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上海市各区县2016届高三上学期期末考试数学理试题


上海市各区县 2016 届高三上学期期末考试数学理试题汇编 函数
一、填空题 1、(宝山区 2016 届高三上学期期末)方程 4 ? 2 ? 6 ? 0 的解集为
x x

.

2、 g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数, (崇明县2016届高三上学期期末) 已知 f (x)、 且 f (x) ?g(x) x =2 +x,则f (1) +g(1) =? 3、(奉贤区 2016 届高三上学期期末)方程 9 ? 3 ? 6 ? 0 的实数解为_________
x x

4、(虹口区 2016 届高三上学期期末)函数 f ( x) ? 2 x ?1 的反函数 f ?1 ( x) ? _________ . 5、(黄浦区 2016 届高三上学期期末)若函数 f ( x) ? x2 ? 1 ? a ? x2 为偶函数且非奇函数,则实 数 a 的取值范围为 . 6、(金山区 2016 届高三上学期期末)方程 4x– 6?2x +8=0 的解是 7 、 ( 静 安 区 2016 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 方 程 l o g (3 ? x 9? ( x? 1 ) x 为 .
x x

的解 8) ? lo 3 x( ?g 1 x ) ?( ? 1)

8、(闵行区 2016 届高三上学期期末)方程 4 ? 2 ? 6 ? 0 的解为 9 、 ( 普 陀 区 2016 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 若 函 数 f ( x) ? 1 ?

.

x , g ( x) ? 1 ? x ? x , 则

f ( x)? g ( x) ? ________.

?1 x ?1 , x ? 0 ? ?2 f ( x ) ? 10、(青浦区 2016 届高三上学期期末)函数 若 f (a ) ? a ,则实数 a 的取 ? , ?1 ,x?0 ? ?x
值范围是 .

11、 (松江区 2016 届高三上学期期末) 若幂函数 f ? x ? 的图像过点 ? 2,

? ? ?

2 2

? ?1 则 f ? 2?= ? ?, ?





12、(杨浦区 2016 届高三上学期期末)已知函数 f ? x ? ? log3 ? = _____________.

?4 ? ? 2 ? ,则方程 f ?1 ? x ? ? 4 的解 x ?x ?

?ln(1 ? x), x ? 0 ? 13、(闸北区 2016 届高三上学期期末)函数 f ( x) ? ? 的单调性为 1 ln , x ? 0 ? ? 1? x
为 ;

;奇偶性

1

14、(长宁区 2016 届高三上学期期末)方程 9x +3x -2 = 0 的解是___________. 15、 (闵行区 2016 届高三上学期期末) 若函数 f ( x) ? 2 在 [m, ??) 上单调递增,则实数 m 的最小值等于
x

x ?a

且 f ( x) (a ? R) 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) , .
x

16、(青浦区 2016 届高三上学期期末)函数 f ( x) ? lg(2 ? 3 ) 的定义域为

.

17、 (松江区 2016 届高三上学期期末)已知函数 f ( x ) ,对任意的 x ? [1, ??) ,恒有 f (2 x) ? 2 f ( x) 成 立 , 且 当 x ? [1, 2)时 , f ( x) ? 2? x. 则 方 程 f ( x ) ? ▲ .

1 x 在 区 间 [1,100] 上 所 有 根 的 和 为 3

2 18、 (杨浦区 2016 届高三上学期期末) 已知 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数, 当 0 ? x ? 1 时,f ? x ? ? x ,

当 x ? 0 时, f ? x ? 1? ? f ? x ? ? f ?1? ,若直线 y ? kx 与函数 y ? f ? x ? 的图象恰有 11 个不同的公 共点,则实数 k 的取值范围为____________. 19、(长宁区2016届高三上学期期末)设函数 y =f(x)的反函数是 y =f-1(x),且函数 y =f(x)过点P(2,-1),则 f-1(-1)=? ___________.

