．1.1 正弦定理(二) 学习目标 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件， 判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换解决较为复杂的三角形问题． 知识点一 正弦定理的常见变形 1．sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c； 2. b c a＋b＋c ＝ ＝ ＝ ＝2R； sinA sinB sinC sinA＋sinB＋sinC a 3．a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； 4．sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ . 2R 2R 2R 知识点二 判断三角形解的个数 思考 1 在△ABC 中，a＝9，b＝10，A＝60°，判断三角形解的个数． a b c b 10 3 5 3 答案 sinB＝ sinA＝ × ＝ ， a 9 2 9 而 3 5 3 < <1，所以当 B 为锐角时， 2 9 5 3 满足 sinB＝ 的角有 60°<B<90°， 9 故对应的钝角 B 有 90°<B<120°， 也满足 A＋B<180°，故三角形有两解． 梳理 已知三角形的两边及其中一边的对角，三角形解的个数并不一定唯一． a b bsinA 例如在△ABC 中，已知 a，b 及 A 的值．由正弦定理 ＝ ，可求得 sinB＝ .在由 sinA sinB a sinB 求 B 时，如果 a>b，则有 A>B，所以 B 为锐角，此时 B 的值唯一；如果 a<b，则有 A<B， 所以 B 为锐角或钝角，此时 B 的值有两个． 思考 2 已知三角形的两边及其夹角，为什么不必考虑解的个数？ 答案 如果两个三角形有两边及其夹角分别相等， 则这两个三角形全等． 即三角形的两边及 其夹角确定时，三角形的六个元素即可完全确定，故不必考虑解的个数的问题． 梳理 解三角形 4 个基本类型： (1)已知三边；(2)已知两边及其夹角；(3)已知两边及其一边对角；(4)已知一边两角． 其中只有类型(3)解的个数不确定． 知识点三 正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用 思考 1 在△ABC 中，已知 acosB＝bcosA．你能把其中的边 a，b 化为用角表示吗(打算怎么 用上述条件)? 答案 可借助正弦定理把边化成角： 2RsinAcosB＝2RsinBcosA， 移项后就是一个三角恒等变 换公式 sinAcosB－cosAsinB＝0. 梳理 一个公式就是一座桥梁， 可以连接等号两端． 正弦定理的本质就是给出了三角形的边 与对角的正弦之间的联系． 所以正弦定理主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来． 简 称边角互化． 思考 2 什么时候适合用正弦定理进行边角互化？ 答案 尽管正弦定理给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系， 但毕竟不是边等于对角正 弦，这里还涉及到外接圆半径．故使用时要么能消掉外接圆半径(如思考 1)，要么已知外接 圆半径． 类型一 判断三角形解的个数 例 1 在△ABC 中，已知 a＝20cm，b＝28cm，A＝40°，解三角形．(角度精确到 1°，边长 精确到 1cm) 解 根据正弦定理，sinB＝ bsinA 28sin40° ＝ ≈0.8999. a 20 因为 0°<B<180°，且 b>a，B>A， (1)当 B≈64°时， C＝180°－(A＋B)≈180°－(40°＋64°)＝76°， asinC 20sin76° c＝ ＝ ≈30(cm)． sinA sin40° (2)当 B≈116°时， C＝180°－(A＋B)≈180°－(40°＋11