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【多彩课堂】2015-2016学年高中数学人教A版选修1-1课件:3.1.1《变化率问题》_图文

第3 章

导数及应用

3.1.1 变化率问题

变化率 问题

内容:函数平均变化率的概念,求函数平均 变化率的一般步骤. 求函数在某区间上的平均 变化率 求函数在某点附近的平均 变化率

应用

本课主要学习平均变化率的概念及内涵,掌握求平均变 化率的一般步骤.在问题引入、概念形成及概念深化都是 采用情境探究的方法 ,将有关情境材料提供给学生 ,学生 通过对这些材料进行分析、思考、提炼、探究,获得对平 均变化率概念的了解 .然后在探究的基础上 ,组织学生研 讨自己在探究中的发现 ,通过互相交流、补充、研讨 , 使 学生对平均变化率的认识从感性的认识上升到理性认识 , 获得一定水平层次的科学概念。针对平均变化率的求法 给出3个例题,通过解决具体问题强调正确应用平均变化 率的重要性。 在讲述平均变化率的应用时,采用例题与思考与探究 相结合的方法,通过3个例题。随后是课堂检测,通过设 置难易不同的必做和选做试题,对不同的学生进行因材 施教。

背景介绍
早在十七世纪,欧洲资本主义发展初期,由于工场

的手工业向机器生产过渡,提高了生产力,促进了
科学技术的快速发展,其中突出的成就就是数学研 究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。 微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹,他们分别从运动学和几 何学角度的来研究微积分。微积分靠着解析几何的帮助,成 为十七世纪最伟大的数学发现,此后,微积分得到了广泛的 应用。例如,在军事上,战争中涉及炮弹的最远射程问题, 天文学上,行星与太阳的最近与最远距离问题等等。甚至连 历法、农业都与微积分密切相关。更不用说在我们的日常生 活中所碰到的那些问题了。

导数研究的问题

变化率问题

研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.

气球膨胀率:我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程 ,可以
发现 , 随着气球内空气容量的增加 , 气球的半径增加越来越 慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的 4 3 思考:这一现象中,哪些量在改变?变量的变化情况? V ( r ) ? ?r 函数关系是
3

3V 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 r (V ) ? 4?
3

我们来分析一下: r (V ) ? 3

3V 4?

当V从0增加到1时,气球半径增加了 r (1) ? r (0) ? 0.62(dm)

r (1) ? r (0) ? 0.62(dm / L) 气球的平均膨胀率为 1? 0 r (2) ? r (1) ? 0.16(dm / L) 气球的平均膨胀率为 2 ?1
随着气球体积逐渐变大,它的平均膨
胀率逐渐变小。

当V从1增加到2时,气球半径增加了 r (2) ? r (1) ? 0.16(dm)

显然 0.62>0.16

思考? 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1

高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单

位:米)与起跳后的时间t(单位秒)存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
h

如何用运动员在某些时间段内的平均
速度粗略地描述其运动状态?
o t

请计算 0 ? t ? 0.5和1 ? t ? 2时的平均速度v : h(t)=-4.9t2+6.5t+10
在0 ? t ? 0.5这段时间里, h(0.5) ? h(0) v? ? 4.05(m / s) 0.5 ? 0 在1 ? t ? 2这段时间里, h(2) ? h(1) v? ? ?8.2(m / s) 2 ?1
h

o

t

65 计算运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均速度, 49 并思考以下问题:

65 h( ) ? h(0) ? 10 49

?h v? ?0 ?t

(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 虽然运动员在这段时间里的平均速度为0(m/s),但实际情况

是运动员仍然运动,并非静止.
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运 动状态.

平均变化率定义:

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 上述问题中的变化率可用式子 表示 x2 ? x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率 若设Δ x=x2-x1, Δ y=f(x2)-f(x1)
?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) 则平均变化率为 ?x ? x ? x 2 1

这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2 同样Δy=f(x2)-f(x1)

1.△x是一个整体符号,而不是△与x相乘; 式子中△x 、△ y的值可正、可负, 但△x值不能为0,△y的值可以为0; 因此,平均变化率可正,可负,也可为零; 2.若函数f(x)为常函数时,△y=0 3.变式
?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ? ? ?x x2 ? x1 ?x

?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 观察函数f(x)的图象平均变化率 ?x x2 ? x1

表示什么?
Y=f(x) y f(x2) f(x2)-f(x1)=△y f(x1) A x2-x1=△x x x1 x2 B

直线AB 的斜率

O

【例1】(1)求 y ? x 2 在 x0 到 x0 ? ?x 之间的平均变化率.
解:当自变量从 x0 变到 x0 ? ?x 时,函数的平均变化率为
2 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ( x0 ? ?x) 2 ? x0 ? ? 2 x0 ? ?x . ?x ?x

当 ?x 取定值,x0 取不同数值时, 该函数的平均变化率也不一样, 可以由图看出变化.