二、选择题 1、(崇明县2016届高三上学期期末)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程,下图 描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( ) (A)消耗1 升汽油,乙车最多可行驶5千米 (B)以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 (C)甲车以80 千米/小时的速度行驶1 小时,消耗10 升汽油 (D)某城市机动车最高限速80 千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油

2

2、 (虹口区 2016 届高三上学期期末) 设函数 f ( x) ? ? 四个不同的解 x1 , x2 , x3 , x4 , 且 x1 ? x2 ? x3 ? x4 , 则 x3 ( x1 ? x2 ) ? (A) ? ?3, ? ? ?

? x ? 2 , x ? 0, ? 若关于 x 的方程 f ( x) ? a 有 log x , x ? 0, ? 2 ?

1 的取值范围是 x32 x4
(C) ? ?3,

(

)

(B) ? ??, 3?

3?

(D) ? ?3,

3?

3、(金山区 2016 届高三上学期期末)如图,AB 为定圆 O 的直径,点 P 为半圆 AB 上的动点.过点 P 作 AB 的垂线,垂足为 Q,过 Q 作 OP 的垂线,垂足为 M.记 弧 AP 的长为 x,线段 QM 的长为 y,则函数 y=f(x)的大致图像是( ).

4、(静安区 2016 届高三上学期期末)函数 y ? 3x A. y ? ? 1 ? log 3 x ( x ? ) C. y ? 1 ? log 3 x ( ? x ? 1)

2

?1

(?1 ? x ? 0) 的反函数是 (
1 3

)

1 3

B. y ? ? 1 ? log 3 x ( ? x ? 1) D. y ? 1 ? log 3 x ( x ? )

1 3 2 3 4 5 5、 (闵行区 2016 届高三上学期期末)设 f ( x) ? 2 ? 5x ? 10 x ? 10 x ? 5x ? x ,则其反函数的解
析式为( ). (B) y ? 1 ? 5 x ?1 (D) y ? ?1 ? 5 x ?1 (A) y ? 1 ? 5 x ?1 (C) y ? ?1 ? 5 x ?1

1 3

? lg ? x ? 1? , x ? 1 ? 6、(普陀区 2016 届高三上学期期末)若函数 f ? x ? ? ? ,关于 x 的方程 ?? ? ?a sin ? x ? , x ? 1 ?2 ? ?

f 2 ? x ? ? ? a ? 1? f ? x ? ? a ? 0 ,给出下列结论:
①存在这样的实数 a ,使得方程由 3 个不同的实根;②不存在这样的实数 a ,使得方程由 4 个不同 的实根;③存在这样的实数 a ,使得方程由 5 个不同的实数根;④不存在这样的实数 a ,使得方程 由 6 个不同的实数根. 其中正确的个数是( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
3

7、(杨浦区 2016 届高三上学期期末)下列函数中,既是偶函数,又在 ?0, ?? 上递增的函数的个数 是 ( ① y ? tan x A. 1个 ) ② y ? cos?? x ? B. 2 个

?? ? ③ y ? sin? x ? ? 2? ? C. 3 个 D. 4 个

④ y ? cot

x 2

8、(长宁区2016届高三上学期期末)关于函数 的值域是 ② 是奇函数;③ ; 在

,有下列四个命题:①

上单调递增;④方程

总有四个不同

的解.其中正确的是 ( ) A. ①② B. ②③ C. ②④

D. ③④

三、解答题

1、 (奉贤区 2016 届高三上学期期末) 已知函数 y ? f ?x ? 是单调递增函数, 其反函数是 y ? f ?1 ? x ? .

1? ? ?1 ? ,求 y ? f ? x ? 并写出定义域 M ; 2? ? ?1 (2)、对于(1)的 y ? f ? x ? 和 M ,设任意 x1 ? M , x2 ? M , x1 ? x2 ,
(1)、若 y ? x ? 1? x ?
2

求证: f (3)、若 y ?

?1

?x1 ? ? f ?1 ?x 2 ? ? x1 ? x 2 ; f ?x ? 和 y ? f ?1 ? x ? 有交点,那么交点一定在 y ? x 上.

