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第九节 圆锥曲线的综合问题衡水中学校内自用精品资料

栏目索引 文数 课标版 第九节 圆锥曲线的综合问题 栏目索引 考点突破 考点一 圆锥曲线中的范围、最值问题 x2 y 2 3 典例1 已知点A(0,-2),椭圆E:? + ? =1( a > b >0) 的离心率为 ? ,F是椭圆 a2 b2 2 2 3 E的右焦点,直线AF的斜率为? ,O为坐标原点. 3 (1)求E的方程; (2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的 方程. 栏目索引 解析 (1)设F(c,0),由条件知,? =? ,得c=?3 . 2 2 3 3 c 又? =?,所以a=2,b2=a2-c2=1. x2 2 故E的方程为? +y =1. 4 c a 3 2 (2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2). x2 2 将y=kx-2代入? +y =1得(1+4k2)x2-16kx+12=0. 4 栏目索引 由题意知Δ=16(4k2-3)>0, 8k ? 2 4 k 2 ? 3 3 解得k >? .x1,2=? 2 . 4k ? 1 4 4 k 2 ? 1 ? 4k 2 ? 3 2 从而|PQ|=?k ? 1 |x1-x2|=? . 4k 2 ? 1 2 又点O到直线PQ的距离d=?2 2 k ?1 4 4k 2 ? 3 1 所以S△OPQ=? d· |PQ|=? 2 . 4 k ? 1 2 , 4 4t = . 4 t ?4 t? t 7 4 因为t+? ≥4,当且仅当t=2,即k=±?时等号成立,且满足Δ>0, 2 t 设?4k 2 ? 3 =t,则t>0,S△OPQ=? 2 ? 7 x-2或y=-? 7 x-2. 所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=? 2 2 栏目索引 方法技巧 圆锥曲线中的最值(范围)问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有 两种方法:一是几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几 何中的定理、性质等进行求解;二是代数法,即把要求最值(范围)的几何 量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数,然后利用函数方法、不等 式方法等进行求解. 栏目索引 1-1 x2 y 2 已知A,B,C是椭圆M:? +?=1(a>b>0)上的三点,其中点A的坐标为 a2 b2 ? ? ? ? AC · BC =0,|? BC |=2|? AC |. (2?3 ,0),BC过椭圆的中心,且? ? (1)求椭圆M的方程; (2)过点(0,t)的直线l(斜率存在时)与椭圆M交于两点P,Q,设D为椭圆M与 DQ |,求实数t的取值范围. y轴负半轴的交点,且|? DP |=|? ? ? BC |=2|? AC |且BC过(0,0), 解析 (1)因为|? ? ? 则|OC|=|AC|. AC · BC =0,所以∠OCA=90°,所以C(?3 ,?3 ). 因为? ? x2 y 2 由题意知a=2?3 ,所以设椭圆M的方程为? +?=1. 12 b 2 3 3 将C点坐标代入得? +? =1, 12 b2 ? ? 栏目索引 x2 y 2 解得b =4,所以椭圆M的方程为? +?=1. 12 4 2 (2)由条件及(1)知D(0,-2), 当k=0时,显然-2<t<2; 当k≠0时,设l:y=kx+t, ? x2 y 2 ? 1, ? ? 由 ?12 4 消去y得 ? y ? kx ? t , ? ? 栏目索引 (1+3k2)x2+6ktx+3t2-12=0,由Δ>0可得t2<4+12k2,? ① 设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中点H(x0,y0), x ? x2 ?3kt =? 2 , 2 1 ? 3k t y0=kx0+t=? 2 , 1 ? 3k 3kt t ? ? ? , 所以H? , ? 2 2 ? 1 ? 3 k 1 ? 3 k ? ? ? ? 由于|? DQ |, DP |=|? 1 则x0=? 所以DH⊥PQ,则kDH=-? , t ?2 2 1 1 ? 3 k 即 3kt =-? , k ? ?0 2 1 ? 3k 1 k ? 栏目索引 化简得t=1+3k2,? ② 所以t>1,将②代入①得,t2<4t,故1<t<4. 所以t的范围是(1,4). 综上可得t∈(-2,4). 栏目索引 考点二 典例2 圆锥曲线中的定点、定值问题 x2 y 2 (2016北京,19,14分)已知椭圆C:? +?=1过A(2,0),B(0,1)两点. a2 b2 (1)求椭圆C的方程及离心率; (2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB 与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值. 解析 (1)由题意得,a=2,b=1. x2 2 所以椭圆C的方程为? +y =1. 4 又c=? a 2 ? b 2 =?3 , 3. c =? 所以离心率e=? a 2 (2)证明:设P(x0,y0)(x0<0,y0<0), 栏目索引 2 2 y0 x0 则? +4? =4. 又A(2,0),B(0,1), 所以,直线PA的方程为y=?0 (x-2). 令x=0,得yM=-? 0 , 2y x0 ? 2 y0 ? 1 直线PB的方程为y=? x+1. x0 x0 , 令y=0,得xN=-? y0 ? 1 x0 . 从而|AN|=2-xN=2+? y0 ? 1 2y x0 ? 2 y x0 ? 2 从而|BM|=1-yM=1+?0 . 所以四边形ABNM的面积 栏目索引 1 S=? |AN|· |BM| 2 x0 ? ? 2 y0 ? 1? 2 ? 1 ? =? ? ? ? y0 ? 1 ? ? 2? ? x0 ? 2 ? 2 2 x0 ? 4 y0 ? 4 x0 y0 ? 4 x0 ? 8 y0 ? 4 =? 2( x0 y0 ? x0

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