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2018-2019学年高中数学北师大版必修四课件:第二章 §6 平面向量数量积的坐标表示


1.向量数量积的坐标表示 设 a=(x 1,y1),b=(x 2,y2),则 a·b= x1x2+y1y2 . 即两个向量的数量积等于 相应坐标乘积的和 . 2.度量公式 (1)长度公式:设 a=(x ,y),则|a|= x2+y2 . (2)夹角公式:设 a=(x 1,y1),b=(x 2,y2),a 与 b 的夹角 x1x2+y1y2 2 2 2 为θ ,则 cos θ= x2 1+y1 x2+y2 . 3.两向量垂直的坐标表示 设 a=(x 1, y1), b=(x 2, y2), 则 a⊥b?a·b=0? x1x2+y1y2=0 . 4.直线的方向向量 给定斜率为 k 的直线 l,则向量 m =(1,k )与直线 l 共线, 把与直线 l 共线的 非零向量m 称为直线 l 的方向向量. 1.由向量长度的坐标表示,你能否得出平面内两点间 的距离公式? 提示:设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 AB =(x2-x1,y2-y1),由向量长度的坐标表示可得 |AB|=| AB |= x2-x1 2+ y2-y1 2. 2.坐标形式下两向量垂直与平行的条件有何区别? 提示:设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则: a⊥b?x1x2+y1y2=0,即“相应坐标相乘和为 0”; a∥b?x1y2-x2y1=0,即“坐标交叉相乘差为 0”. 3.直线l的方向向量唯一吗? 提示:直线l的方向向量即是与l平行的向量,意指表示该向 量的有向线段所在的直线与l平行或重合,所以直线l的方向向量 不唯一(有无数个),但它们都是共线向量. 1.已知向量a=(4,-2),b=(6,-3),求: (1)(2a-3b)· (a+2b);(2)(a+b)2. [尝试解答] 法一:(1)∵2a-3b=(8,-4)-(18,-9) =(-10,5), a+2b=(4,-2)+(12,-6)=(16,-8), ∴(2a-3b)· (a+2b)=-160-40=-200. (2)∵a+b=(10,-5), ∴(a+b)2=(10,-5)×(10,-5)=100+25=125. 法二:由已知可得:a2=20,b2=45,a·b=30 (1)(2a-3b)·(a+2b)=2a2+a·b-6b2 =2×20+30-6×45=-200. (2)(a+b)2=a2+2a·b+b2=20+60+45=125. 进行向量的数量积的坐标运算关键是把握向量数量积的坐 标表示,运算时常有两条途径: (1)根据向量数量积的坐标表示直接运算; (2)先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计 算. 1.已知a=(2,1),b=(-1,3),向量c满足a· c=4,b· c=-9. (1)求向量c的坐标; a·c=4, 解: (1)设 c=(x, y), 由 b·c=-9, (2)求(a+b)· c的值. 2x+y=4, 得, -x+3y=-9. 解得 x=3,y=-2.∴c=(3,-2). (2)法一:∵a+b=(2,1)+(-1,3)=(1,4), ∴(a+b)·c=(1,4)·(3,-2)=1×3+4×(-2)=-5. 法二:(a+b)·c=a·c+b·c=(2,1)·(3,-2)+(-1,3)·(3,-2) =2×3+1×(-2)+(-1)×3+3×(-2) =-5. 2.已知 a=(1,2),b=(-2,-4),|c|= 5. 5 (1)求|a+2b|;(2)若(a+b)· c= ,求向量 a 与 c 的夹角. 2 [尝试解答]

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