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高中数学 《向量的线性运算》教案(1)


向量的线性运算
【三维目标】 : 一、知识与技能 1.理解向量加法的含义,会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和。 2.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律和结 合律,表述两个运算律的几何意义,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法;培养 数形结合解决问题的能力; 3.掌握有特殊位置关系的两个向量的和,比如共线向量、共起点向量、共终点向量等. 4.初步体会数形结合在向量解题中的应用. 二、过程与方法 教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法,一方面启发我们利用位移的合成去探 索两个向量的和,另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法。最后通过讲解例题, 指导发现知识结论,培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力. 三、情感、态度与价值观 通过本节内容的学习,使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的 认识,进一步让学生理解和领悟数形结合的思想;同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加 法,感受数学与生活的联系,增强学习数学的兴趣和积极性。 【教学重点与难点】 : 重点:如何作两个向量的和向量 难点:对向量加法定义的理解. 【学法与教学用具】 : 1. 学法: (1)自主性学习+探究式学习法: (2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距. 2.学法指导 数能进行运算,向量是否也能进行运算呢?数的加法启发我们,从运算的角度看,位移 的合成、力的合成可看作向量的加法;借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加 法,让学生顺理成章接受向量的加法定义;结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边 形法则;联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律。 3. 教学用具:多媒体、实物投影仪、尺规. 【授课类型】 :新授课 【课时安排】 :1 课时 【教学思路】 : 一、创设情景,揭示课题 【复习】 :1.向量的概念 2.平行向量、相等向量的概念。 【情景设置】 :利用向量的表示,从景点 O 到景点 A 的位移为 OA ,从景点 A 到景点 B 的位移 为 AB ,那么经过这两次位移后游艇的合位移是 OB
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●这里,向量 OA , OB , OC 三者之间有什么关系?

二、研探新知 1.向量的加法 向量的加法:求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示: AB ? BC = AC . 规定:零向量与任一向量 a ,都有 a ? 0 ? 0 ? a ? a . 【注意】 :两个向量的和仍旧是向量(简称和向量) 作法:在平面内任意取一点 O ,作 OA = a , AB = a ,则 OB = OA + AB = a + b
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? a ? a
2.向量的加法法则 (1)共线向量的加法: 同向向量

? b

O

A

? b

B

? a? b

反向向量

? a ? b

O

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? ? OB ? a + b

A

B

B

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? ? OB ? a + b

O

A

(2)不共线向量的加法 几何中向量加法是用几何作图来定义的, 一般有两种方法, 即向量加法的三角形法则 ( “首 尾相接,首尾连” )和平行四边形法则(对于两个向量共线不适应) 。 三角形法则:根据向量加法定义得到的求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则。 表示: AB ? BC = AC . 平行四边形法则: 以同一点 A 为起点的两个已知向量 a , b 为邻边作平行四边形 ABCD , 则以 A 为起点的对角线 AC 就是 a 与 b 的和, 这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形 法则。 如图,已知向量 a 、b 在平面内任取一点 A ,作 AB = a , BC ? b ,则向量 AC 叫做 a 与
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? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? b 的和,记作 a + b ,即 a + b ? AB ? BC ? AC
? a ? b ? ? a +b
A C C

? b
B D

? a
三角形法则

? b

? ? B a +b ? a
A
平行四边形法则

【说明】 :教材中采用了三角形法则来定义,这种定义,对两向量共线时同样适用,当向量不 共线时,向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的 特殊情况: 探究: (1)两相向量的和仍是一个向量; (2)当向量 a 与 b 不共线时, a + b 的方向不同向,且| a + b | ? | a |+| b |; (3)当 a 与 b 同向时,则 a + b 、 a 、 b 同向,且| a + b |=| a |+| b |,当 a 与 b 反向时, 若| a | ? | b |,则 a + b 的方向与 a 相同,且| a + b |=| a |-| b |;若| a | ? | b |,则 a + b 的方向 与 b 相同,且| a + b |=| b |-| a |. (4) “向量平移” :使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到 n 个向量连加 3.向量加法的运算律 (1)向量加法的交换律: a + b = b + a (2)向量加法的结合律:( a + b ) + c = a +( b + c ) 证明:如图:使 AB ? a , BC ? b , CD ? c 则 ( a + b )+ c = AC + CD ? AD , a + ( b + c )= AB ? BD ? AD ,∴( a + b )+ c = a +( b + c ) 从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行 例如: (a ? b) ? (c ? d ) ? (b ? d ) ? (a ? c) ; a ? b ? c ? d ? e ? [d ? (a ? c)] ? (b ? e) . 三、质疑答辩,排难解惑,发展思维 例 1 (教材 P60 例 1)如图, O 为正六边形的中心,作出下列向量: (1) OA + OC
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(2) BC + FE

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(3) OA + FE

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例 2.如图,一艘船从 A 点出发以 2 3km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时水的 流速为 2 km / h ,求船实际航行的速度的大小与方向。 解:设 AD 表示船垂直于对岸的速度, AB 表示水流的速度,以 AD ,
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AB 为邻边作平行四边形 ABCD ,则 AC 就是船实际航行的速度,在 Rt ?ABC
中, | AB |? 2 , | BC |? 2 3 ,所以 | AC |? | AB | 2 ? | BC | 2 ? 4 。 因为 tan ?CAB ? 例 3
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2 3 ? 3 ? ?CBA ? 60 ? 2
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已知矩形 ABCD 中,宽为 2 ,长为 2 3 , AB ? a , BC = b , AC = c ,试作出

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向量 a ? b ? c ,并求出其模的大小。 例 4 一架飞机向北飞行 200 千米后, 改变航向向东飞行 200 千米, 则飞行的路程为 400 千米 ;两次位移的和的方向为北偏东 45 ,大小为 200 2 千米.
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B A

C

例 5 (教材 P60 例 2)在长江南岸某渡口处,江水以 12.5km / h 的速度向东流,渡般的速 度为 25km / h ,渡般要垂直地渡过长江,其航向应如何确定? 【举一反三】 若渡般以 25km / h 的速度按垂直于河岸的航向航向航行,那么受水流影响,渡船的实际航 向如何? 四、巩固深化,反馈矫正 1.一艘船从 A 点出发以 2 3km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶, 船的实际航行的速度 的大小为 4 km / h ,求水流的速度。 2.一艘船距对岸 4 3km ,以 2 3km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,到达对岸时, 船的实际航程为 8km,求河水的流速。 3.一艘船从 A 点出发以 v1 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为 v2 ,船的 实际航行的速度的大小为 4 km / h ,方向与水流间的夹角是 60 ? ,求 v1 和 v2 4.一艘船以 5 km / h 的速度在行驶, 同时河水的流速为 2 km / h , 则船的实际航行速度大小 最大是

km / h ,最小是

km / h .

五、归纳整理,整体认识 1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义; 2.熟练掌握向量加法的平行四边形法则、三角形法则和向量加法运算律. 六、承上启下,留下悬念 1.已知两个力 F1 ,F2 的夹角是直角, 且知它们的合力 F 与 F1 的夹角是 60 ,| F |? 10 牛,
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求 F1 和 F2 的大小。 七、板书设计(略) 八、课后记:


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