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高三数学一轮复习讲义 专题8 指数函数与对数函数


专题 8 指数函数与对数函数 考纲导读: 考纲要求: .理解分数指数幂的概念, 掌握有理指数幂的运算性质;掌握指数函数的概念、 图像和性质;理解对数的概念,掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图像和性质. 考纲解读: 指数函数 f ( x) ? a x ,具有性质: f ( x ? y) ? f ( x) f ( y), f (1) ? a ? 0 .对抽 象函数的研究,合理赋值是唯一途径,不能仅依赖于函数模型; 对数函数 f ( x) ? loga x ,具 有性质: f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1) ,应注意对数函数的图象性质的解题 中的应用. 考点精析: 考点1、指数函数与不等式 此类题目一般为小题,难度不大,分析时主要根据指数函数的单调性进行解题. x 【考例 1】 (西城区抽样)不等式 3 ? 5 ? 4 的解集为____________. 解题思路:解指数不等式时,要注意对应的指数函数的单调性. 正确答案:由 | 3x ? 5 |? 4 ,可得 ?4 ? 3 ? 5 ? 4 , x 即 1 ? 3 ? 9 , 解之得 {x | 0 ? x ? 2} . x 回顾与反思:本题考查了指数不等式、含绝对值不等式的解法.属基础题的拓宽处理. 知识链接:.指数函数的定义: 一般地,函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是 R. 指数函数图象的特征及函数性质如下表: 【考例 2】 (07·海淀区期中)已知函数 f ( x) ? a ?| x| ( a >0, a ? 1 ) ,且 f (3) ? 8 ,则 ( ) A. f ( 2) > f (?2) B. f (?3) > f (?2) C. f (1) > f ( 2) D. f (?1) > f (?2) 解题思路:本题考查了指数函数图象的变换及函数的单调性的应用.充分利用函数的图 象特征解题是一种很好的解题策略. 正确答案:由 f (3) ? a ?3 ? 8得 a ? 1 1 ?| x| | x| , ∴ f ( x) ? ( ) ? 2 , 2 2 当 x ? 0 时,函数 f ( x ) 单调递增; 当 x ? 0 时, 函数 f ( x ) 单调递减. ∴ f (?3) ? f (?2) , 故应选 B. 回顾与反思: 同底数的指数结构或对数结构比较大小, 可以直接利用指数函数或对数函 数的单调性进行分析. 知识链接:函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 的图象和性质如下表: 考点 2、对数函数的性质 此类题目一般为中档题, 难度不大, 分析时主要根据对数函数的各方面的性质进行分析 求解. 【考例 1 】 ( 湖北八校联考 ) 函数 y ? log3 (9 ? x2 )的定义域为 A ,值域为 B ,则 A ? B =________. 解题思路:本题考查了对数函数的定义域及集合的交集运算.求该函数的值域时要注意 对内函数 9 ? x 的整体值域的判断及对定义域对其的约定性. 2 2 正确答案:由 9 ? x ? 0 可得 ?3 ? x ? 3 ,即定义域为 A ? (?3,3) , 又由 0 ? 9 ? x ? 9 ,得 log3 (9 ? x2 ) ? log3 9 ? 2 ,即值域为 B ? (??, 2] , 2 ∴ A ? B ? (?3,3) ? (??, 2] ? (?3, 2] . 回顾与反

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