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浙江省杭州二中2011-2012学年高一上学期期中考试数学试卷


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浙江省杭州二中 2011-2012 学年高一上学期期中考试
数学试卷
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题和填空题)和第Ⅱ卷(答题卷)两部分, 满分 100 分,考试时间 90 分钟. 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.把答案填在答卷 相应空格中) .. 1. 满足 A A.2 个 2.

?1, ?1? ? {1,0, ?1}的集合 A 共有(
B. 4 个 C. 8 个

) D. 16 个 ( D. )

三个数 a ? 0.52 , b ? log 2 0.5, c ? 20.5 之间的大小关系是 A. a ? c ? b B.

b?c?a

C.

b?a?c

a?b?c
( )

3.

下列函数中是偶函数的是 A. y ? ?

3 x

B. y ? x 2 ? 2, x ? (?3,3]

C. y ? log2 x

D. y ? x ?2

4.

已知 f ( x) ? ?

?x ? 4 ?x ? 4

x?0 ,则 f [ f (?3) ]的值为 x?0
B.2 C.-3
x





A.-2 5.

D.3

已知函数 f ?x? ? 3 x ? 3x ? 8 , 用二分法求方程 3 ? 3x ? 8 ? 0在x ? ?1,3? 内近似解的过 程中,取区间中点 x0 ? 2 ,那么下一个有根区间为 ( A. (1,2) B. (2,3)
2

) D.不能确定

C. (1,2)或(2,3)都可以 ) C. (??,1]

6. 函数 y ? A. [1, ??) 7.

log 1 (3 x ? 2) 的定义域是(
B. ( , ??)

2 3

D. ( ,1] ).

2 3

已知 f ( x ) 为 R 上奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 2x ,则当 x ? 0 时, f ( x) ? ( A. x ? 2 x
2

B.

? x2 ? 2 x

C.

x2 ? 2 x

D. ? x ? 2 x
2

8.

甲、乙二人从 A 地沿同一方向去 B 地,途中都使用两种不同的速度 v1 与 v 2 ( v1 < v 2 ). 甲前一半的路程使用速度 v1 ,后一半的路程使用速度 v 2 ;乙前一半的时间使用速度 v1 , 后一半时间使用速度 v 2 .关于甲、 乙二人从 A 地到达 B 地的路程与时间的函数图象及关 系,有如图所示的四个不同的图示分析(其中横轴 t 表示时间,纵轴 s 表示路程,C 是
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AB 的中点) ,则其中可能正确的图示分析为 ( )

A .(1) 9.

B. (2)

C.(3)

D . (4)

已 知 函 数 f ( x) ? ?

x? a 4 x ,? 1 ?( 3a ? 1) 满 足 : 对 任 意 实 数 x1 , x 2 , 当 x1 ? x2 时 , 总 有 log x , x ? 1 ? a
) D. [ ,1)

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,那么实数 a 的取值范围是 (
A. [ , )

1 1 7 3

B. (0, )

1 3

C. ( , )

1 1 7 3

1 7

10. 定义:区间 ? x1 , x2 ? ? x1 ? x2 ? 的长度为 x2 ? x1 .已知函数 y ? 2| x| 的定义域为 ? a, b? ,值 域为 ?1, 2? , 记区间 ? a, b? 的最大长度为 m, 最小长度为 n. 则函数 g ( x) ? m x ? ( x ? 2n) 的零点个数是 A.1 B.2 ( C.0 ) D.3

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分 .把答案填在答卷中相应横线上) 11. 函数 y ? 2 ? ? x2 ? 4 x 的值域是 ▲ .

12. 已知集合 M ? y y ? ? x ? 2 x ? 2, x ? R , N ? x y ?
2

?

?

?

2 x ? 4 ,那么集合 M

?

N





.

13. 设函数 f ( x ) ? ?
2

?2 x, ? g ( x ),

x ? 0, x ? 0.

,若 f ( x ) 是奇函数,则 g (2) 的值是



.

14. 方程 x ? 2ax ? 4 ? 0 的两根均大于 1,则实数 a 的范围是



.

15. 已知偶函数 f ( x) 在区间 [0,??) 上单调递增, 则满足 f ( 2 x ? 1) ? f ( ) 的 x 的取值范围 是 ▲ .

1 3

16. 定义运算 a ? b ? ? ▲ 17. 下列说法:
2

?a(a ? b) 2 ,例如, 1 ? 2 ? 1 ,则函数 f ( x) ? x ? (1 ? x ) 的最大值为 ?b(a ? b)

.

①函数 y ? log 1 x ? 2 x ? 3 的单调增区间是 ? ??,1? ;
2

?

?

②若函数 y ? f ( x) 定义域为 R 且满足 f ?1 ? x ? ? f ? x ? 1? ,则它的图象关于 y 轴对称;

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③ 函数 f ( x) ?

x ( x ? R) 的值域为 (?1, 1) ; 1? | x |

④函 数 y ?| 3? x2 |的 图 象和 直线 y ? a (a ? R) 的 公 共 点个 数是 m , 则 m 的 值可 能 是 0,2,3,4; ⑤ 若函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 5(a ? 1) 在 x ??1,3? 上有零点,则实数 a 的取值范围是 [ 5,3] . 其中正确的序号是 ▲ .

