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2006年惠州市第一中学高二数学必修5水平测试答案


2006 年惠州市第一中学高二数学必修 5 水平测试答案 一、 选择题:(请将正确答案的代号填在答题卡内,每小题 4 分,共 40 分) 选择题: 题 号 答案 1 C 2 A 3 C 4 B 5 C 6 A 7 B 8 D 9 C 10 A

二、填空题 填空题:(每题 4 分,共 16 分) 填空题

1 n 11、 S n = 12 1 2

12、 ∞,



3 2

13、等边三角形

14、

n2 n + 2 2

三.解答题 解答题(第 15,16 题每小题 12 分,第 17,18 题每小题 10 分共 44 分) 解答题 15、(理科)解: . (Ⅰ)由 cos B 由 b2=ac 及正弦定理得 于是

3 3 7 = , 得 sin B = 1 ( ) 2 = , 4 4 4

sin 2 B = sin A sin C .

1 1 cos A cos C sin C cos A + cos C sin A sin( A + C ) + = + = = tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin 2 B

=

sin B 1 4 = = 7. sin 2 B sin B 7

(Ⅱ)由 BA BC 由余弦定理

=

3 3 3 得ca cos B = ,由cos B = , 可得ca = 2,即b 2 = 2. 2 2 4
得 a2+c2=b2+2accosB=5.

b2=a2+c2-2ac+cosB

(a + c ) 2 = a 2 + c 2 + 2ac = 5 + 4 = 9,
(文科)解:由原不等式得:

a+c =3
2 x 2 x 1 > 0, 解得: 2 2 x + x 1 > 0

x < 2 x 2 1  , 即 x > 2 x 2 + 1

1 2 > x或x > 1, 即: 1 > x或x > 1 . x < 1, 或x > 1 2
∴原不等式的解集为

{x | x < 1或x > 1}

16、 (理科)等差数列{an}不是常数列,a5=10,且 a5,a7,a10 是某一等比数列{bn}的第 1,3,5 项,(1)求数列{an}的第 20 项,(2) 求数列{bn}的通项公式. 解: (1)设数列{an}的公差为 d,则 a5=10,a7=10+2d,a10=10+5d 因为等比数列{bn}的第 1、3、5 项也成等比, 所以 a72=a5a10 即:(10+2d)2=10(10+5d) 解得 d=2.5 ,d=0(舍去)…………………………………………………6 分 所以:a20=47.5………………………………………………………………8 分 (2)由(1)知{an}为正项数列,所以 q2=b3/b1=a7/a5=

3 ………………….10 分 2

bn=b1qn-1=±10(3/2)(n-1)/2…………………………………………………………………12 分 (文科)解:由题意,得 1

a + b + c = 15 a + c = 2b 2 ( a + 1)( c + 4 ) = ( b + 1)
由(1) (2)两式,解得 b = 5 将 c = 10 a 代入(3) ,整理得

(1) ( 2) ( 3)

a 2 13a + 22 = 0 解得a = 2或a = 11, 故a = 2, b = 5, c = 8或a = 11, b = 5, c = 1. 经验算,上述两组数符合题意。
17、经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量 之间的函数关系为:

y (千辆/小时)与汽车的平均速度 υ (千米/小时)

y=

(1)在该时段内,当汽车的平均速度 υ 为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(保留分数形式) (2)若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?(本小题满分 10 分)

920υ (υ > 0) . υ + 3υ + 1600
2

解: (Ⅰ)依题意,

y=

920 920 920 ≤ = , 1600 3 + 2 1600 83 3 + (v + ) v

……………3

当且仅当v = 所以y max

1600 , 即v = 40时, 上式等号成立, v 920 = (千辆 / 小时). 83
920v > 10, v + 3v + 1600
2

…….6 分

(Ⅱ)由条件得
2

整理得 v -89v+1600<0,………………………………………………8 分 即(v-25) v-64)<0, ( 解得 25<v<64. ……………………………………………………….;10 答:当 v=40 千米/小时,车流量最大,最大车流量约为 11.1 千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过 10 千辆/小时,则汽 车的平均速度应大于 25 千米/小时且小于 64 千米/小时.………………………12 分 18、分析:将已知数据列成下表:
y

消耗量 产品 资源
一级子棉(吨) 二级子棉(吨) 利 润(元)