(2)已知某质点按规律 s ? 2t 2 ? 2t (s:单位为 m,t 单位为 s)做 直线运动,求: ①该质点在前3s 内的平均速度; ②该质点在前2s 到3s 内的平均速度.
解: ①由题意知 ?t ? 3 ,

?s ? s(3) ? s(0) ? 2 ? 32 ? 2 ? 3 ? (2 ? 02 ? 2 ? 0) ? 24,
所以平均速度为
?s 24 ? ? 8(m / s ). ?t 3

②由题意知 ?t ? 3 ? 2 ? 1 ,

?s ? s(3) ? s(2) ? 2 ? 32 ? 2 ? 3 ? (2 ? 22 ? 2 ? 2) ? 12 ,
?s 12 ? ? 12(m / s ). 所以平均速度为 ?t 1

变式训练1 (1)求 (2)如果函数 则 __________. 在 到 之间的平均变化率. 在区间 上的平均变化率为3,

答案:(1)当自变量从

变到

时,函数的平均变化率为

;(2)3.

【例2】过曲线 y ? f ( x) ? x3 上的两点 P(1,1) 和 Q(1 ? ?x,1 ? ?y) 作曲线 的割线,求出当 ?x ? 0.1 时割线的斜率.
解:因为 ?y ? f (1 ? ?x) ? f (1)



?y (?x)3 ? 3(?x) 2 ? 3?x ? 所以割线 PQ 的斜率为 ? (?x) 2 ? 3?x ? 3. ?x ?x
当 ?x ? 0.1 时,设割线 PQ 的斜率为 k, 则k ?

?y ? (0.1) 2 ? 3 ? 0.1 ? 3 ? 3.31. ?x

变式训练2 已知曲线 y ? x 2 ?1 上两点 A(2,3), A?(2 ? ?x,3 ? ?y).

5 当 ?x ? 1 时,割线 AA? 斜率是_______ ; 4.1 . 当 ?x ? 0.1 时,割线 AA? 斜率是_______

【例3】某市2004年4月20日最高气温为33.4℃,而此前的两天, 4月19日和4月18日最高气温分别为24.4℃和18.6℃,短短两天 时间,气温“陡增” 14.8℃,闷热中的人们无不感叹:“天气 热得太快了!”但是,如果我们将该市 2004 年 3 月18日最高气 温 3.5℃与4月 18日最高气温 18.6℃进行比较,我们发现两者温 差为 15.1℃,甚至超过了 14.8℃.而人们却不会发出上述感 叹.这是什么原因呢?原来前者变化得“太快”,而后者变化 得“缓慢”. T(℃) C(34, 33.4)
30 20 10 2 A(1, 3.5) 0 2 B(32, 18.6)

10

20

30

34 t(天)

问题:当自变量表示由 3月 18 日开始计算的天数,表示气温, 记函数表示温度随时间变化的函数,那么气温变化的快慢情

况应当怎样表示?
T(℃) 30 20 10 2 A(1, 3.5) 0 2 B(32, 18.6) C(34, 33.4)

10

20

30

34 t(天)

分析:如上图: (1)选择该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较, ℃,由此可知 (2)选择该市2004年4月18日最高气温 ℃与4月20日 ℃,由此可知 ; ℃进行比较, .

变式训练3 已知函数 ,分别计算 在自变量 从1变化到2和从3变化

到5时的平均变化率,并判断在哪个区间上函数值变化的较快.

答案:





1.质点运动规律s=t2 +3,则在时间(3,3+?t)中 相应的平均速度为( A ) A. 6+?t C.3+?t B. 6+?t+ 9 ?t

D.9+?t

2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率.

25 ? 3?t

1.函数的平均变化率
2.利用导数定义求导数三步曲: (1)求函数的增量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0); Δy f?x0+Δx?-f?x0? (2)求平均变化率 = ; Δx Δx Δy (3)取极限,得导数 f′(x0)=Δ lim x→0 Δx 简记为一差,二比,三趋近. 口诀:一差、二化、三极限 Δy 特别提醒 ①取极限前,要注意化简 ,保证使 Δx→0 时分 Δx 母不为 0. ②函数在 x0 处的导数 f′(x0)只与 x0 有关,与 Δx 无关. ③导数可以描述任何事物的瞬时变化率,应用非常广泛.

必做题 1.已知函数 ,分别计算 在自变量 从1变到2和从4变到

6时的平均变化率,并判断在哪个区间上函数值变化得较快. 2.已知某质点按规律 ( :单位为 m, :单位为 s)做直线运 动,求: (1)该质点在前3s 内的平均速度; (2)该质点在2s 到3s 内的平均速度.

选做题 如图是函数 率.
4 3 2 1 1 1 2 3

的图象, 求函数

在区间

上的平均变化


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