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2.3.1-直线的参数方程


幸福中学
——林树杰

在平面直角坐标系中,那些条 件可以确定一条直线?

学习目标
1. 了解直线参数方程的推导过程

2. 掌握直线参数方程的条件及参 数的意义 3. 体会直线参数方程中参数 t 的 几何意义及简单应用

回 顾

参 数 方 程 的 概 念

直 猜 线 想 参 数 方 程 的 形 式

探 索

已知一条直线过定点M 0(x0 ,y0 ),倾斜角?, 如何引用参数表示直线上任意一点(x, y) 的横纵坐标。
y

t
? M0(x0 ,y0 )
? x ? x0 ? cos ? ? ? t ? ? y ? y0 ? sin ? ? ? t
O

M(x ,y)

?

P
x

? x ? x0 ? t cos ? (t是参数) ? ? y ? y0 ? t sin ?

探 索

? x0 ? x ? cos ? 如何引用参数表示直线上任意一点( x, y) ? x ? x ? t cos ? ? ? 0?t y 0 (t是参数) ? 的横纵坐标。 ? ? y0 ? y ? sin ? ? y ? y0 ? t sin ? ? ? 0?t

已知一条直线过定点M 0(x0 ,y0 ),倾斜角?,

?

M0(x0 ,y0 )
O
x

? P ? M( xx , ) t cos ? ?x 0y? (t是参数) ? ? y ? y0 ? t sin ?

结 论
x0
y0

? ?
直线上任意一点坐标 直线的倾斜角

( x0 , y0 )

? x ? x0 ? t cos ? (t是参数) ? ? y ? y0 ? t sin ?

?

反 馈
问:过定点(1, 0),倾斜角为60?的直线 (1)求直线的普通方程?
y ? 3( x ?1)

(2)求直线的参数方程?
1 ? x ? 1? t ? 2 ? (t为参数) ? ?y ? 3 t ? ? 2

探 索
问:过定点(1, 0),倾斜角为60?的直线
(3)点(2,3)对应的t是? t ? 2

2 0

(4)点(0, ? 3)对应的t是?t ? ?2 2

(5)点(1,0)对应的t是? t ? 0
1 ? x ? 1? t ? 2 ? (t为参数) ? ?y ? 3 t ? ? 2

(6)以上点到(1,0)的距离分别是?

结 论

直线l的参数方程中 参数 t 的几何意义?
y
M M0

M0 ? (x0 , y0)

M? (x0 ? t cos ? , y0 ? t sin ?)

t sin ?

t cos?

P

|t|=|M0M|

O

x

典 例
? 2 t ?x ? 1? ? 2 1. 一条直线的参数方程是 ? (t为参数), ? y ? ?5 ? 2 t ? ? 2 另一条直线的方程是x+y-2 ? 0, 则两直线的交点 与点(1,-5)间的距离是

3 2

?交点坐标 ?? ? 两点距离 l的普通方程 ??

探 索
4 过定点(2,1),斜率为 的直线的参数方程 3

?x ? 2? 3 t ? 5 ( t为参数) ? 4 y ? 1 ? t ? ? 5 ? x ? 2 ? 3t ( t 为参数) ? ? y ? 1 ? 4t 思 : 两个方程中的t 有没有

明确的几何意义 ?

结 论
? x ? x0 ? at ? x ? x0 ? t cos ? ? (? t为参数 ) ? ? y ? y0 ? bt ? y ? y0 ? t sin ?

当 a ? b ? 1 时, | t | ? | M0 M |,
2 2

此时 a ? cos ?, b ? sin ? . ? 为倾斜角. 当 a ? b ? 1 时,t 没有明确的几何意义.
2 2

典 例 ?

2 t ? x ? ?2 ? ? 2 2. 直线 ? (t为参数)上与点P(?2,3) ?y ? 3? 2 t ? ? 2
) A(-4,5) B(-3,4)

距离等于 2的点的坐标是 (
C(-3,4)或(-1,2)

D(-4,5)或(0,1)

拓 展
?x ? t 2 2 3. 直线l : ? (t为参数)与圆x ? y ? 4 ?y ? t ? 2 相交与A、B两点,则|AB|=

小结
本节课你收获了那些?
1.直线参数方程

? x=x0 ? t cos ? (t是参数) ? ? y ? y0 ? t sin ?
2. 直线参数方程中参数 t 的几何 意义及其应用

|t|=|M0M|

课本P39第一题(1)(2)

同步解析

谢谢指导!
2017.6.17


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