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人教a版高中数学选修2-1习题:第二章2.2-2.2.2第2课时椭圆方程及性质的应用含答案

第二章 2.2 2.2.2 圆锥曲线与方程 椭圆 椭圆的简单几何性质 椭圆方程及性质的应用 第 2 课时 A级 基础巩固 一、选择题 1.已知直线 l:x+y-3=0,椭圆 ( ) A.相交 C.相离 解析:把 x+y-3=0 代入 得 x2 +(3-x)2=1, 4 B.相切 D.相切或相交 x2 +y2=1, 4 x2 +y2=1,则直线与椭圆的位置关系是 4 即 5x2-24x+32=0. 因为 Δ =(-24)2-4×5×32=-64<0, 所以直线与椭圆相离. 答案:C 2.如图,直线 l:x-2y+2=0 过椭圆的左焦点 F1 和一个顶点 B,该椭圆的离 心率为( ) A. 1 5 B. 2 5 C. 5 5 D. 2 5 5 1 b 1 解析:因为 x-2y+2=0,所以 y= x+1,即 = , 2 c 2 即 a2-c2 1 a2 5 c 2 5 = ,所以 = , = . c2 2 c2 4 a 5 答案:D 3. 椭圆 x2 y2 + =1 上的点 P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( 25 9 B.5,4 D.9,1 ) A.8,2 C.5,1 解析:因为 a=5,c=4,所以最大距离为 a+c=9, 最小距离为 a-c=1. 答案:D 4.过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为 A. 6 7 B. 16 7 C. 7 16 D. 7 6 π 的弦 AB,则弦 AB 的长为( 3 ) ?y= 3(x+ 2), 解析:由? 2 消去 y 整理得 7x2+12 2x+8=0, 2 ?x +2y =4, 由弦长公式得|AB|= 1+( 3)2× 答案:B x2 y2 5.已知 F 是椭圆 + =1 的一个焦点,AB 为过其中心的一条弦,则△ABF 25 9 的面积最大值为( A.6 B.15 ) C.20 D.12 ? 12 2?2 8 16 ?- ? -4× = . 7 7 7 ? ? 1 1 解析:S= |OF|·|y1-y2|≤ |OF|·2b=12. 2 2 答案:D 二、填空题 x2 6.已知 F1 为椭圆 C: +y2=1 的左焦点,直线 l: y=x-1 与椭圆 C 交于 A, 2 B 两点,那么|F1A|+|F1B|的值为________. 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2), ?x2+2y2=2, 由? 联立得:3x2-4x=0, ?y=x-1, ?4 1? 可知:A(0,-1),B? , ?,又 F1(-1,0), ?3 3? 所以|F1A|+|F1B|= 2+ 答案: 8 2 3 x2 y2 + =1,则以 A(1,1)为中点的弦 MN 所在的直线方程 9 4 5 2 8 2 = . 3 3 7.已知椭圆方程是 为________. 解析:设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则 x21 y21 + =1,① 9 4 x22 y22 + =1,② 9 4 ①-②得 所以 k= (x1+x2)(x1-x2) (y1+y2)(y1-y2) =- , 9 4 y1-y2 4(x1+x2) 4×2 4 =- =- =- . x1-x2 9(y1+y2) 9×2 9 4 所以直线 l 的方程为 y-1=- (x-1), 9 即 4x+9y-13=0. 答案:4x+9y-13=0 8.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上, 离心率为 2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方 2 程为________________. x2 y2 答案: + =1 16 8 三、解答题 9.在椭圆 x2 y2 + =1 上求一点 P,使它到直线 l:3x-2y-16=0 的距离最短, 4 7 并求出最短距离. 3 x2 y2 解:设与椭圆相切并与 l 平行的直线方程为 y= x+m,代入 + =1, 2 4 7 并整理得 4x2+3mx+m2-7=0, Δ=9m2-16(m2-7)=0? m2=16? m=±4, 3 3 故两切线方程为 y= x+4 和 y= x-4, 2 2 3 |16-8| 8 显然 y= x-4 距 l 最近,且最短距离 d= = ,切点为 2 32+(-2)2 13 7? ?3 P? ,- ?. 4? ?2 x2 y2 10.设椭圆 C: + =1(a>b>0)的右焦点为 F,过 F 的直线 l 与椭圆 C 相交 a2 b2 →. 于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60°,→ AF=2FB (1)求椭圆 C 的离心率; (2)如果|AB|= 15 ,求椭圆 C 的方程. 4 解:设 A(x1,y1),B(x2,y2). 由题意知,y1<0,y2>0. (1)直线 l 的方程为 y= 3(x-c),其中 c= a2-b2, ?y= 3(x-c), 联立?x2 y2 得(3a2+b2)y2+2 + =1, ?a2 b2 3b2cy-3b4=0, 解得 y1= - 3b2(c+2a) - 3b2(c-2a) ,y2= , 3a2+b2 3a2+b2 →,所以-y1=2y2, 因为→ AF=2FB 即 3b2(c+2a) - 3b2(c-2a) =2· , 3a2+b2 3a2+b2 c 2 得离心率 e= = . a 3 (2)因为|AB|= 所以 1 1+ |y2-y1|, 3 2 4 3ab2 15 · = . 3 3a2+b2 4 c 2 5 5 由 = ,得 b2= a2,b= a, a 3 9 3 5 15 代入上式得 a= ,所以 a=3,b= 5, 4 4 故椭圆 C 的方程为 B级 能力提升 x2 y2 + =1. 9 5 x2 y2 6 1.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率是 ,过椭圆上一点 M 作直线 MA, a b 3

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