甲种棉纱 (1 吨) 2 1 600

乙种棉纱 (1 吨) 1 2 900

资源限额 (吨) 300 250
50 50 x+2y=250 x 2x+y=300

解:设生产甲、乙两种棉纱分别为 x 吨、y 吨,利润总额为 z 元,

2

2 x + y ≤ 300 x + 2 y ≤ 250 那么 x ≥ 0 y ≥ 0
z=600x+900y. 作出以上不等式组所表示的平面区域(如图),即可行域. 作直线 l:600x+900y=0,即直线 l:2x+3y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直线经过可行域上的点 M,且与原点 距离最大,此时 z=600x+900y 取最大值.解方程组

; 2 x + y = 300   350 200 得 M 的坐标为 x= ≈117,y= 3 3 x + 2 y = 250

≈67.

答:应生产甲种棉纱 117 吨,乙种棉纱 67 吨,能使利润总额达到最大.

19、已知

x,

f ( x) , 3 ( x ≥ 0) 成等差数列.又数列 {a n }(a n > 0)中, a1 = 3, 此数列的前 n 项的和 Sn( n ∈ N + )对 2
= f ( S n1 ).

所有大于 1 的正整数 n 都有 S n

(1)求数列 {a n } 的第 n+1 项;

(2)若

bn 是

1 a n +1

,

1 an

的等比中项,且 Tn 为{bn}的前 n 项和,求 Tn.

解: (1)∵

x,

f ( x) , 3 ( x ≥ 0) 成等差数列,∴ 2
…………2 分

f ( x) ×2 = 2

x+ 3



f ( x) = ( x + 3 ) 2 .

∵ Sn ∴ ∴{ ∵ a1 ∴ Sn

= f ( S n 1 ), (n ≥ 2),∴ S n = f ( S n1 ) = ( S n 1 + 3 ) 2 ,

S n = S n 1 + 3 , S n S n 1 = 3 , Sn
}是以

3 为公差的等差数列.……………………4 分

= 3,∴ S1 = a1 = 3,∴ S n = S1 + (n 1) 3 = 3 + 3n 3 = 3n ,

= 3n 2 (n ∈ N + ). = S n+1 S n = 3(n + 1) 2 3n 2 = 6n + 3.
bn 是 1 a n+1 , 1 an
的等比中项,∴ ( …………6 分

∴ a n +1

(2)∵数列

bn ) 2 =

1 a n+1



1 , an

…………8 分

∴ bn

=

1 a n+1 a n

=

1 1 1 1 = ( ). 3(2n + 1) × 3(2n 1) 18 2n 1 2n + 1
3

∴ Tn

= b1 + b2 + + bn =

1 1 1 1 1 1 1 1 [(1 ) + ( ) + + ( )] = (1 ). ……10 18 3 3 5 2n 1 2n + 1 18 2n + 1

20、A(Ⅰ)证明:由条件当-1≤x≤1 时,│f(x)│≤1,取 x=0 得 │c│=│f(0)│≤1, 即│c│≤1. (Ⅱ)证法一: 当 a>0 时,g(x)=ax+b 在[-1,1]上是增函数, ∴g(-1)≤g(x)≤g(1), ∵│f(x)│≤1(-1≤x≤1),│c│≤1, ∴g(1)=a+b=f(1)-c≤│f(1)│+│c│≤2, g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(│f(-1)│+│c│≥-2, 由此得│g(x)│≤2; 当 a<0 时,g(x)=ax+b 在[-1,1]上是减函数, ∴g(-1)≥g(x)≥g(1), ∵│f(x)│≤1(-1≤x≤1),│c│≤1, ∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤│f(-1)│+│c│≤2, g(1)=a+b=f(1)-c≥-(│f(1)│+│c│)≥-2, 由此得│g(x)│≤2; 当 a=0 时,g(x)=b,f(x)=bx+c. ∵-1≤x≤1, ∴│g(x)│=│f(1)-c│≤│f(1)│+│c│≤2. 综上得│g(x)│≤2. 10 分 9分 7分 3分

4

根据含绝对值的不等式的性质,得



│g(x)│≤2.

8分

(Ⅲ)因为 a>0,g(x)在[-1,1]上是增函数,当 x=1 时取得最大值 2, 即 g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2.① ∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2=-1, ∴c=f(0)=-1. 因为当-1≤x≤1 时,f(x)≥-1,即 f(x)≥f(0), 根据二次函数的性质,直线 x=0 为 f(x)的图象的对称轴,由此得 12 分

由① 所以

得 a=2. f(x)=2x2-1. 14 分

5


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