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【S】上海市各区县2016届高三上学期期末考试数学理试题汇编:圆锥曲线【学生版本】


上海市市重点中学讲义
圆锥曲线
一、填空题. 1、(宝山区2016届高三上学期期末)抛物线 y 2 ? ?12 x 的准线与双曲线 所围成的三角形的面积等于 .

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线 9 3

2、 (崇明县2016届高三上学期期末)在△ABC中,AN=4,BC= 6 2 ,∠CBA = 以 AB 为实轴,且过点C,则 ? 的焦距为

? ,.若双曲线 ? 4

3、(奉贤区 2016 届高三上学期期末)若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线经过双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的 一个焦点,则 p ? ________
y

4、(虹口区 2016 届高三上学期期末)如图,已知双曲线 C 的右焦点为 F,过它的右 顶点 A 作实轴的垂线,与其一条渐近线相交于点 B ;若双曲线 C 的焦距为 4, ?OFB 为等边三角形( O 为坐标原点,即双曲线 C 的中心),则双曲线 C 的方程为_________________.
O

B

A

F

x

(第7题图)

5、(黄浦区 2016 届高三上学期期末)已知 k ? Z ,若曲线 x2 ? y 2 ? k 2 与曲线 xy ? k 无交点,则

k?



6、(金山区 2016 届高三上学期期末)以椭圆 点的抛物线方程是

x2 y2 ? ? 1 的中心为顶点,且以该椭圆的右焦点为焦 25 16
1 / 16

7、 (静安区 2016 届高三上学期期末) 已知抛物线 y ? ax2 的准线方程是 y ? ?

1 , 则a ? 4

.

8、 (闵行区 2016 届高三上学期期末)点 P 、Q 均在椭圆 ? : 是椭圆 ? 的左、右焦点,则 PF1 ? PF2 ? 2 PQ 的最大值为

x2 y2 ? ? 1 (a ? 1) 上运动, F1、F2 a2 a2 ?1
.

???? ???? ?

??? ?

9、(普陀区 2016 届高三上学期期末)设 P 是双曲线 离分别为 d1 , d 2 ,则 d1 ? d 2 ? _________.

x2 y 2 ? ? 1 上的动点,若 P 到两条渐近线的距 4 2

10、 (松江区 2016 届高三上学期期末)已知抛物线 C : y ? 4x 的准线为 l ,过 M ( 1 ,0) 且斜率为 k 的
2

直线与 l 相交于点 A ,与抛物线 C 的一个交点为 B .若 AM ? 2MB ,则 k ?

???? ?

????



11、(杨浦区 2016 届高三上学期期末)抛物线 C 的顶点为原点 O ,焦点 F 在 x 轴正半轴, 过焦点且倾斜角为

? 的直线 l 交抛物线于点 A, B ,若 AB 中点的横坐标为 3,则抛物线 C 的 4

方程为_______________.

二、选择题. 1、(嘉定区 2016 届高三上学期期末)已知圆 M 过定点 (2 , 0) ,圆心 M 在抛物线 y ? 4 x 上运动,
2

若 y 轴截圆 M 所得的弦为 AB ,则 | AB | 等于( A. 4 B. 3 C. 2

) D. 1

2 / 16

2 、 ( 青 浦 区 2016 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 已 知 抛 物 线 y 2 ? 2 p x( ? p 0与 ) 双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 有相同的焦点 F ,点 A 是两曲线的一个交点,且 AF ? x 轴,若 l 为双曲 a 2 b2
线一、三象限的一条渐近线,则 l 的倾斜角所在的区间可能是………………………( (A) ? 0, ).

? ?? ? ? 6?

(B) ?

?? ? ? , ? ?6 4?

(C) ?

?? ? ? , ? ?4 3?

(D)

?? ? ? ? , ? ?3 2?

3、(松江区 2016 届高三上学期期末)已知双曲线 相同,则此双曲线的渐近线方程为

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点 m 5

A. y ? ?

5 x 2

B. y ? ?

2 5 x 5

C. y ? ?

5 3 5 x D. y ? ? x 3 5

三、解答题. 1、 ( 宝山 区 2016 届 高三 上 学期 期末 ) 已知 椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上 两个 不同 的点 A,B 关 于 直线 2

1 y ? mx ? (m ? 0) 对称. 2
(1)若已知 C (0, ) , M 为椭圆上动点,证明: MC ? (2)求实数 m 的取值范围; (3)求 ?AOB 面积的最大值( O 为坐标原点) .

1 2

10 ; 2

y

O B A

x

3 / 16

2、(奉贤区 2016 届高三上学期期末)设三个数 其中 ? x, y ? 对应点的曲线方程是 C . (1) 求 C 的标准方程;

? x ? 1?

2

? y 2 ,2,

? x ? 1?

