [解] 见

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