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2017-2018学年高中数学(人教版必修五)教师用书 第一章§1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1(二)含答案

.1.1 正弦定理(二) 学习目标 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件, 判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换解决较为复杂的三角形问题. 知识点一 正弦定理的常见变形 1.sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c; 2. b c a+b+c = = = =2R; sinA sinB sinC sinA+sinB+sinC a 3.a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C; 4.sinA= ,sinB= ,sinC= . 2R 2R 2R 知识点二 判断三角形解的个数 思考 1 在△ABC 中,a=9,b=10,A=60°,判断三角形解的个数. a b c b 10 3 5 3 答案 sinB= sinA= × = , a 9 2 9 而 3 5 3 < <1,所以当 B 为锐角时, 2 9 5 3 满足 sinB= 的角有 60°<B<90°, 9 故对应的钝角 B 有 90°<B<120°, 也满足 A+B<180°,故三角形有两解. 梳理 已知三角形的两边及其中一边的对角,三角形解的个数并不一定唯一. a b bsinA 例如在△ABC 中,已知 a,b 及 A 的值.由正弦定理 = ,可求得 sinB= .在由 sinA sinB a sinB 求 B 时,如果 a>b,则有 A>B,所以 B 为锐角,此时 B 的值唯一;如果 a<b,则有 A<B, 所以 B 为锐角或钝角,此时 B 的值有两个. 思考 2 已知三角形的两边及其夹角,为什么不必考虑解的个数? 答案 如果两个三角形有两边及其夹角分别相等, 则这两个三角形全等. 即三角形的两边及 其夹角确定时,三角形的六个元素即可完全确定,故不必考虑解的个数的问题. 梳理 解三角形 4 个基本类型: (1)已知三边;(2)已知两边及其夹角;(3)已知两边及其一边对角;(4)已知一边两角. 其中只有类型(3)解的个数不确定. 知识点三 正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用 思考 1 在△ABC 中,已知 acosB=bcosA.你能把其中的边 a,b 化为用角表示吗(打算怎么 用上述条件)? 答案 可借助正弦定理把边化成角: 2RsinAcosB=2RsinBcosA, 移项后就是一个三角恒等变 换公式 sinAcosB-cosAsinB=0. 梳理 一个公式就是一座桥梁, 可以连接等号两端. 正弦定理的本质就是给出了三角形的边 与对角的正弦之间的联系. 所以正弦定理主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来. 简 称边角互化. 思考 2 什么时候适合用正弦定理进行边角互化? 答案 尽管正弦定理给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系, 但毕竟不是边等于对角正 弦,这里还涉及到外接圆半径.故使用时要么能消掉外接圆半径(如思考 1),要么已知外接 圆半径. 类型一 判断三角形解的个数 例 1 在△ABC 中,已知 a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形.(角度精确到 1°,边长 精确到 1cm) 解 根据正弦定理,sinB= bsinA 28sin40° = ≈0.8999. a 20 因为 0°<B<180°,且 b>a,B>A, (1)当 B≈64°时, C=180°-(A+B)≈180°-(40°+64°)=76°, asinC 20sin76° c= = ≈30(cm). sinA sin40° (2)当 B≈116°时, C=180°-(A+B)≈180°-(40°+116°)=24°, asinC 20sin24° c= = ≈13(cm). sinA sin40° 综上,B≈64°,C≈76°,c≈30cm 或 B≈116°, C≈24°,c≈13cm. 引申探究 例 1 中 b=28cm,A=40°不变,当边 a 在什么范围内取值时,△ABC 有两解(范围中保留 sin40°)? 解 如图,∠A=40°,CD⊥AD. AC=28cm, 以 C 为圆心,a 为半径画圆弧, 当 CD<a<AC, 即 bsinA<a<b, 28sin40°<a<28 时, △ABC 有两解(△AB1C,△AB2C 均满足题设). 反思与感悟 已知两边和其中一边的对角解三角形时, 首先求出另一边的对角的正弦值, 根 据该正弦值求角时, 要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值. 或者根据 该正弦值(不等于 1 时)在 0°~180°范围内求角,一个锐角,一个钝角,只要不与三角形 内角和定理矛盾,就是所求. 跟踪训练 1 已知一三角形中 a=2 3,b=6,A=30°,判断三角形是否有解,若有解,解 该三角形. 解 a=2 3,b=6,a<b,A=30°<90°. 又因为 bsinA=6sin30°=3,bsinA<a<b, 所以本题有解,且有两解,由正弦定理,得 sinB= bsinA 6sin30° 3 = = , a 2 2 3 因为 b>a,B>A,B∈(0°,180°), 所以 B=60°或 120°. 当 B=60°时,C=90°,c= a +b =4 3; 当 B=120°时,C=30°,c=a=2 3. 所以 B=60°,C=90°,c=4 3 或 B=120°,C=30°,c=2 3. 类型二 利用正弦定理求最值或取值范围 例 2 在锐角△ABC 中,角 A,B,C 分别对应边 a,b,c,a=2bsinA,求 cosA+sinC 的取 值范围. 解 ∵a=2bsinA, ∴由正弦定理,得 sinA=2sinBsinA, π 又∵A∈(0, ),sinA≠0, 2 2 2 1 ∴sinB= . 2 π ∵B 为锐角,∴B= . 6 令 y=cosA+sinC=cosA+sin[π -(B+A)] ?π ? =cosA+sin? +A? ?6 ? π π =cosA+sin cosA+cos sinA 6 6

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