2、(虹口区 2016 届高三上学期期末) 对于函数 f ( x) ?

1 , 定义 f1 ( x) ? f ( x), fn?1 ( x) ? f ? f n ( x)? (n ? N ? ). 已知偶函数 g ( x) 的定义域 1? x

为 (??, 0) ? (0, ??), g (1) ? 0 ;当 x ? 0, 且x ? 1 时,g ( x) ? f 2015 ( x). (1)求 f 2 ( x), f3 ( x), f 4 ( x), 并求出函数 y ? g ( x) 的解析式; (2) 若存在实数 a, b(a ? b) 使得函数 g ( x) 在 ?a , b? 上的值域为 ?mb , ma? ,求实数 m 的取 值范围. 3、(静安区 2016 届高三上学期期末)已知定义在实数集 R 上的偶函数 f ?x ? 和奇函数 g ?x ? 满足

f ? x ? ? g ? x ? ? 2x?1 .
(1)求 f ? x ? 与 g ? x ? 的解析式; (2)若定义在实数集 R 上的以 2 为最小正周期的周期函数 ? ( x) ,当 ?1 ? x ? 1 时, ? ( x) ? f ( x) , 试求 ? ( x) 在闭区间 [2015, 2016] 上的表达式,并证明 ? ( x) 在闭区间 [2015, 2016] 上单调递减;

4

(3)设 h( x) ? x2 ? 2mx ? m2 ? m ? 1(其中 m 为常数),若 h( g ( x)) ? m2 ? m ?1 对于 x ? [1, 2] 恒 成立,求 m 的取值范围. 4、(普陀区 2016 届高三上学期期末)已知集合 M 是满足下列性质的函数 f ? x ? 的全体,存在实数

a、k ? k ? 0 ? , 对于定义域内的任意 x 均有 f ? a ? x ? ? kf ?a ? x ? 成立, 称数对 ? a, k ? 为函数 f ? x ? 的 “伴
随数对” (1)判断 f ? x ? ? x 2 是否属于集合 M ,并说明理由; (2)若函数 f ? x ? ? sin x ? M ,求满足条件的函数 f ? x ? 的所有“伴随数对”;
?? (3)若 ?1,1? , ?2, ?1? 都是函数 f ? x ? 的“伴随数对”,当 1 ? x ? 2 时, f ? x ? ? cos ? ?2 ? x? ; ?

当 x ? 2 时, f ? x ? ? 0 .求当 2014 ? x ? 2016 时,函数 y ? f ? x ? 的解析式和零点.

5、 (杨浦区 2016 届高三上学期期末)已知函数 f ?x ? (x ? D) ,若存在常数 T(T>0),对任意 x ? D 都有 f ?x ? T ? ? T ? f ?x ? ,则称函数 f ?x ? 为 T 倍周期函数 (1)判断 h ?x ? ? x 是否是 T 倍周期函数,并说明理由.

?1? (2)证明 g?x ? ? ? ? 是 T 倍周期函数,且 T 的值是唯一的. ?4?
( 3 )若 f ?n ? (n ? N* ) 是 2 倍周期函数, f ?1? ? 1 , f ?2? ? ?4 , Sn 表示 f ?n ? 的前 n 项和,

x

Cn ?

S2n ,若 C n ? loga (a ? 1) ? 10恒成立,求 a 的取值范围. S2 n ?1

6、(长宁区2016届高三上学期期末)已知函数
x, 对于给定的非零常数m , 总存在非零常数T , 恒有

,如果对于定义域D内的任意实数 成立, 则称函数 成立,则称函数 是

D上的m 级类增周期函数,周期为T .若恒有 级类周期函数,周期为T . (1)已知函数 范围; (2)已知

是D上的m

上的周期为 1 的 2 级类增周期函数,求实数a的取值

上的m 级类周期函数,且
5

上的单调递

增函数,当

时,

,求实数m 的取值范围.

