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高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角课时训练含解析


2.4.2

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

课时目标 1.掌握数量积的坐标表示, 会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能运用数量 积的坐标表示求两个向量的夹角, 会用数量积的坐标表示判断两个平面向量的垂直关系, 会 用数量的坐标表示求向量的模.

1.平面向量数量积的坐标表示 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a·b=____________. 即两个向量的数量积等于________________. 2.两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则 a⊥b?________________. 3.平面向量的模 (1)向量模公式:设 a=(x1,y1),则|a|=________________. → (2)两点间距离公式:若 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=________________________. 4.向量的夹角公式 设两非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 的夹角为 θ ,则 cos θ =________= __________.

一、选择题 1.已知向量 a=(1,n),b=(-1,n),若 2a-b 与 b 垂直,则|a|等于( ) A.1 B. 2 C.2 D.4 2.平面向量 a 与 b 的夹角为 60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|等于( ) A. 3 B.2 3 C.4 D.12 3.已知 a,b 为平面向量,a=(4,3),2a+b=(3,18),则 a,b 夹角的余弦值等于( 8 8 16 16 A. B.- C. D.- 65 65 65 65 4. 已知向量 a=(1,2), b=(2, -3). 若向量 c 满足(c+a)∥b, c⊥(a+b), 则 c 等于( 7? ?7 7? ? 7 A.? , ? B.?- ,- ? 9? ?9 3? ? 3 7? ?7 7? ? 7 C.? , ? D.?- ,- ? 3? ?3 9? ? 9

)

)

5.已知向量 a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5 2,则|b|=( ) A. 5 B. 10 C.5 D.25 6.已知 a=(-3,2),b=(-1,0),向量 λ a+b 与 a-2b 垂直,则实数 λ 的值为( ) 1 1 1 1 A.- B. C.- D. 7 7 6 6 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7.已知 a=(3, 3),b=(1,0),则(a-2b)·b=________. 8.若平面向量 a=(1,-2)与 b 的夹角是 180°,且|b|=4 5,则 b=________. 9.若 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投影为______. 10. 已知 a=(-2, -1), b=(λ , 1), 若 a 与 b 的夹角 α 为钝角, 则 λ 的取值范围为________. 三、解答题
1

11.已知 a 与 b 同向,b=(1,2),a·b=10. (1)求 a 的坐标; (2)若 c=(2,-1),求 a(b·c)及(a·b)c.

12.已知三个点 A(2,1),B(3,2),D(-1,4), (1)求证:AB⊥AD;

(2)要使四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标并求矩形 ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值.

能力提升

2

? π? 13.已知向量 a=(1,1),b=(1,a),其中 a 为实数,O 为原点,当此两向量夹角在?0, ? ? 12? 变动时,a 的范围是( ) ? 3 ? A.(0,1) B.? , 3? ?3 ?
C.?

? 3 ? ,1?∪(1, 3) ?3 ?

D.(1, 3)

→ 1→ 2→ → → 14.若等边△ABC 的边长为 2 3,平面内一点 M 满足CM= CB+ CA,则MA·MB=________. 6 3

1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算.为利用向量法解决平面几何问题以及解析几 何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持. 2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题,在学习中要 不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 答案 知识梳理 1.x1x2+y1y2 相应坐标乘积的和 2.x1x2+y1y2=0 2 2 2 2 3.(1) x1+y1 (2) ?x2-x1? +?y2-y1? a·b x1x2+y1y2 4. 2 2 2 |a||b| x1+y1 x2 2+y2 作业设计 2 1.C [由(2a-b)·b=0,则 2a·b-|b| =0, 2 2 2 ∴2(n -1)-(1+n )=0,n =3. 2 ∴|a|= 1+n =2.故选 C.] 2.B [a=(2,0),|b|=1, ∴|a|=2,a·b=2×1×cos 60°=1. 2 2 ∴|a+2b|= a +4×a·b+4b =2 3.] 3.C [∵a=(4,3),∴2a=(8,6).又 2a+b=(3,18),∴b=(-5,12),∴a·b=-20+ 36=16. 又|a|=5,|b|=13, 16 16 ∴cos〈a,b〉= = .] 5×13 65 4.D [设 c=(x,y), 由(c+a)∥b 有-3(x+1)-2(y+2)=0,① 由 c⊥(a+b)有 3x-y=0,② 7 7 7 7 联立①②有 x=- ,y=- ,则 c=(- ,- ), 9 3 9 3 故选 D.] 5.C [∵|a+b|=5 2, 2 2 2 2 2 ∴|a+b| =a +2a·b+b =5+2×10+b =(5 2) , ∴|b|=5.] 6.A [由 a=(-3,2),b=(-1,0),
3

