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2017_2018学年高中数学第一单元基本初等函数(Ⅱ)1.3.2余弦函数正切函数的图象与性质(一)学案新人教B版必修4

1.3.2 学习目标 余弦函数、正切函数的图象与性质(一) 1.会用“五点法”作出余弦函数的简图.2.理解余弦函数的性质,会求余弦函数 的周期、单调区间及最值.3.理解正弦曲线与余弦曲线的联系. 知识点一 余弦函数的图象 思考 如何快速作出余弦函数的图象? 梳理 余弦函数 y=cos x 的图象叫做余弦曲线. 知识点二 余弦函数的性质 思考 1 观察余弦曲线,余弦函数是否存在最大值和最小值?若存在,其最大值和最小值分 别为多少? 思考 2 当自变量 x 分别取何值时,余弦函数 y=cos x 取得最大值 1 和最小值-1?余弦函 数的周期性如何? 思考 3 观察余弦曲线,余弦函数在哪些区间上是增函数?在哪些区间上是减函数?如何将 这些单调区间进行整合? 1 梳理 正弦函数、余弦函数的图象、性质对比 函数 y=sin x y=cos x 图象 定义域 值域 奇偶性 周期性 单调性 最小正周期:______ 最小正周期:______ 在__________________ 上单调递增; 在____________________上单调递增; 在____________________上单调递减 在 ________________ 时, ymax = 1 ;在 ____________时,ymin=-1 在________________上单调递减 在 ________________ 时, ymax = 1 ;在 ____________时,ymin=-1 最值 知识点三 正弦曲线、余弦曲线的对称性 思考 1 观察正弦曲线和余弦曲线的对称性,你有什么发现? 思考 2 上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质?如何从理论上加以验证? 梳理 正弦函数 y=sin x(x∈R)和余弦函数 y=cos x(x∈R)的图象分别叫做正弦曲线和余 弦曲线.它们的图象如图所示: 2 研究正弦曲线和余弦曲线可以得到以下结论: (1)正弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标为 (kπ ,0)(k∈Z),且正弦曲线是轴 π 对称图形,其所有的对称轴方程是 x=kπ + (k∈Z). 2 π ? ? (2)余弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标是?kπ + ,0?(k∈Z); 余弦曲线是轴 2 ? ? 对称图形,其所有的对称轴方程是 x=kπ (k∈Z). 类型一 求余弦函数的单调区间 ?π x? 例 1 求函数 y=3cos? - ?的单调递增区间. ? 3 2? 反思与感悟 确定函数 y=Acos(ω x+φ )单调区间的基本思想是整体换元思想.即将 ω x+ φ 看作一个整体,利用基本三角函数的单调性来求复杂三角函数的单调区间.若 x 的系数为 负,通常利用诱导公式化为正数再求解.有时还应兼顾函数的定义域. 1 ?π x? 跟踪训练 1 求函数 y=log cos? - ?)的单调递增区间. 2 ?3 2? 类型二 余弦函数的值域或最值 ? π 2π ? 2 例 2 求函数 y=3cos x-4cos x+1,x∈? , ?的值域. 3 ? ?3 3 反思与感悟 求三角函数最值的两种基本类型: (1)将三角函数式化为 y=Acos(ω x+φ )+k 的形式,结合有界性求最值. (2)将三角函数式化为关于 cos x(或 sin x)的二次函数的形式,利用二次函数的性质和有界 性求最值. π? ? ? π? 跟踪训练 2 已知函数 y=acos?2x+ ?+3,x∈?0, ?的最大值为 4,求实数 a 的值. 3? 2? ? ? 类型三 余弦函数的对称性 2π ? ? 例 3 已知函数 y=2cos?2x+ ?. 3 ? ? (1)在该函数的对称轴中,求离 y 轴距离最近的那条对称轴的方程; (2)把该函数的图象向右平移 φ 个单位后,图象关于原点对称,求 φ 的最小正值. 反思与感悟 关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论: (1)f(x)=Asin(ω x+φ )(或 Acos(ω x+φ ))的图象关于 x=x0 对称?f(x0)=A 或-A. (2)f(x)=Asin(ω x+φ )(或 Acos(ω x+φ ))的图象关于点(x0,0)中心对称?f(x0)=0. ? 4π ? 跟踪训练 3 把函数 y=cos?x+ ?的图象向右平移 φ 个单位,正好关于 y 轴对称,求 φ 3 ? ? 的最小正值. 4 1.函数 f(x)=cos 4x,x∈R 是( A.最小正周期为 π 的偶函数 B.最小正周期为 π 的奇函数 π C.最小正周期为 的偶函数 2 π D.最小正周期为 的奇函数 2 ) 2.如果函数 y=3cos(2x+φ )的图象关于点? A. π 6 π B. 4 π C. 3 π D. 2 ?4π ,0?中心对称,那么|φ |的最小值为( ? ? 3 ? ) 3.函数 y=cos x+|cos x|,x∈[0,2π ]的大致图象为( ) ? π? ? π? 4.已知 f(x)=sin?x+ ?,g(x)=cos?x- ?,则 f(x)的图象( 2 2? ? ? ? A.与 g(x)的图象相同 B.与 g(x)的图象关于 y 轴对称 π C.向左平移 个单位,得 g(x)的图象 2 π D.向右平移 个单位,得 g(x)的图象 2 5.函数 f(x)=lg cos x+ 25-x 的定义域为________. 2 ) 1.余弦函数 y=cos x(x∈R)是偶函数,而且是周期函数,最小正周期为 2π .与 y=Asin(ω x 2π +φ )一样,函数 y=Acos(ω x+φ )(ω ≠0)的周期也是 . |ω | 5 2.与正弦函数类似,函数 y=Acos(ω x+φ )(ω >0,φ >0)的图象也可由 y=cos x 的图象通 过变换得到,变换规律相同. 3. 在研究 y = Acos(ω x

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