2

? y 2 成等差数列,

(2) 直线 l1 : x ? y ? m ? 0 与曲线 C 相交于不同两点 M , N , 且满足 ?MON 为钝角, 其中 O 为直 角坐标原点,求出 m 的取值范围.

4 / 16

3、(虹口区 2016 届高三上学期期末) 已 知椭 圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的 左 焦点 为 F , 短 轴 的两 个 端点 分 别为 A、B, 且 a 2 b2
y B M J H N A (第23题图) x

AB ? 2, ?ABF 为等边三角形 .
(1) 求椭圆 C 的方程;

o
(2) 如图,点 M 在椭圆 C 上且位于第一象 限内,它关于坐标原点 O 的对称点为 N; 过点 M 作 x 轴的垂线,垂足为 H,直线 NH 与椭圆
F

???? ? ???? C 交于另一点 J,若 HM ? HN ? ? 1 ,试求以线段 NJ 为直径的圆的方程; 2
2 2 (3)已知 l1、l2 是过点 A 的两条互相垂直的直线,直线 l1 与圆 O : x ? y ? 4 相交于 P、Q 两点,

直线 l2 与椭圆 C 交于另一点 R ;求 ?PQR 面积取最大值时,直线 l1 的方程.

5 / 16

4、 (黄浦区 2016 届高三上学期期末)已知椭圆 ? :

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ),过原点的两条直线 l1 a2 b2

和 l2 分别与 ? 交于点 A 、 B 和 C 、 D ,得到平行四边形 ACBD . (1)当 ACBD 为正方形时,求该正方形的面积 S .
2 (2) 若直线 l1 和 l2 关于 y 轴对称,? 上任意一点 P 到 l1 和 l2 的距离分别为 d 1 和 d2 , 当 d12 ? d 2 为

定值时,求此时直线 l1 和 l2 的斜率及该定值. (3)当 ACBD 为菱形,且圆 x2 ? y 2 ? 1 内切于菱形 ACBD 时,求 a , b 满足的关系式.

6 / 16

5、(嘉定区 2016 届高三上学期期末)在平面直角坐标系 xOy 内,动点 P 到定点 F (?1 , 0) 的距离 与 P 到定直线 x ? ?4 的距离之比为

1 . 2

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)若轨迹 C 上的动点 N 到定点 M (m , 0) ( 0 ? m ? 2 )的距离的最小值为 1 ,求 m 的值. (3)设点 A 、 B 是轨迹 C 上两个动点,直线 OA 、 OB 与轨迹 C 的另一交点分别为 A1 、 B1 , 且直线 OA 、 OB 的斜率之积等于 ?

3 ,问四边形 ABA 1B 1 的面积 S 是否为定值?请说明理由. 4

7 / 16

6、 (金山区 2016 届高三上学期期末) 在平面直角坐标系中, 已知椭圆 C :
2 2

x2 y2 ? ?1, 设点 R?x0 , y0 ? 24 12

是椭圆 C 上一点,从原点 O 向圆 R : ?x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? 8 作两条切线,切点分别为 P, Q . (1) 若直线 OP, OQ 互相垂直,且点 R 在第一象限内,求点 R 的坐标; (2) 若直线 OP, OQ 的斜率都存在,并记为 k1 , k 2 ,求证: 2k1k2 ? 1 ? 0 .

8 / 16

7、(静安区 2016 届高三上学期期末)设 P1 和 P2 是双曲线 为 M,直线 P1P2 不经过坐标原点 O.

x2 y2 ? ? 1 上的两点,线段 P1P2 的中点 a2 b2

(1)若直线 P1P2 和直线 OM 的斜率都存在且分别为 k1 和 k2,求证:k1k2=

b2 ; a2

(2)若双曲线的焦点分别为 F 1 (? 3,0) 、 F 2 ( 3,0) ,点 P1 的坐标为(2,1) ,直线 OM 的斜率为

3 ,求由四点 P1、 F1、P2、F2 所围成四边形 P1 F1P2F2 的面积. 2

9 / 16

8、(闵行区 2016 届高三上学期期末) 已知椭圆 ? 的中心在坐标原点,且经过点 (1, ) ,它的一个 焦点与抛物线 ? : y 2 ? 4 x 的焦点重合. (1)求椭圆 ? 的方程; (2)斜率为 k 的直线 l 过点 F ?1, 0? ,且与抛物线 ? 交于 A、B 两点,设点 P(?1, k ) ,△ PAB 的面 积为 4 3 ,求 k 的值; (3) 若直线 l 过点 M ? 0, m?( m ? 0 ) , 且与椭圆 ? 交于 C、D 两点, 点 C 关于 y 轴的对称点为 Q , 直线 QD 的纵截距为 n ,证明: mn 为定值.