参考答案 一、填空题 1、 ?log2 3? 2、-

1 2

3、 log3 2 8、 x ? log2 3

4、 log2 x ?1( x ? 0) 9、 14、x=0

5、 (1, ??) 10、 (??, ?1) 15、1 19、2

6、x=1 或 x=2 7、 x ? 3 11、

1 4

12、1 17、 190

13、单调递增,奇函数

16、 (??, 0)

1 2

18、( 2 6 ? 4 , 4 3 ? 6 )

二、选择题 1、D 2、D 三、解答题

3、A

4、B

5、C

6、C 7、A 8、B

1、解:(1)、 f (2)、 f
?1

?1

?x? ?

? 3 ? x ? 1, M ? ? ? ,?? ? ? 4 ?
x1 ? 1 ? x 2 ? 1 ? x1 ? x 2 x1 ? 1 ? x 2 ? 1

3+2=5 分 7分 9分 10 分

?x1 ? ? f ?1 ?x2 ? ?

3 1 3 1 ? x1 ? ? ,? x1 ? 1 ? , x 2 ? ? ,? x 2 ? 1 ? 4 2 4 2 1 ?1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? 1,? 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 1

?
? f

x1 ? x 2 x1 ? 1 ? x 2 ? 1
?1

? x1 ? x 2
11 分

?x1 ? ? f ?1 ?x2 ? ? x1 ? x2 ?1 (3)、设 ?a, b ? 是 y ? f ?x ? 和 y ? f ? x ? 有交点 ?b ? f ?a ? 即? ,? a ? f ?b?, b ? f ?a ? ?1 ? ? b ? f a ?
当 a ? b ,显然在 y ? x 上 当 a ? b ,函数 y ? f ?x ? 是单调递增函数,? f (a) ? f ?b?,? b ? a 矛盾 当 a ? b ,函数 y ? f ?x ? 是单调递增函数,? f (a) ? f ?b?,? b ? a 矛盾 因此,若 y ? f ?x ? 和 y ? f
?1

12 分 13 分 15 分 16 分 16 分

? x? 的交点一定在 y ? x 上
1 ? x ? 1? , 故 1? x

2、解:(1)因为 f1 ( x) ? f ( x) ?

6

f 2 ( x) ? f

? f1 ( x)? ?

1 1 1? 1? x
1

? 1?

1 ? x ? 0, x ? 1? , x

f 3 ( x) ? f

? x ( x ? 0, x ? 1), 1 1 ? (1 ? ) x 1 f 4 ( x) ? f ? f 3 ( x) ? ? ( x ? 0, x ? 1), 1? x

? f 2 ( x) ? ?

?? (3分)

故对任意的 n ? N , 有

f3n?i ( x) ? fi ( x) (i ? 2,3, 4),

于是 f 2015 ( x) ? f3?671? 2 ( x) ? f 2 ( x) ? 1 ?

1 1 ( x ? 0, x ? 1); 故当 x ? 0, x ? 1 时,g ( x) ? f 2015 ( x) ? 1 ? . x x 1 又g (1) ? 0, 故当 x ? 0 时,g ( x) ? 1 ? . x 1 1 由 g ( x) 为偶函数, 当 x ? 0 时, ? x ? 0, g ( x) ? g (? x) ? 1 ? ? 1? . ?x x
? 1? ? ? g ( x) ? ? ?1 ? ? ? 1 , x ? 0, x 1 , x ? 0. x ? 1? 1 . x

因此

??(6 分)

(2) 由于 y ? g ( x) 的定义域为 (??, 0) ? (0, ? ?) , 又 a ? b, mb ? ma, 可知 a 与b 同号, 且m ? 0;进而
-1

y

1

O

1

g( x)在?a, b? 递减,且 a ? b ? 0.

x

??(8 分)
(第21题解图)

函数 y ? g ( x) 的图像,如图所示. 由题意,有

1 ? g (a ) ? 1 ? ? ma, ? ? a ? 1 ? g (b) ? 1 ? ? mb, ? b ?
故 a, b 是方程 1 ?

