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傅里叶变换与小波变换


傅里叶变换与小波变换

如果有人问我,如果傅里叶变换没有学好(深入理解概念),是否 能学好小波。答案是否定的。如果有人还问我,如果第一代小波变换没 学好,能否学好第二代小波变换。答案依然是否定的。但若你问我,没 学好傅里叶变换,能否操作(编程)小波变换,或是没学好第一代小波, 能否操作二代小波变换,答案是肯定的。 一、一、基的概念 我们要明确的是基的概念。两者都是基,信号都可以分成无穷多个 他们的和(叠加)。而展开系数就是基与信号之间的内积,更通俗的说 是投影。展开系数大的,说明信号和基,是足够相似的。这也就是相似 性检测的思想。但我们必须明确的是,傅里叶是 0-2pi 标准正交基,而 小波是-inf 到 inf 之间的基。因此,小波在实轴上是紧的。而傅里叶的 基(正弦或余弦),与此相反。而小波能不能成为 Reisz 基,或标准稳 定的正交基, 还有其它的限制条件。 此外, 两者相似的还有就是 PARSEVAL 定理。(时频能量守恒)。

二、二、离散化的处理 傅里叶变换,是一种数学的精妙描述。但计算机实现,却是一步步 把时域和频域离散化而来的。第一步,时域离散化,我们得到离散时间

傅里叶变换(DTFT),频谱被周期化;第二步,再将频域离散化,我们 得到离散周期傅里叶级数(DFS),时域进一步被周期化。第三步,考 虑到周期离散化的时域和频域,我们只取一个周期研究,也就是众所周 知的离散傅里叶变换(DFT)。这里说一句,DFT 是没有物理意义的,它 只是我们研究的需要。借此,计算机的处理才成为可能。 下面我们谈谈小波。 所有满足容许性条件 (从-INF 到+INF 积分为零) 的函数,都可以成为小波。小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也 就诞生了。但连续取值的尺度因子和平移因子,在时域计算量和频域的 混叠来说,都是极为不便的。用更为专业的俗语,叫再生核。也就是, 对于任何一个尺度 a 和平移因子 b 的小波,和原信号内积,所得到的小 波系数,都可以表示成,在 a,b 附近生成的小波,投影后小波系数的 线性组合。 这就叫冗余性。 这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西, 它顶多也只能作为一种积分变换或基。 但它的显微镜特点和相似性检测 能力,已经显现出来了。为了进一步更好的将连续小波变换离散化,以 下步骤是一种有效方法。 第一步, 尺度离散化。 一般只将 a 二进离散化, 此时 b 是任意的。这样小波被称为二进小波。第二步,离散 b。怎么离 散化呢?b 取多少才合适呢?于是,叫小波采样定理的东西,就这样诞 生了。也就是小波平移的最小距离(采样间隔),应该大于二倍小波基 的最高频率(好像类似,记不清了)。所以 b 取尺度的整数倍就行了。 也就是越胖的小波,对应频谱越窄,平移量应该越大,采样间隔越大。 当然,第一二两步的频域理解,即在满足频域窗口中心是 3 倍的频域窗 口半径的前提下,频域就在统计上是完美二分的。(但很多小波满足不

了这个条件,而且频域窗口能量不集中,所以只是近似二分的)。这时 的小波变换,称为离散二进小波变换。第三步,引入稳定性条件。也就 是经过变换后信号能量和原信号能量有什么不等式关系。 满足稳定性条 件后,也就是一个小波框架产生成了可能。他是数值稳定性的保证。一 个稍弱的稳定条件,就是 0<A<=B<+INF,并且小波函数线性无关,此时 小波基称为 Reisz 基。并且,如果变换后能量守恒,(A=B=1),并且线 性无关,这就是标准离散正交小波基。这种分解也就是大家熟知的直和 分解。若 A 和 B 不相等,且相差很大,我们就说小波不是紧框架的,所 以双正交,对偶小波也就自然而然引进来了。若 A 和 B 不相等,但又相 差不大,这时稳定重构也是可能的,这时成为几乎紧框架的。(好像说 这样小波有橹棒性特点,也就是粗略分解,但却精确重构。)经过 3 步, 我们最终地得到了一个二进离散化稳定的小波变换, 这正是我们要的结 果。 三、三、快速算法 如果说现代数字信号处理革命的算法,甚至是很多快速算法的老始 祖,或者是满矩阵向量乘法一个几乎不可抗拒的最小计算量 NlogN,那 就是令我不得不佩服的快速傅里叶变换(FFT)。这里我不想解释过多 的基 2 算法,和所谓的三重循环,还有那经典的蝶形单元,或是分裂基 之类,我想说的就是一种时频对应关系。也就是算法的来源。我们首先 明确,时域的卷积对应频域的相乘,因此我们为了实现卷积,可以先做 傅里叶变换,接着在频域相乘,最后再做反傅里叶变换。这里要注意,

