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1.2.1充分与必要条件


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1、命题: 可以判断真假的语句,可写成:若p则q。 2、四种命题及相互关系: 原命题 若 p则 q
互 否 互逆

逆命题 若 q则 p
互 否

互为

逆否

否命题 若 p则 q

互逆

逆否命题 若 q则 p

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判断下列命题是真命题还是假命题?

(1)若x>a2+b2,则x>2ab。

(2)若ab=0,则a=o。
(3)有两角相等的三角形是等腰三角形。

(4)若a2>b2,则a>b。
(1)、(3)为真命题。
(2)、(4)为假命题。

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如果命题“若p则q”为真,则记作p 如果命题“若p则q”为假,则记作p

q(或q q。

p)

定义:如果 p ? q ,则说p是q的充分条件 (sufficient condition), q是p的必要条件(necessary condition).

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从集合角度理解:

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p

q,相当于P q ,即

P q 或 P、q

?P足以导致q,也就是 说条件p充分了; ?q是p成立所 必须具 备的前提。

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例1、 下列“若p,则q”形式的命题中, 哪些命题中的p是q的充分条件? (1) 若 x=1,则x2-4x+3=0; (2) 若f(x)=x,则f(x)为增函数; (3) 若x为无理数,则x2为无理数 .
解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题. 所以,命题(1)(2)中的p是q的充分条件.

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例2、 下列“若p,则q”形式的命题中, 哪些命题中的q是p的必要条件? (1) 若 x=y,则x2=y2; (2) 若两个三角形全等,则这两个三角形的 面积相等; (3) 若a>b,则ac>bc.
解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题. 所以,命题(1)(2)中的q是p的必要条件.

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例3、 判断下列命题中前者是后者的什么条件? 后者是前者的什么条件? (1)若a>b,c>d,则a+c>b+d。 (2)ax2+ax+1>0的解集为R,则0<a<4。 (3)若a2>b2,则a>b。
(1) p (2) p (3) p q, q q, q q, q p 前者是后者的充分不必要条件。 p 前者是后者的必要不充分条件。 p 前者是后者的既不充分也不必要条件。

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例4 、 判断下列问题中,p是q成立的什么条件? p q (1) x2>1 x<-1 (2) |x-2|<4 -x2+4x+5>0 (3) xy≠0 x≠0或y≠0
(1)、(2) p (3)p q,q q,q p p (原问题 q p)

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判别充要条件 问题的
6 判别步骤: ① 认清条件和结论。 ② 考察p q和 q p的真假。

7 判别技巧:
① 可先简化命题。 ② 否定一个命题只要举出一个反例即可。 ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。

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例5、 探讨下列生活中名言名句的充分、必要关系。 (1) 水滴石穿。 (2) 骄兵必败。 (3) 有志者事竟成。 (4) 头发长,见识短。 (5) 名师出高徒。 (6) 放下屠刀,立地成佛。 (7) 兔子尾巴长不了。 (8) 不到长城非好汉。 (9) 春回大地,万物复苏。 (10)海内存知己。 (11)蜡炬成灰泪始干。 (12)玉不琢,不成器。

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定 义:

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如果已知p

q,则说p是q的充分条件,

q是p的必要条件。 判别步骤: ① 认清条件和结论。 ② 考察p 判别技巧: ① 可先简化命题。 ② 否定一个命题只要举出一个反例即可。 ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。 q和q p的真假。

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1、课本P 12 练习3、4。

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补:
2、写出生活中有充分条件、必要条件关

系的名言名句各1句。 (剖析名言名句充分、必
要关系)。


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