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【精品】第10讲 平面几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编


2009-2017 全国高中数学联赛分类汇编第 10 讲:平面几何 1、 (2009 二试 1)如图,M , N 分别为锐角三角形 ? A B C ( ? A ? ?B ⌒ 、AC ⌒ 的中点.过 )的外接圆 ? 上弧BC 点 C 作 P C ∥ M N 交圆 ? 于 P 点, I 为 ? A B C 的内心,连接 P I 并延长交圆 ? 于 T . ⑴求证: M P ? M T ? NP ? NT ; ≠ A ⌒ (不含点 )上任取一点 Q ( Q ⑵在弧AB C 求证: Q , I 1 , I 2 , T 四点共圆. P N I T A Q A ,T , B ) ,记 ? A Q C , △ Q C B 的内心分别为 I 1 , I 2 , C M N P C M I T P N C M I I2 B B I1 A B T Q 【解析】⑴连 N I , M I .由 于 P C ∥ M N , P , C , M , N 共圆, 故 P C M N 是等腰梯形.因此 N P ? MC , PM ? NC . 连 A M , C I ,则 A M 与 C I 交于 I ,因为 ? M IC ? ? M A C ? ? A C I ? ? M C B ? ? B C I ? ? M C I ,所以 M C ? MI . 同理 N C 于是 N P ? NI ? MI . , PM ? NI . ? S △ PNT 故四边形 M P N I 为平行四边形.因此 S △ P M T 又 P , N , T , M 四点共圆,故 ? T N P S △ PM T ? 1 2 P M ? M T s in ? P M T ? S △ P N T ? 1 2 (同底,等高) . ,由三角形面积公式 1 2 P N ? N T s in ? P M T ? ? PM T ? 180? P N ? N T s in ? P N T ? 于是 P M ? M T ? PN ? NT . 又因 ? I 1 N T 故 ? N T I1 ? ?QNT ? ?QM T ? ?I2M T ,有 ? I 1 N T ∽ ?I2M T . ? ?M TI2 ,从而 ? I 1 Q I 2 ? ? N Q M ? ? N T M ? ? I 1T I 2 . 因此 Q , I 1 , I 2 , T 四点共圆.学&科网 2、 (2010 二试 1)如图,锐角三角形 ABC 的外心为 O,K 是边 BC 上一点(不是边 BC 的中点) ,D 是线段 AK 延长线上一点,直线 BD 与 AC 交于点 N ,直线 CD 与 AB 交于点 M.求证:若 OK⊥MN,则 A,B,D, C 四点共圆. A O B EK D C P Q N M 同理 Q K 2 ? ?QO 2 2 ?r 2 ? ? ?KO 2 2 ?r 2 ?, 所以 P O ? P K 2 ? QO ? QK 2 , 故 O K ⊥ P Q .由题设,OK⊥MN,所以 PQ∥MN,于是 AQ QN AP PM ? .① 由梅内劳斯(Menelaus)定理,得 NB BD MC CD ? DE EA ? DE EA ? AQ QN ? AP PM ? 1 ,② ? 1 .③ NB BD ? MC CD 由①, ②, ③可得 , 所以 ND BD ? M

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