3 2

10 / 16

9 、(浦东新区 2016 届高三上学期期末)在平面直角坐标系 xOy 中,对于点 P( x0 , y0 ) 、直线

l : ax ? by ? c ? 0 ,我们称 ? ?
(1) 设椭圆

ax0 ? by0 ? c a 2 ? b2

为点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : ax ? by ? c ? 0 的方向距离。

距离分别为 ? 1 、 ? 2 ,求 ? 1? 2 的取值范围。

x2 ? y 2 ? 1 上的任意一点 P ( x , y) 到直线 l1 : x ? 2 y ? 0 , l2 : x ? 2 y ? 0 的方向 4

试问是否存在实数 t ,对任意的 ? 都有?1? 2 ? 1 成立?若存在,求出 t 的值;不存在,说明理由。 (3) 已知直线 l :mx ? y ? n ? 0 和椭圆 E :

(2)设点 E (?t ,0) 、 F (t ,0) 到直线 l : x cos? ? 2 y sin ? ? 2 ? 0 的方向距离分别为?1 、? 2 ,

x2 y2 ? ?1 (a ? b ? 0) , 设椭圆 E 的两个焦点 F1 , F2 a2 b2

到直线 l 的方向距离分别为 ?1 、 且直线 l 与 x 轴的交点为 A 、 与 y 轴的交点为 B , ?2 满足 ?1?2 ? b 2 , 试比较 AB 的长与 a ? b 的大小。

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10、 (普陀区 2016 届高三上学期期末)如图,椭圆 椭圆的右顶点,点 P 在椭圆上且 ?PF1F2 ? arccos (1)计算 PF1 的值; (2)求 ?PF1 A 的面积.
7 . 8

x2 y 2 ? ? 1 的左、右两个焦点分别为 F1 , F2 , A 为 25 9

y
P

F1

O

A

x

12 / 16

11、(青浦区 2016 届高三上学期期末)已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴,且抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点

F 是椭圆 M 的一个焦点,以 F 为圆心,以椭圆 M 的短半轴长为半径的圆与直线
相切. l: x? 2 2 y? 2 ? 0 (1)求椭圆 M 的方程; (2)已知直线 y ? x ? m 与椭圆 M 交于 A、B 两点,且椭圆 M 上存在点 P 满足 OP ? OA ? OB , 求 m 的值.

??? ?

??? ? ??? ?

13 / 16

12、(松江区 2016 届高三上学期期末)在平面直角坐标系 xOy 中, O 为坐标原点,C、D 两点的坐 标为 C (- 1, 0), D (1, 0), 曲线 E 上的动点 P 满足 PC + PD = 2 3 .又曲线 E 上的点 A、 B 满足
OA ? OB .

(1)求曲线 E 的方程; (2)若点 A 在第一象限,且 OA ?

3 OB ,求点 A 的坐标; 2

(3)求证:原点到直线 AB 的距离为定值.

14 / 16

13、(徐汇区 2016 届高三上学期期末)已知直线 l1 、 l2 与曲线 W : mx2 ? ny2 ? 1? m ? 0, n ? 0? 分别 相交于点 A 、 B 和 C 、 D ,我们将四边形 ABCD 称为曲线 W 的内接四边形. (1) 若直线 l1 : y ? x? a和 l2 : y ? x ? b 将单位圆 W : x ? y ? 1 分成长度相等的四段弧,求
2 2

a 2 ? b 2 的值;
(2) 若直线 l1 : y ? 2x ? 10, l2 : y ? 2x ? 10 与圆 W : x ? y ? 4 分别交于点 A 、B 和 C 、D ,
2 2

求证:四边形 ABCD 为正方形; (3) 求证:椭圆 W :

x2 ? y 2 ? 1 的内接正方形有且只有一个,并求该内接正方形的面积. 2

15 / 16

14、(杨浦区 2016 届高三上学期期末)如图,曲线 ? 由两个椭圆 T1 :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 和 a 2 b2

椭圆 T2 :

y 2 x2 ? ? 1? b ? c ? 0 ? 组成,当 a, b, c 成等比数列时,称曲线 ? 为“猫眼曲线”. b2 c 2

(1) 若猫眼曲线 ? 过点 M 0, ? 2 ,且 a, b, c 的公比为

?

?

2 ,求猫眼曲线 ? 的方程; 2

(2) 对于题(1)中的求猫眼曲线 ? ,任作斜率为 k ? k ? 0? 且不过原点的直线与该曲线相交,交 椭圆 T1 所得弦的中点为 M ,交椭圆 T2 所得弦的中点为 N ,求证:

k OM 为与 k 无关的定值; k ON

(3) 若斜率为 2 的直线 l 为椭圆 T2 的切线, 且交椭圆 T1 于点 A, B ,N 为椭圆 T1 上的任意一点 (点

N 与点 A, B 不重合),求 ?ABN 面积的最大值.

y

o

x

16 / 16


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