??(10 分)

1 ? m x 的两个不相等的负实数根,即方程 m x2 ? x ?1 ? 0 在 ? ??, 0? 上有 x

两个不相等的实根,于是

? ? ? ? 1 ? 4m ? 0 ? 1 ? ?a ? b ? ? 0 m ? 1 ? ab ? ? ? 0 ? m ? 1 ? ? ? m ? 0. 4

??(12 分)

7

综合上述,得:实数 m 的取值范围为 ? ?? ,

1 ? 4

? 0 ?. ?

??(14 分)

注:若采用数形结合,得出直线 y ? m x 与曲线 y ? 1 ? 解也可.

1 ( x ? 0) 有两个不同交点,并进行求 x

3、解:(1)假设 f ( x) ? g ( x) ? 2x ?1 ①,因为 f ?x ? 是偶函数, g ?x ? 是奇函数 所以有 f (? x) ? g (? x) ? 2? x?1 ,即 f ( x) ? g ( x) ? 2? x?1 ∵ f ( x ) , g ( x) 定义在实数集 R 上, 由①和②解得, ②

2 x ?1 ? 2? x ?1 1 2 x ?1 ? 2? x ?1 1 ? 2 x ? x , g ( x) ? ? 2x ? x . 2 2 2 2 (2) ? ( x) 是 R 上 以 2 为 正 周 期 的 周 期 函 数 , 所 以 当 x ? [2015, 2016] 时 , 1 x ? 2016 ?[?1,0] , ? ( x) ? ? ( x ? 2016) ? f ( x ? 2016) ? 2 x ? 2016 ? x ? 2016 , 即 ? ( x) 在 闭 区 间 2 1 [2015, 2016] 上的表达式为 ? ( x) ? 2 x ? 2016 ? x ? 2016 . 2 下面证明 ? ( x) 在闭区间 [2015, 2016] 上递减: 1 ? ( x) ? 2 x ? 2016 ? x ? 2016 ? 2 , 当 且 仅 当 2 x ?2016 ? 1 , 即 x ? 2016 时 等 号 成 立 . 对 于 任 意 2 , 2015 ? x1 ? x2 ? 2016 1 1 1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 x1 ? 2016 ? x1 ? 2016 ? 2 x2 ? 2016 ? x2 ? 2016 ? (2 x1 ? x2 ? 1)(2 x2 ? 2016 ? x1 ? 2016 ) , 2 2 2 x2 ? 2016 0 x1 ? x2 x1 ? x2 ? 2 ? 1 , 2 x1 ?2016 ? 20 ? 1 , 因 为 2015 ? x1 ? x2 ? 2016 , 所 以 2 ,2 ? 1, 2 ? 1 ? 0 1 ? 1 , 2 x2 ?2016 ? 22016? x1 ? 0 , x1 ? 2016 2 从而 ? ( x1 ) ? ? ( x2 ) ? 0 ,所以当 2015 ? x1 ? x2 ? 2016 时, ? ( x) 递减. 1 x (证明 f ( x) ? 2 ? x 在 [?1, 0] 上递减,再根据周期性或者复合函数单调性得到也可) 2 3 15 (3)∵ t ? g ( x) 在 x ? [1, 2] 单调递增,∴ ? t ? . 2 4 ? 3 15 ? ∴ h(t ) ? t 2 ? 2mt ? m2 ? m ? 1 ? m2 ? m ?1对于 t ? ? , ? 恒成立, ?2 4 ? 2 t ?2 ? 3 15 ? ∴m ? ? 对于 t ? ? , ? 恒成立, 2t ?2 4 ? 2 2 3 t ?2 t ?2 t 1 ? ? ? 2 ,当且仅当 t ? 2 时,等号成立,且 2 ? 所以在 令 k (t ) ? ? ,则 2 2t 2t 2 t 2 t ?2 ? 3 15 ? 区间 t ? ? , ? 上 k (t ) ? ? 单调递减, 2t ?2 4 ? 17 3 17 ∴ k (t ) max ? k ( ) ? ? ,∴ m ? ? 为 m 的取值范围. 12 2 12 f ( x) ?
4、
8

