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浙江省桐乡第二中学等三校2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题


2014—2015 学年第一学期期中试卷 高二(年级)数学试题
满分 160 考试时间 120 分钟 命题人 韩勇

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应 位置上. ) 2a b c 1.在△ ABC 中,sin A-sin B-sin C=________. 2.在△ABC 中,BC=1,B= π ,当△ABC 的面积等于 3时,AB=________. 3

3. △ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 若 c=2, b=3, A=120°, 则 a=________. 4.若△ABC 满足 a=3,b=4, c=2 则 cos B=________.

5.已知锐角△ABC 的面积为 3 3,BC=4,CA=3,则角 C 的大小为________. 6.数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n -n(n∈N ),则通项 an=________. 7.已知等差数列{an}的公差为 d(d≠0),且 ________. 8.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3+a7+a11=6,则 S13=________. 9.首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差 d 的取值范围是________. 10. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 S1,2S2,3S3 成等差数列, 则{an}的公比为________. 11.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 ________. 12.不等式-6x -x+2≤0 的解集是____________. 13.一元二次方程 ax +bx+c=0 的根为 2,-1,则当 a<0 时,不等式 ax +bx+c≥0 的解 集为________. 14.设集合 A={x|(x-1) <3x+7,x∈R},则集合 A∩Z 中元素的个数是________个. 二、解答题:(大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤) 15.设锐角三角形 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,a=2bsin A. (1)求角 B 的大小; (2)若 a=3 3,c=5,求 b.
2
2 2 2 2 *

a3+a6+a10+a13=32,若

am=8,则 m=

a1=3,前

3 项和为 21,则

a3+a4+a5=

16.设等差数列{an}满足 a3=5,a10=-9. (1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值.

17.已知△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 m=(sin C,sin Bcos A),n =(b,2c),且 m·n=0. (1)求 A 的大小; (2)若 a=2 3,c=2,求△ABC 的面积 S 的大小.

18.已知函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 1, (1)若对于任意的 x ? [m, m ? 1] ,都有 f ( x) ? 0 成立,求实数 m 的取值范围;

(2)如果关于 x 的不等式 f(x)?

5 m 有解,求实数 m 的取值范围. 4

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b ? a ? a, b ? R ? . (1) 若关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 的解集为 (??, ?1) ? (3, ??) ,求实数 a , b 的值; (2) 设 a ? 2 ,若不等式 f ( x) ? b2 ? 3b 对任意实数 x 都成立,求实数 b 的取值范围;

20(本小题满分 14 分) 已知{an}是等差数列,其前 n 项的和为 Sn, {bn}是等比数列,且 a1=b1=2,a4+b4=21,

S4+b4=30.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)记 cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前 n 项和.

2014/2015 学年度第一学期期中考试 高一数学(答卷纸)
一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分计 70 分.请把答案写在相应序号的横线上.) 1、___ 5、___ 9、____ _ _ __ _ 2、___ ______ 3、__________ 7、__________ 11、_________ 4、__ ______

6、__________ 10、__________

8、___________ 12、___________

13、_________ 14、_________

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分 15

16

17

18

19

20

高二数学答案
1.0 2.4 3. 19 4.-

1 4

5. 60° 6.2n-2 7.8 8 1 9. <d≤3 10. 11.84 3 3 13. {x|-1≤x≤2}. 14.6

8.26
? 2 1? 12. ?x|x≤- 或x≥ ? 3 2? ?

15.解 (1)由 a=2bsin A,根据正弦定理得 1 sin A=2sin Bsin A,所以 sin B= . 2 π 由△ABC 为锐角三角形,得 B= . 6 (2)根据余弦定理,得

.............7 分

b2=a2+c2-2accos B=27+25-45=7,
所以 b= 7.

........ ....14 分

16.解 (1)由 an=a1+(n-1)d 及 a3=5,a10=-9 得 ? ? ?a1+2d=5, ?a1=9, ? 可解得? ?a1+9d=-9, ?d=-2, ? ? 所以数列{an}的通项公式为 an=11-2n. (2)由(1)知, n?n-1? Sn=na1+ d=10n-n2. 2 因为 Sn=-(n-5) +25, 所以当 n=5 时,Sn 取得最大值. 17.解 (1)∵m·n=0, ∴(sin C,sin Bcos A)·(b,2c)=0. ∴bsin C+2csin Bcos A=0. ∵ = ,∴bc+2bccos A=0. sin B sin C ...........3 分 ..........5 分 ………… 14 分
2

……………….7 分

b

c

∵b≠0,c≠0,∴1+2cos A=0. 1 2π ∴cos A=- .∵0<A<π ,∴A= . 2 3 (2)在△ABC 中, ∵a =b +c -2bccos A, 2π 2 ∴12=b +4-4bcos . 3 ∴b +2b-8=0. ∴b=-4(舍)或 b=2.
2 2 2 2

............7 分

.............10 分

..............12 分

1 1 3 ∴△ABC 的面积 S= bcsin A= ×2×2× = 3. 2 2 2 18 解:(1) ?

......15 分

? f ?m ? ? 0 2 ?? ?m?0 2 ? f ?m ? 1? ? 0

5 m2 ? 1 ,? m ? ?4或m ? ?1 (2) m ? f ? x ?min ? ? 4 4
法二: x ? mx ? 1 ?
2

5 m ? 0 有解 ∴ ? ? 0 ? m ? ?4或m ? ?1 4

19. 解:(1)因为不等式 f ( x) ? x2 ? ax ? b ? a ? 0 的解集为 (??, ?1) ? (3, ??) , 所以由题意得 ?1,3 为函数 x2 ? ax ? b ? a ? 0 的两个根,
2 ? ?? ?1? ? ? ?1? a ? b ? a ? 0 所以 ? , 2 3 ? 3 a ? b ? a ? 0 ? ? 解得 a ? ?2, b ? ?5 .

………………8 分

(2)当 a ? 2 时, x 2 ? 2 x ? b ? 2 ? b2 ? 3b 恒成立, 即 x 2 ? 2 x ? 2 ? b2 ? 4b 恒成立. 因为 x2 ? 2x ? 2 ? ? x ? 1? ? 3≥ ?3 ,
2

所以 b2 ? 4b ? ?3 , 解之得 1 ? b ? 3 , 所以实数 b 的取值范围为 :

………………………………12 分

1? b ? 3

…………… 16 分

20.解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q. 由 a1=b1=2,得 a4=2+3d,b4=2q ,S4=8+6d.……………… 3
?2+3d+2q =21, ?d=1, 由条件 a4+b4=21,S4+b4=30,得方程组? 解得? 3 ?8+6d+2q =30, ?q=2.
3 3

所以 an=n+1,bn=2 ,n∈N*. (2)由题意知,cn=(n+1)×2 . 记 Tn=c1+c2+c3+…+cn. 则 Tn=c1+c2+c3+…+cn =2×2+3×2 +4×2 +…+n×2 2 Tn= 2×2 +3×2 +…+(n-1)×2
2 3 2 3 2 3

n

………… 8

n

n-1

+(n+1)×2 ,
n

n

n-1

+n×2 +
n+1

(n+1)2

n+1



所以-Tn=2×2+(2 +2 +…+2 )-(n+1)×2 即 Tn=n·2
n+1

n

,……… 13

,n∈N*.………………………..16

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