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教案《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》


任意角的正弦函数、余弦函数的定义
一 、教学目标 1、借助单位圆理解任意角的三角函数的定义。 2、经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体 验三角函数概念的产生、发展过程,领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合 的经验; 二、教学重点、难点 教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义;三角函数值的符号。 教学难点: 难点:任意角的三角函数概念的建构过程。 三、教学过程 (一)课题引入 1、在初中我们学习了锐角的正弦函数值、余弦函数值,大家回忆,它们如 何定义的?
对 边 α 邻边 sinα=

对边 斜边

,conα=

邻边 斜边

2、前两节课,我们把锐角推广到了任意角,并用弧度制重新度量角,那么, 初中所学的锐角三角函数值的定义是否依然适用? (二)探求新知 1、把锐角放进直角坐标系中,则锐角的正弦、余弦函数值可怎样定义呢?
y · P(x,y) O M x
sinα=

y 斜边 r
对边
=

,conα=

x 斜边 r
邻边
=

a的终边

y

(把正弦函数值、 余弦函数值, 由边长的比过渡到坐 标的比,再到坐标。 ) 特别地, 当 r ? 1 时,sin ? ? y ,cos? ? x , 其中 ? x, y ? 是半径为 1 的单位圆与角 ? 终边的交点坐标。 2、上述定义能否推广到任意角的三角函数?

P ?u, v ?
O x

一般地,在直角坐标系中,给定单位圆,对于任意角 ? ,使角 ? 的顶点与原
北师大版 数学 必修四 第一章 第 3 节 第1页 共3页

点重合,始边与 x 轴正半轴重合,终边与单位圆交于点 P ?u, v ? ,那么点 P 的纵 坐标 v 叫做角 ? 的正弦函数值,记作 v ? sin ? ;点 P 的横坐标 u 叫做角 ? 的余弦 函数值,记作 u ? cos? 。 3、我们也可以按下面的方式计算正弦、余弦函数值。 在角 ? 终边上任取一点 P 1 ? u1 , v1 ? ,设 OP 1 ? r ,由相似原理得

sin ? ? v ?

v1 u ?v
2 1 2 1

, cos ? ? u ?

u1 u ? v12
2 1



三角函数值的上述两种方式是等价的,都是表示点 P 的纵坐标与 OP 的比 值。只是在单位圆的背景下, OP =1,从形式上看更简洁。我们教科书上就选 用了单位圆背景下的定义方式。 4、对于每个确定的角 ? ,放入直角坐标系后,都有唯一的终边与之对应, 终边与单位圆都有唯一确定的交点 P(u, v) , 任意角 ?
直角坐标系中

唯一的终边

与单位圆

唯一的交点 P (x, y)

所以,正弦、余弦都是以角(弧度数)为自变量,以单位圆上点的坐标或坐 标的比值为函数值的函数,我们将它们称为正弦函数和余弦函数。通常,我们用 x 表示自变量,即 x 表示角的大小,用 y 表示函数值,这样我们就定义了任意角 的三角函数 y ? sin x , y ? cos x 。 反思:1、因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,故三角函数 可以看成实数为自变量的函数。 2、用集合与对应的函数观点看三角函数,这是一种“多对一”的函数; 3、定义域为全体实数,值域为 ??1,1? ; 4、根据终边相同角的规律,可以得到: 对于 x ? R ,总有 sin ? x ? k ? 2? ? ? sin x, k ? Z ; cos ? x ? k ? 2? ? ? cos x, k ? Z 。 可见,正弦函数、余弦函数均是随角的变化呈周期性变化的。正弦函数、余弦函 数都是周期函数, 2k? ? k ? Z , k ? 0? 为正弦函数、余弦函数的周期, 2? 是最小正

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数学 必修四

第一章 第 3 节

第2页 共3页

周期。 (三)知识应用 例 1、在直角坐标系的单位圆中, ? ? (1)画出角 ? ; (2)求出角 ? 的终边与单位圆的交点坐标; (3)求出角 ? 的正弦函数值、余弦函数值。 变形、在例 1 的基础上,求 sin
9? 5? 3? , cos , sin 。 4 4 4

?
4



例 2、已知角 ? 终边上的一点 P(-3,-4) ,求角 ? 的正弦函数值、余弦函 数值。 变式 1、已知角 ? 的终边经过点 P ? x, ?3? , cos ? ?
4 ,求 ? 的正弦值。 5

变式 2、已知角 ? 的顶点为左边原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边在函数

y ? ?3x ? x ? 0? 的图像上,求 sin ? 、 cos? 。
例 3、探究:正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号。 (四)课堂练习 课本 16 页 练习 (五)课堂小结 1、正弦函数、余弦函数的定义(两种方法) ; 2.正弦、余弦函数值的符号(一全二正弦,三无四余弦) 。 (六)布置作业 1、课本 20 习题 1—4 2、赢在课堂相关内容 1、3 1、2、3、4、5

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第一章 第 3 节

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