9

5、(1) 设: h?x ? T ? ? T ? h?x ? 则 x ?T ? T?x 对任意 x 恒成立 (2 分)

? T 无解

? h ?x ? ? x 不是 T 倍周期函数

(2 分)

10

(2) 设: g?x ? T ? ? T ? g?x ? 则 ? ?
T

?1? ? 4?

x ?T

?1? ? T?? ? ? 4?

x

对任意 x 恒成立

(2 分)

?1? ? ? ?T ? 4?
T?
下证唯一性:

1 2
1

(2 分)

1 若T ? 2 , 1 若T ? 2 ,

?1? ? 1 ?2 1 T?? ? ?? ? ? 2 ?4? ?4? ?1? ? 1 ?2 1 T?? ? ?? ? ? 2 ?4? ?4?
T 1

T

矛盾

矛盾

? T?

1 是唯一的 2

(2 分)

(3) f ?3? ? f ?1 ? 2? ? 2f ?1? ? 2

f ?5? ? f ?3 ? 2? ? 2f ?3? ? 2 2 f ?7? ? f ?5 ? 2? ? 2f ?5? ? 23
??

f ?2n ? 1? ? f ?2n - 3 ? 2? ? 2f ?2n - 3? ? 2 n-1 f ?1? ? f ?3? ? f ?5? ? ? ? f ?2n - 1? ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n ? 1
同理: f ?2? ? f ?4? ? f ?6? ? ? ? f ?2n? ? ?4 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2

(2 分)
n

?

n ?1

? ? ?4?2

?1

?

? S2n ? f ?1? ? f ?2? ? ? ? f ?2n ? ? ?3 2 n ? 1

?

?
n

同理: S2n ?1 ? f ?1? ? f ?2? ? ? ? f ?2n ? 1? ? ?2 ? 3

Cn ?

S2n 3 2n ? 1 ? n S2 n ?1 2 ?3

?

?

(2 分)

C1 ? ?3

C2 ? 9

11

显然: n ? 2

Cn ? 0



C n ?1 Cn

3 2 n ?1 ? 1 n ?1 2 2n ? 2 n ?3 ? 3 2 ?1 2 2n n 2 ?3

?

?

?

?

? ? ? ?

2 2

? 7 ? 2n ? 3
n

? ? ? 5 ? ?2 ? ? 3

? 2 2n
? ?

? ?

2

? 7 ? 2n ? 3 ? 2 2n ? 5 ? 2n ? 3

? ?

? ?

2

? ?

C n ?1 ? 1 即单调递减 Cn

?Cn ?m a x? C2 ? 9

(2 分)

? C n ? loga (a ? 1) ? 10恒成立,
? loga (a ? 1) ? 10 ? ?C n ?max ? 9 ? loga (a ? 1) ? ?1


a ?1 时

a ?1 ?

1 a 1 a


解得 : a ? 1 解得 : 0 ? a ?



0 ? a ?1 时

a ?1 ?

?1? 5 2
(2 分)

?

0?a?

?1? 5 2

a ?1

6、1)由题意可知:f(x+1)>2f(x),即-(x+1)2+a(x+1)>2(-x2+ax)对一切[3,+∞)恒成 立, 整理得:(x-1)a<x2-2x-1, ∵x≥3,

令 x-1=t,则 t∈[2,+∞),g(t)=t-

2 t

在[2,+∞)上单调递增, ∴g(t)min=g(2)=1, ∴a<1. (2)∵x∈[0,1)时,f(x)=2x, ∴当 x∈[1,2)时,f(x)=mf(x-1)=m?2x-1,? 当 x∈[n,n+1)时,f(x)=mf(x-1)=m2f(x-2)=?=mnf(x-n)=mn?2x-n, 即 x∈[n,n+1)时,f(x)=mn?2x-n,n∈N*, ∵f(x)在[0,+∞)上单调递增,
12

∴m>0 且 mn?2n-n≥mn-1?2n-(n-1), 即 m≥2.

13


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