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第八讲 容斥原理


1

第8讲
一、知识点:
容斥原理类型一: 如果被统计的事物有甲、乙两类,那么,

容斥原理

甲类或乙类个数=甲类个数+乙类个数-既甲类又乙类的物体个数 容斥原理类型类型二: 如果被统计的事物有甲、乙两类,那么, 既甲类又乙类的物体个数=甲类个数+乙类个数-甲类或乙类个数 容斥原理类型类型三: 如果被统计的事物有甲、乙两类、既非甲类又非乙类,那么, 既甲类又乙类的物体个数=甲类个数+乙类个数-(总体共有个数—既非甲类又非乙类个数)

森林里住着很多动物,狮子大王派仙鹤去统计鸟的种数,蝙蝠跑去说: “我有翅膀,我算鸟 类。 ”仙鹤把蝙蝠统计进去了,结果得出森林中共有 80 种鸟类。狮子大王又派大象去统计兽 类的种类,蝙蝠又跑去说: “我没有羽毛,我算兽类。 ”结果统计出森林中共有 70 种兽类。 最后狮子大王问: “森林中共有鸟类和兽类多少种?” 狐狸军师听了仙鹤和大象的统计结果, 向狮子大王报告: “森林中鸟类与兽类共计 150 种。 ”这个统计对吗? 现在我们用维恩图表示: 鸟类 80 种 蝙蝠 1种 兽类 70 种

鸟类与兽类共? 要求鸟类与兽类共多少种,可以:

+ 鸟类—蝙蝠 =79(种)

兽类 70 种

得出结论:鸟类与兽类共多少种=鸟类+兽类 — 蝙蝠

这个故事反映的是一个数学原理,我们把这个数学原理称为包含排除原理,即 容斥原理。

2

二、例题讲解:
包含与排除问题其实也叫容斥问题。 A AB B (韦恩图)

(1)容斥原理的第一种类型:
如果被统计的事物有甲、 乙两类, 那么, 甲和乙的总个数=甲个数+乙个数-既是甲 又是乙的个数。 甲类 即甲 又乙 维恩图 乙类

例题 1:四年级(2)班每人都参加了一种兴趣小组,参加舞蹈组的有 23 人,参加合唱团的有 40 人,既参加舞蹈组又参加合唱团的有 15 人,全班共有多少人? 舞蹈组 23 人

15 人

合唱团 40 人

共? 练习: 1、四年甲班学生采集标本,采到昆虫标本的有 26 人,采到植物标本的有 32 人,两种豆采 到的有 10 人,全班有学生多少人?

昆虫标本 有 26 人

10 人

植物标本 32 人

共? 2、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器,已知会拉手风琴的有 24 人,会弹电子琴的有 17 人,其中两种乐器都会演奏的有 8 人。这个文艺组一共有多少人?

3

(2)容斥原理的第二种类型:
既是甲又是乙的个数=甲类个数+乙类个数-甲和乙物体的总个数

例题 2:四年级(1)班有 56 名学生,参加文学社的有 38 人,参加数学兴趣小组的有 34 人, 每人至少参加一个组,这个班两组都参加的有多少人? 文学社 共 38 人 ? 数学组 共 34 人

(1)班共有 56 人

练习: 1、四(2)班有 64 人,订阅《少年报》的有 32 人,订阅《小学生数学报》的有 51 人,两 种报刊每人至少订一种,有多少名同学两种报刊都订了?

《少年报》 ? 32 人

《小学生 数学报》 51 人

有 64 人

2、一个班有 48 人,班主任在班会上问: “谁做完语文作业?请举手! ”有 37 人举手。又 问: ‘谁做完数学作业?请举手! ”有 42 人举手。最后问: “谁语文、数学作业没有做完?” 没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。

3、五年级有 122 名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语 文成绩优秀的有 65 人,数学优秀的有 87 人。语文、数学都优秀的有多少人?

4

(3)容斥原理的第三种类型:
如果被统计的事物有甲、乙两类、既非甲类又非乙类,那么, 既甲又乙的个数=甲个数+乙个数-(总体共有个数—既非甲又非乙个数)

例题 3:有 100 位旅客,其中有 10 人既不懂英语,又不懂俄语,有 75 人懂英语,有 83 人 懂俄语。那么,100 位旅客中既懂英语又懂俄语的有多少人? 10 人 懂英语 75 人 懂俄语 83 人 懂英语 75 人 懂俄语 83 人





有 90 人

有 90 人 共 100 人

练习: 1、一个少儿俱乐部有 92 人,其中会下中国象棋的有 70 人,会下国际象棋的有 42 人,这两 种棋都不会下的有 14 人。这两种棋都会下的有多少人? 14 人 中国象棋 共 70 人



国际象棋 共 42 人

共 92 人

2、某班有 36 个同学在一项测试中,答对第一题的有 25 人,答对第二题的人有 23 人, 两题都答对的有 15 人。问多少个同学两题都答得不对?

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例题 4: 某校选出 50 名学生参加区作文比赛和数学比赛,结果 3 人两项比赛都获奖了, 有 27 人两项比赛都没有获奖,已知作文比赛获奖的有 14 人,问数学比赛获奖的有多少 人?

练习: 1、光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品,其中有 24 幅不是五年级的,有 22 幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有 10 幅,其他年 级参展的书法共有多少幅?

2、实验二校一个歌舞表演队里,能表演独唱的有 10 人,能表演跳舞的有 18 人,两种都 能表演的有 7 人.这个表演队共有多少人能登台表演歌舞?

3、对全班同学调查发现,会游泳的有 20 人,会打篮球的有 25 人.两项都会的有 10 人,两 项都不会的有 9 人.这个班一共有多少人?

4、在 46 人参加的采摘活动中,只采了樱桃的有 18 人,既采了樱桃又采了杏的有 7 人,既 没采樱桃又没采杏的有 6 人,问:只采了杏的有多少人?

6

作业:
1、四(1)班每人至少选一节,其中选弹钢琴的有 30 人,选拉小提琴的有 28 人,则这个班 既选弹钢琴又选拉小提琴有 12 人, 四(1)班有多少人?

2、 四(2)班有 50 名学生,下课后每人都至少做完了一门作业,其中做完语文作业的有 35 人,做完数学作业的有 40 人。两种作业都做完的有多少人?

3、一个俱乐部有 103 人,其中会下中国象棋的有 69 人,会下国际象棋的 52 人,这两种 棋都不会下的有 12 人。问这两种棋都会下的有多少人?

4、 一个旅行社有 36 人, 其中会英语的有 24 人, 会法语的有 18 人, 两样都不会的有 4 人, 两样都会的有多少人?

5、科技节那天,学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品,其中有 110 件不是一年 级的,有 100 件不是二年级的,一、二年级参展的作品共有 32 件。其他年级参展的作品 共有多少件?

6、三年级一班参加合唱队的有 40 人,参加舞蹈队的有 20 人,既参加合唱队又参加舞蹈 队的有 14 人。这两队都没有参加的有 10 人。请算一算,这个班共有多少人?


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