杭州二中 2011 学年第一学期高一年级期中考试数学答题卷
一、 选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 题号 答案 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11. 15.

.

12. . 16.

. 13. . 17.

. 14. .

.

三、解答题(本大题共 4 小题,共 39 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18. ( 本小题满分 8 分) (Ⅰ) 计算: 2
1 log 2 4 ? 2 3

? 8 ? ?? ? ? 27 ?

? lg

1 ? ( 2 ? 1)lg1 100

(Ⅱ)已知 x ? x

1 2

?

1 2

x 2 ? x ?2 ? 2 ? 3 ,求 的值. hhhttttttppp::://////wwwxxx...jjjtttyyyjjjyyy...cccooommm/// x ? x ?1 ? 3

19. (本小题满分 8 分)若集合 A ? {x | loga ( x ? x ? 2) ? 2, a ? 0且a ? 1} ,
2

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(Ⅰ)若 a ? 2 ,求集合 A ; (Ⅱ )若 3 ? A ,求实数 a 的取值范围.

20. (本小题满分 11 分)已知函数 f ( x ) ? x ?
n

4 ,且 f (4) ? 3 . x

(Ⅰ )判断 f ( x ) 的奇偶性并说明理由; (Ⅱ )判断 f ( x ) 在区间 ? 0, ??? 上的单调性,并证明你的结论; (Ⅲ )若在区间 [1,3] 上,不等式 f ( x) ? 2 x ? 2m ? 1 恒成立,试确定实数 m 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分)已知幂函数 f ( x) ? x

(2?k )(1? k )

, k ? Z ,且 f ( x) 在 ? 0, ??? 上单调

递增. (Ⅰ )求实数 k 的值,并写出相应的函数 f ( x ) 的解析式; (II)若 F ( x) ? 2 f ( x) ? 4 x ? 3 在区间 [2a, a ? 1] 上不单调 ,求实数 a 的取值范围; ... (III)试判断是否存在正数 q ,使函数 g ( x) ? 1 ? qf ( x) ? (2q ? 1) x 在区间 [?1, 2] 上的值 域为 [?4,

17 ] . 若存在,求出 q 的值;若不存在,请说明理由. 8

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杭州二中 2011 学年第一学期高一年级期中考试数学答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 C 5 A 6 D 7 B 8 A 9 A 10 B

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分) 11. [0, 2] . 15. {x | 12. ?? 2,3? . 13. ?

1 . 4

14. [2, ) .

5 2

1 2 ? x ? }. 3 3

16.

3? 5 . 2

17. ③④⑤ .

三、解答题(本大题共 4 小题,共 39 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18. ( 本小题满分 8 分) (Ⅰ) 2
1 log 2 4

? 8 ? ?? ? ? 27 ?
1 1 2

?

2 3

? lg

1 1 9 ? ( 2 ? 1) lg1 ? ? ? 2 ? 1 ? ?3 100 4 4
x 2 ? x ?2 ? 2 的值. hhhttttttppp::://////wwwxxx...jjjtttyyyjjjyyy...cccooommm/// x ? x ?1 ? 3
? 1

(Ⅱ)已知 x 2 ? x
1 ? 1 2

?

? 3 ,求
1

解:∵x 2 ? x

? 3 ,∴( x 2 ? x 2 )2 ? 9 ,∴x ? 2 ? x ?1 ? 9 ,∴x ? x ?1 ? 7 ,
2 ?2

?1 2 ∴( x ? x ) ? 49 ,∴x ? x

? 47 ,



x 2 ? x ?2 ? 2 47 ? 2 45 ? ? x ? x ?1 ? 3 7?3 4

19.(本小题满分 8 分)若集合 A ? {x | loga ( x2 ? x ? 2) ? 2, a ? 0且a ? 1} , (Ⅰ)若 a ? 2 ,求集合 A ; (Ⅱ )若 3 ? A ,求实数 a 的取值范围.
2 解:(Ⅰ )若 a ? 2 , log2 ( x2 ? x ? 2) ? 2 ,则 0 ? x ? x ? 2 ? 4

得 ?2 ? x ? ?1 或 2 ? x ? 3 所以 A ? {x | ?2 ? x ? ?1或2 ? x ? 3}

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(Ⅱ )因为 3 ? A ,所以 loga (32 ? 3 ? 2) ? 2 , loga 4 ? 2 ,
2 当 a ? 1 时, a ? 4 ,? a ? 2 ;

当 0 ? a ? 1 时, a ? 4 ,? 0 ? a ? 1
2

所以实数 a 的取值范围是 (0,1)

(2, ??) .
n

20.(本小题满分 11 分)已知函数 f ( x ) ? x ? (Ⅰ )判断 f ( x ) 的奇偶性并说明理由;

4 ,且 f (4) ? 3 . x

(Ⅱ )判断 f ( x ) 在区间 ? 0, ??? 上的单调性,并证明你的结论; (Ⅲ )若在区间 [1,3] 上,不等式 f ( x) ? 2 x ? 2m ? 1 恒成立,试确定实数 m 的取值范围. 解: (Ⅰ )由 f (4) ? 3 得: n ? 1 ∴ f ? x? ? x ?