实际我们在玩 DSP。因此,大家要记住,圆周卷积和离散傅里叶变换, 是一家子。快速傅里叶是离散傅里叶的快速算法。因此,我们实现离散 线性卷积,先要补零。然后使得它和圆周卷积相等。然后就是快速傅里 叶变换,频域相乘,最后反快速傅里叶变换。当然,如果我们就需要的 是圆周卷积,那我们也就不需要多此一举的补零。这里,我们可以把圆 周卷积,写成矩阵形式。这点很重要。Y=AX。这里的 A 是循环矩阵。但 不幸的是 A 仍然是满阵。 小波的快速算法。MALLET 算法,是一个令人振奋的东西。它实质给 了多分辨率分析(多尺度分析)一个变得一发而不可收的理由。它实质 上,讲了这样一个意思。也就是。我在一个较高的尺度(细节)上作离 散二进稳定的小波变换,得到了一个结果(小波系数),我若是想得到 比它尺度低的小波系数(概貌),我不用再计算内积,只是把较高尺度 的小波系数和低通或高通滤波器卷积再抽取即可。但是,所有这些证明 的推导是在整个实轴上进行的。即把信号看成无限长的。但这仍不是我 们想要的。还有,我们还必须在较高尺度上作一次内积,才可以使用此 算法。因此,我们开始简化,并扩展此理论。第一,我们把信号的采样, 作为一个较高层的小波系数近似初始值。(这是可以的,因为小波很瘦 时,和取样函数无异)。第二,我们把原来的卷积,换为圆周卷积。这 和 DSP 何尝不一样呢?他的物理意义,就是把信号作周期延拖(边界处 理的一种) 使之在整个实轴上扩展。 , 这种算法令我为之一贯坚持的是, 它是完全正交的,也就是说是正交变换。正变换 Y=AX;反变换 X=A’Y; 一般对于标准正交基, A’是 A 的共轭转置, 对于双正交 A’是 A 的对偶

矩阵。但不管如何,我们可以大胆的写,AA’=A’A=I。这里 I 是单位 矩阵。 那怎样操作才是最快的呢?我们来分析 A 的特点, 首先 A 是正交阵, 其次 A 是有循环矩阵特点, 但此时 A 上半部分是由低通滤波器构成的循 环子矩阵,下半部分是由高通滤波器构成的子矩阵,但却是以因子 2 为 循环的。为什么,因为你做了 2 抽取。所以我们可以,实现小波变换用 快速傅里叶变换。这时如果 A 是满阵的,则复杂度由 O(N.^2)下降到 O(NlogN)。 (这个程序我已经传在了研学上,在原创区)。但还有一点, 我们忘了 A 是稀疏的,因为信号是很长的,而滤波器确实很短的,也就 是这个矩阵是个近似对角阵。所以,快速傅里叶是不快的,除非你傻到 含有零的元素,也作了乘法。因此,小波变换是 O(N)复杂度的。这是它 的优势。但要实现,却不是那么容易,第一个方法,稀疏矩阵存储和稀 疏矩阵乘法。第二个方法,因子化。因子化,是一个杰出的贡献。它在 原有的 O(N)的复杂度基础上,对于长滤波器,又把复杂度降低一半。但 量级仍然是 O(N)。 四、四、时频分析 对于平稳信号,傅里叶再好不过了。它反映的是信号总体的整个时 间段的特点。在频率上,是点频的。而对于非平稳信号,它就无能为力 了。 而小波恰好对此派上用场。 小波是反映信号, 某个时间段的特点的。 在频域上,是某个频率段的表现。但小波,作为频谱分析确实存在很多 问题。但我们确实可以做出很多的小波满足这个特点。大家可以看冉启

文的《小波变换与分数傅里叶变换》书,这里我不再赘述。还有,我们 老是说小波是近似频域二分的, 这在 DSP 上是怎样的, 最近我也在思考。

五、压缩、消噪、特征提取

傅里叶变换的压缩,已经广泛应用了。它的简化版本就是 DCT 变换。而小波包的提出,也就使 DCT 有些相形见拙。首先,它提出代价 函数,一般就是熵准则。其次,一个自适应树分解。再次,基于矩阵范 数或较少位编码的稀疏化策略。这些使小波包的压缩近乎完美。小波包 是从频域上实现的。从时域上,我们也可采用类似的分裂和并算法,来 实现信号最优的表达,这种可变窗小波成为 MALVAR 小波。记住,压缩 是小波最大的优势。

消噪,一般的傅里叶算法,一般可以是 IIR 滤波和 FIR 滤波。 两者各有优缺点。 而小波的消噪, 一般也是由多层分解和阈值策略组成。 我们需要的是信号的特点,噪声的特点,然后确定用不用小波,或用什 么小波。这点上,小波的优势并不是很明显。

特征提取。这是小波的显微镜特点很好地运用。利用模极大值 和 LIPSCHITZ 指数,我们可以对信号的突变点做分析。但这里面的问题 也是很多。首先,在不同尺度上,噪声和信号的模极大值变化不同。再 次,一般我们用求内积方法,求模极大值,而不用 MALLET 算法,或者 改用叫多孔算法的东西来做。 这点, 我没任何体会, 希望大家多讨论吧。

这里,我不能谈应用很多的细节。但我们必须明确:1。你要对小波概念有着明 确的理解。对诸如多分辨率,时频窗口与分析,框架,消失矩,模极大值,LIPSCHITZ 指数 等有着清醒地认识。2。你必须考虑小波在此问题上的可行性,这点尤为重要,小波不是万 能的。


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