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2.2.3独立重复试验与二项分布


人教版普通高中课程标准试验教科书 《数学》 (选修2-3)2.2节第3小节

独立重复试验 与二项分布
佛山市第三中学 叶文英

60

问题:假如臭皮匠老三解出的把握也只有
60 % 60%,那么这三个臭皮匠中至少有一个能解 出的把握真能抵过诸葛亮吗?

(二) 形成概念
掷一枚图钉,针尖向上的概 率为0.6,则针尖向下的概率为 1-0.6=0.4

问题(1)第1次、第2次、第3次… 第n次针尖向上的概率是多少?
第1次、第2次、第3次…第n次针尖向上 的概率都是0.6

(二) 形成概念
“独立重复试验”的概念 -----在同样条 件下进行的,各次之间相互独立的一种试验。
特点: ⑴在同样条件下重复地进行的一种试验; ⑵各次试验之间相互独立,互相之间没有影响; ⑶每一次试验只有两种结果,即某事要么发生, 要么不发生,并且任意一次试验中发生的概率 都是一样的。

(三)构建模型 掷一枚图钉,针尖向上 的概率为0.6,则针尖向下的 概率为1-0.6=0.4

问题(2)连续掷3次,恰有1次针尖

向上的概率是多少?

分解问题(2)
问题a 3次中恰有1次针尖向上,有几种情况?
共有3种情况:
A1 A2 A3 ,A1 A2 A3
1 A1 A2 A3 即 C3 ,

问题b 它们的概率分别是多少?
概率都是

0.61 ? (1 ? 0.6)2

问题c 3次中恰有1次针尖向上的概率是多少?
1 P ? C3 ? 0.61 ? (1 ? 0.6)2

(三)构建模型
变式一:3次中恰有2次针尖向上的概率是多少?

P ? C ? 0.6 ? (1 ? 0.6)
2 3 2

3? 2

变式二:5次中恰有3次针尖向上的概率是多少?

P ? C53 ? 0.63 ? (1 ? 0.6)5?3
引申推广:

连续掷n次,恰有k次针尖向上的概率是

P ? C ? 0.6 ? (1 ? 0.6)
k n k

n?k

学生讨论,分析公式的特点: 在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是
P( X ? k ) ? C P (1 ? P)
k n k n?k

X服从二项分布

X ? B(n, p)

(1)n,p,k分别表示什么意义? (2)这个公式和前面学习的哪部分内容 有类似之处?
k n?k k 恰为 [(1 ? P) ? P]n 展开式中的第 k ? 1 项 Tk ?1 ? C n (1 ? P) P

(三)构建模型
掷一枚图钉,针尖向上的概率为 0.6,则针尖向下的概率为1-0.6=0.4 问题(1)第1次、第2次…第n次针尖向上的概率是多少? 问题(2)连续掷3次,恰有1次针尖向上的概率是多少?

在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率是
P( X ? k ) ? C P (1 ? P)
k n k n?k

练习1:判断下列试验是不是独立重复试验,为什么?

A、依次投掷四枚质地不均匀的硬币

不是

B、某人射击,每次击中目标的概率是相同的,

他连续射击了十次。
C、袋中有5个白球、3个红球, 先后从中抽出5个球。 D、袋中有5个白球、3个红球, 有放回的依次从中抽出5个球。


不是 是

练习2:某射手射击一次命中目标的概率是 0.8,求这名射手在10次射击中 (1)恰有8次击中目标的概率; 解:设X为击中目标的次数,则 X ? B(10, 0.8)
8 P( X ? 8) ? C10 ? 0.88 ? (1 ? 0.8)10?8 ? 0.30

(2)至少有8次击中目标的概率; 解: P( X ? 8) ? P( X ? 8) ? P( X ? 9) ? P( X ? 10) ? 0.68 (3)仅在第8次击中目标的概率。
P ? (1 ? 0.8)7 ? 0.8 ? (1 ? 0.8)2 ? 0.0000004 解:

(四) 实践应用

例题1

例题2

学生举例说明 生活中还有哪些独立重复试验

(五) 梳理反思
应用二项分布解决实际问题的步骤: (1)判断问题是否为独立重复试验;

(2)在不同的实际问题中找出概率模型
中的n、k、p; (3)运用公式求概率。

(六)分层作业
巩固型作业: P58 练习2 P60 习题A组 题1、3 思维拓展型作业:
甲、乙两选手比赛,假设每局比赛甲胜的概 率为0.6,乙胜的概率是0.4,那么对甲而言,采 用3局2胜制还是5局3胜制更有利?你对局制的设

置有何认识?

例1:设诸葛亮解出题目的概率是0.9,三个臭皮匠各自 独立解出的概率都是0.6,皮匠中至少一人解出题目即 胜出比赛,诸葛亮和臭皮匠团队哪个胜出的可能性大?
解:设皮匠中解出题目的人数为X,则X的分布列:
解出的 人数x
概率P 0
0 C3 ? 0.60 ? 0.43

1
1 C3 ? 0.61 ? 0.42

2
C32 ? 0.62 ? 0.41

3
3 C3 ? 0.63 ? 0.40

至少一人解出的概率为:

解1:(直接法) P( x ? 1) ? P( x ? 1) ? P( x ? 2) ? P( x ? 3) ? 0.936
解2:(间接法) P( x ? 1) ? 1 ? P( x ? 0)
? 1 ? 0.43 ? 0.936

因为

0.936 ? 0.9,所以臭皮匠胜出的可能性较大

(四) 实践应用
例2: (生日问题) 假定人在一年365天中的任一天出生的概率相同。
问题(1):某班有50个同学,至少有两个同学今天过生日 的概率是多少?
略解:设50人中今天过生日的人数为 X ,则 P( X ? 2) ? 0.0085 问题(2):某班有50个同学,至少有两个同学生日相同 的概率是多少? 解:设A=“50人中至少2人生日相同”, 则 A ?“50人生日全不相同”
50 C365 P( A) ? 1 ? P A ? 1 ? ? 0.97 50 365

? ?


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