知 λ a+b=(-3λ -1,2λ ),a-2b=(-1,2). 又(λ a+b)·(a-2b)=0, 1 ∴3λ +1+4λ =0,∴λ =- .] 7 7.1 解析 a-2b=(1, 3), (a-2b)·b=1×1+ 3×0=1. 8.(-4,8) 解析 由题意可设 b=λ a=(λ ,-2λ ),λ <0, 2 2 2 2 则|b| =λ +4λ =5λ =80,∴λ =-4, ∴b=-4a=(-4,8). 65 9. 5 解析 设 a、b 的夹角为 θ ,则 cos θ = 2×?-4?+3×7 2 +3
2 2

?-4? +7

2

2



5 , 5

故 a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ = 13× 或直接根据

5 65 = . 5 5

a·b 计算 a 在 b 方向上的投影. |b|

? 1 ? 10.?- ,2?∪(2,+∞) ? 2 ?
解析 由题意 cos α =

a·b -2λ -1 = , 2 |a||b| 5· λ +1

∵90°<α <180°,∴-1<cos α <0, -2λ -1 ∴-1< <0, 2 5· λ +1

?-2λ -1<0, ∴? ?-2λ -1>- 5λ 2+5,
1 ? ?λ >- , 2 即? ? ??2λ +1?2<5λ 2+5, 1 ? ?λ >- , 2 即? ? ?λ ≠2,

? 1 ? ∴λ 的取值范围是?- ,2?∪(2,+∞). ? 2 ? 11.解 (1)设 a=λ b=(λ ,2λ ) (λ >0),则有 a·b=λ +4λ =10, ∴λ =2,∴a=(2,4). (2)∵b·c=1×2-2×1=0, a·b=1×2+2×4=10, ∴a(b·c)=0a=0, (a·b)c=10×(2,-1)=(20,-10). 12.(1)证明 ∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4), → → ∴AB=(1,1),AD=(-3,3), → → 又∵AB·AD=1×(-3)+1×3=0, → → ∴AB⊥AD,即 AB⊥AD. → → (2)解 AB⊥AD,四边形 ABCD 为矩形, → → ∴AB=DC.
4

→ → 设 C 点坐标为(x,y),则AB=(1,1),DC=(x+1,y-4), ? ? ?x+1=1, ?x=0, ∴? 得? ?y-4=1, ?y=5. ? ? ∴C 点坐标为(0,5). → → 由于AC=(-2,4),BD=(-4,2), → → 所以AC·BD=8+8=16, → → |AC|=2 5,|BD|=2 5. → → 设AC与BD夹角为 θ ,则 → → AC·BD 16 4 cos θ = = = >0, → → 20 5 |AC|·|BD| 4 ∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为 . 5 13.C

π → [已知OA=(1,1),即 A(1,1)如图所示,当点 B 位于 B1 和 B2 时,a 与 b 夹角为 ,即∠AOB1 12 π π π π π π π 3? ? =∠AOB2= , 此时, ∠B1Ox= - = , ∠B2Ox= + = , 故 B1?1, ?, B2(1, 3), 12 4 12 6 4 12 3 3 ? ? 又 a 与 b 夹角不为零,故 a≠1,由图易知 a 的范围是? 14.-2

? 3 ? ,1?∪(1, 3).] ?3 ?

解析 建立如图所示的直角坐标系,根据题设条件即可知 A(0,3),B(- 3,0),M(0,2), → → → → ∴MA=(0,1),MB=(- 3,-2).∴MA·MB=-2.

5


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