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2010年第27届全国中学生物理竞赛决赛试题及参考答案

第 27 届全国中学生物理竞赛 决赛试题 全卷共八题,总分 140 分。 一、 (25 分)填空题。 (1)一个粗细均匀的细圆环形橡皮圈,其质量为 M ,劲度系数为 k ,无形变时半径为 R 。现将它 用力抛向空中,忽略重力的影响,设稳定时其形状仍然保持为圆形,且在平动的同时以角速度 ? 绕通过 圆心垂直于圆面的轴线匀速旋转,这时它的半径应为 。 (2)鸽哨的频率是 f 。如果鸽子飞行的最大速度是 u ,由于多普勒效应,观察者可能观测到的频 率范围是从 到 。 (设声速为 V 。 ) (3)如图所示,在一个质量为 M 、内部横截面积为 A 的竖直放置的绝 热气缸中,用活塞封闭了一定量温度度为 T0 的理想气体。活塞也是绝热的, 活塞质量以及活塞和气缸之间的摩擦力都可忽略不计。已知大气压强为 p0 , 重力加速度为 g ,现将活塞缓慢上提,当活塞到达气缸开口处时,气缸刚好 离开地面。已知理想气体在缓慢变化的绝热过程中 pV ? 保持不变,其中 p 是 气体的压强, V 是气体的体积, ? 是一常数。根据以上所述,可求得活塞到 达气缸开口处时气体的温度为 。 (4) (本题答案保留两位有效数字) 在电子显微镜中, 电子束取代了光束被用来 “照射” 被观测物。 要想分辨 1.0 ? 10?10 m (即原子尺度)的结构,则电子的物质波波长不能大于此尺度。据此推测电子的 速度至少需被加速到 被加速到 。如果要想进一步分辨 1.0 ? 10?12 m 尺度的结构,则电子的速度至少需 ,且为使电子达到这一速度,所需的加速电压为 。 已知电子的静止质 量 me ? 9.1? 10?31 kg , 电子的电量 e ? ?1.6 ? 10?19 C , 普朗克常量 h ? 6.7 ? 10?34 J ? s , 光速 c ? 3.0 ? 108 m ? s ?1 。 二、 (20 分)图示为一利用传输带输送货物的装置,物块(视为质点)自平台经斜面滑到一以恒定 速度 v 运动的水平长传输带上, 再由传输带输送到远处目的地, 已知斜面高 h ? 2.0m , 水平边长 L ? 4.0m , 传输带宽 d ? 2.0m ,传输带的运动速度 v ? 3.0m / s 。物块与斜面间的摩擦系数 ?1 ? 0.30 。物块自斜面顶 端下滑的初速度为零。 沿斜面下滑的速度方向与传输带运动方向垂直。 设斜面与传输带接触处为非常小 的一段圆弧,使得物块通过斜面与传输带交界处时其速度的大小不变,重力加速度 g ? 10m / s 2 。 (1)为使物块滑到传输带上后不会从传输边缘脱离,物块与传输带之间的摩擦系数 ?2 至少为多 少? 1 (2)假设传输带由一带有稳速装置的直流电机驱动,与电机连接的电源的电动势 E ? 200V ,内阻 可忽略;电机的内阻 R ? 10? ,传输带空载(无输送货物)时工作电流 I 0 ? 2.0 A ,求当货物的平均流量 640 (单位时间内输送货物的质量) ,稳定在 ? ? kg / s 时,电机的平均工作电流等于多少?假设除了货 9 物与传输带之间的摩擦损耗和电机的内阻热损耗外,其它部分的能量损耗与传输带上的货物量无关。 三、 (20 分)如图,刚性细轻杆(其质量可视为零)可绕通过其中 的点 O 的光滑水平轴在竖直面内自由转动。 两质量分别为 2 m 和 m 的小 球 1 和 2(可视为质点)串在轻杆上,它们与轻杆之间的静摩擦系数为 5 3 ?? 。开始时轻杆静止在水平位置,小球 1 和 2 分别位于紧靠轻 6 杆两端 A 和 B 的位置。现让系统自水平位置以零初速下摆,求: (1)小球 1 脱离轻杆时的位置(用小球 1 脱离杆时杆与水平线的夹角表示) ; (2)小球 2 脱离轻杆时的位置(用小球 2 脱离杆时杆与水平线的夹角表示) 。 四、 (15 分)如图所示, A 、 B 、 C 为三个质点, A 的质量远远大于 B 、 C 的质量, B 和 C 的质量 相等。已知 A 、 B 之间, A 、 C 之间存在相互吸引力。 B 、 C 之间存在相互排斥力,三个把质点在相 互间引力或斥力的作用下运动,如果作用力合适,可以存在一种如下形式的运动:A、 B 、 C 的相对位 置固定,它们构成一个平面,三个质点绕着位于这个平面内的某条轴匀速转动;因为质点 A 的质量远远 大于 B 、 C 的质量,可认为该轴过质点 A 且固定不动;连线 AB 与转轴的夹角 ? 1 与连线 AC 与转轴的夹 角 ?2 不相等,且 0 ? ?1 ? 。 2 2 ? ? 若 AB 之间吸引力的大小 f AB ? k AB , AC 之间吸引力的大小为 f a ? k AC ,其中 AB 、 AC 分 ? , 0 ? ?2 ? ? 别为 A 、 B 与 A 、 C 之间的距离, k 为比例系数,不计重力的影响。试问 ? 的值在什么范围内,上述运 动才能实现? 2 五、 (15 分)南极冰架崩裂形成一座巨型冰山,随洋流漂近一个城市。有人设计了一个利用这座冰 山来发电的方案,具体过程为: (a)先将环境中一定量的空气装入体积可变的容器,在保持压强不变的 条件下通过与冰山接触容器内空气温度降至冰山温度; (b)使容器脱离冰山,保持其体积不变,让容器 中的冰空气从环境中吸收热量,使其温度升至环境温度; (c)在保持容器体积不变的情况下让空气从容 器中喷出,带动发电装置发电。如此重复,直至整座冰山融化。已知环境温度 Ta ? 293K ,冰山的温度 为冰的熔点 T1 ? 273K ,可利用的冰山的质量 m ? 1.0 ? 1011 kg ,为了估算可能获得的电能,设计者做出 的假设和利用的数据如下: 1. 空气可视为理想气体。 2. 冰的熔解热 L ? 3.34 ?105 J / kg ;冰融化成温度为 T1 的水之后即不再利用。 3. 压强为 p 、体积为 V 的空气内能 U ? 2.5 pV 。 4. 容器与环境

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