4 ,其定义域为 ? ??,0? x

? 0, ???

又 f ? ?x? ? ?x ?

4 4? ? ? ? ? x ? ? ? ? f ? x? ?x x? ?

∴ 函数 f ? x ? 在 ? ??,0?

? 0, ??? 上为奇函数。

(II)函数 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上是增函数,证明如下: hhhttttttppp::://////wwwxxx...jjjtttyyyjjjyyy...cccooommm/// 任取 x1 , x2 ,且 0 ? x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 那么 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? x1 ?

? ?

4? ? 4 ? ? x1 ? x2 ?? x1 x2 ? 4 ? ?0 ? ? ? x2 ? ? ? x1 x2 x1 ? ? x2 ?

即 f ? x1 ? ? f ? x2 ?

∴ 函数 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上是增函数。

(III)由 f ( x) ? 2 x ? 2m ? 1 ,得 x ?

4 ? 2 x ? 2m ? 1 x

4 4 4 ? ?( x ? ) , 在 区 间 [1,3] 上 , ?( x ? ) 的 最 小 值 是 ?5 , x x x ? 2m ? 1 ? ?5 ,得 m ? ?3 ,所以实数 m 的取值范围是 (??, ?3) .
2m ? 1 ? ? x ?
21.(本小题满分 12 分)已知幂函数 f ( x) ? x
(2?k )(1? k )

, k ? Z ,且 f ( x) 在 ? 0, ??? 上单调递

增. (Ⅰ )求实数 k 的值,并写出相应的函数 f ( x ) 的解析式; (II)若 F ( x) ? 2 f ( x) ? 4 x ? 3 在区间 [2a, a ? 1] 上不单调 ,求实数 a 的取值范围; ...
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(III)试判断是否存在正数 q ,使函数 g ( x) ? 1 ? qf ( x) ? (2q ? 1) x 在区间 [?1, 2] 上的值 域为 [?4,

17 ] . 若存在,求出 q 的值;若不存在,请说明理由. 8
解得 ?1 ? k ? 2 ∴k ? 0 或 k ? 1 ,分别代入原函数得 f ( x) ? x2 .

解: (Ⅰ )由题意知 (2 ? k )(1 ? k ) ? 0 又k ?Z

(II)由已知得 F ( x) ? 2 x2 ? 4 x ? 3 . 要使函数不单调,则 2a ? 1 ? a ? 1 ,则 0 ? a ? (III)由已知, g ( x) ? ?qx2 ? (2q ?1) x ? 1 法一:假设存在这样的正数 q 符合题意,则函数 g ( x) 的图象是开口向下的抛物线,其对称

1 . 2

2q ? 1 1 ? 1? ?1 2q 2q 因而,函数 g ( x) 在 [?1, 2] 上的最小值只能在 x ? ?1 或 x ? 2 处取得 又 g (2) ? ?1 ? ?4 ,从而必有 g (?1) ? 2 ? 3q ? ?4 解得 q ? 2 3 此时, g ( x) ? ?2 x2 ? 3x ? 1 ,其对称轴 x ? ? ? ?1, 2 ? 4 3 3 2 3 17 ∴g ( x) 在 [?1, 2] 上的最大值为 g ( ) ? ?2 ? ( ) ? 3 ? ? 1 ? 符合题意. 4 4 4 8
轴为 x ? 法二: 由(1)知 g ( x) ? ?qx ? (2q ?1) x ? 1 , 假设存在这样的正数 q , 符合题意, 则函数 g ( x)
2

的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为 x ?

2q ? 1 1 ? 1? ?1 , 2q 2q

(1)当

1 2q ? 1 ? ?1 ,且 q ? 0 ,即 0 ? q ? 时, g ( x) 在 [?1, 2] 上单调递减, 4 2q

17 1 ,则 q ? ? 与 q ? 0 矛盾,故不可能; 8 24 1 2q ? 1 (2q ? 1)2 4q 2 ? 1 17 ? 1,且 q ? 0 ,即 q ? 时,有 g ( x)max ? (2)当 ?1 ? ?1 ? ? 4 2q 4q 4q 8 1 得 q ? 2 或 q ? (舍去). hhhttttttppp::://////wwwxxx...jjjtttyyyjjjyyy...cccooommm/// 8 所以 q ? 2 ,此时 g (?1) ? ?4, g (2) ? ?1 ,? g ( x)min ? ?4 ,符合题意 综上所述,存在正数 q ? 2 ,使函数 g ( x) ? 1 ? qf ( x) ? (2q ? 1) x 在区间 [?1, 2] 上的值域为 17 [?4, ] . 8 ? g ( x) max ? g (?1) ? 2 ? 3q ?

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