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2008-2009学年福建省福州八中上学期高三数学第一次质量检查试卷(理)


2008-2009 学年福建省福州八中上学期高三数学第一次质量检查试 卷(理)
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分 第Ⅰ卷 福州八中 2006 级高中数学选修 4-5 模块考试 一、选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.已知 c<d, a>b>0, 下列不等式中必成立的一个是 ( ) A.a+c>b+d B.a–c>b–d C.ad<bc D.

a b ? c d
( )

x 2 2.函数 y ? 8 ? ? ( x ? 0) 的最大值是 2 x

A. 6 B. 8 C. 10 D. 18 3.已知函数 f(x)=-2x+1,对于任意正数 ? ,使得|f(x1)-f(x2)|< ? 成立的一个充分但 不必要条件是 A.|x1-x2|< ? C.|x1-x2|< B . |x1-x2|<

? 4

D.|x1-x2|>

? 4

? 2

4 .用数学归纳法证明“ 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? ” 时,由 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n n ? k 的假设证明 n ? k ? 1 时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为( ) 1 1 1 1 1 1 1 ??? ? ??? ? ? A. B. k ?1 2k 2k ? 1 k ?1 2k 2k ? 1 2k ? 2 1 1 1 1 1 1 ??? ? ??? ? C. D. k?2 2k 2k ? 1 k?2 2k ? 1 2k ? 2
.

二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分) 5.若 1 ? a ? 4 , ?2 ? b ? 4 ,则 2a-b 的取值范围是 6.函数 f ( x) ? 5 x ?

20 ( x ? 0) 的最小值为_____________. x2

三、解答题(本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分. 解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.) 7. (本小题 10 分) y 1 1 x 已知 a、b、x、y 均为正实数,且 > ,x>y. 求证: > . y?b a b x?a

8. (本小题 10 分) 已知函数 f ( x) ?| x ? 8 | ? | x ? 4 | .

(Ⅰ)作出函数 y=f(x)的图像: (Ⅱ)解不等式 | x ? 8 | ? | x ? 4 |? 2 .

y

1 0 1

x

福州八中 2006 级高中数学选修 4-2 模块考试 一、选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.将图形绕原点逆时针旋转 60 ? 的矩阵是 ( )

?1 3? ? ? 2 2 ? B. A. ? ? 3 1 ? ?? ? ? 2 2 ?
?1 2.点通过矩阵 M 1 ? ? ?0 ?

?1 3? ? ? ? 2 ? ?2 ? 3 1 ? ? ? ? 2 2 ?

? 3 ? 2 C. ? ? 1 ? ? ? 2

1 2 3 2

? ? ? D. ? ? ?

? ? ? ? ? ?

3 2 1 2

?

1 2 3 2

? ? ? ? ? ?

0? ?1 0 ? ? 的变换效果相当于另一变换是 ?和 M2 ? ? 1? ?0 1 ? 3? 2? ?





?1 ? 0? ? ? A. ? 3 1? ? ?0 ? 2? ?

?1 ? B. ? 6 ?0 ? ?

? 0? ? 1? ? 2?

?1 ? C. ? 2 ?0 ? ?

? 0? ? 1? ? 6?

D. ?

?1 0 ? 1? ?0 ? ? 6?
( )

? 0 ?1? 3.矩阵 ? ? 的逆矩阵是 ?1 0 ? ? 0 1? A. ? ? ? ?1 0 ? ? ?1 0 ? B. ? ? ? 0 1? ?1 0 ? C. ? ? ? 0 ?1? ? 0 ?1? D. ? ? ?1 0 ?

4.对任意的 2 ? 2 非零矩阵 A,B,C,考察下列说法:① AB ? BA ;② A( BC ) = ( AB)C ;③

u r AE = EA = A ;④若 AB = AC ,则 B = C ;⑤ l 为矩阵 A 的特征值,则存在向量 a 使得

u r u r Aa = l a ,其中正确的说法有
A. 1 个 B.2 个 C.3 个 二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分) 5. ? ? D. 4 个





? 1 3? ? ? 1 1? ? ? ?? ? ? 结果是______________. ? 2 4? ? 0 4?
? 2 1 ? a2 ? ? 是不可逆矩阵,则实数 a 的值是 ?1 a ? 1 ?


6.已知矩阵 A ? ?

三、解答题(本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分. 解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.) 7. (本小题 10 分)试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形,并指出该变换是什么变换。

?1 0? (1) ? (3 分) ? 方程为 y ? 2 x ? 2 ; ?0 1?

(2) ? ?

? ?1 0? ? ; (3 分) ? 点 A(2,5) 0 1 ? ?

(3) ? ?

? 2 0? 2 2 ? ? 曲线方程为 x ? y ? 4 (4 分) 0 1 ? ? ? 1 1? 10 ? ,求 A . ? 1 1?
第Ⅱ卷

8. (本小题 10 分)已知矩阵 A ? ?

2 0 个选项中,只有 一、选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 在每小题给出的四 0 一项是符合题目要求的.) 8 ?2 x ? 1??????? x ? 1) ?? ,则 f [ f ? 5?] ? 1.已知函数 f ? x ? ? ? ( ) 0 ?? x ? 4??? ? x ? 1) A.2 B.-1 9 C.1 D .0 2 x2 1 ? 3lnx 的一条切线的斜率为 ? ,则切点的横坐标为 5 2.已知曲线 y ? ( ) 4 2 1 A. B.1 2 C.2 D. 3 3.若直线 (1 ? a) x ? y ? 1 ? 0与圆x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 相切,则 a 的值为 A. 1 B. -1 C. ±1 D. ±2 4.正四面体 P—ABC 中,M 为棱 AB 的中点,则 PA 与 CM 所成角的余弦值为 ( )





A. C.

3 2 3 4

B. D.

3 3 3 6

二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分) 5.某班委由 4 名男生和 3 名女生组成,现从中选出 2 人担任正副班长。其中至少有一名女 生当选的概率是 . (用分数作答) 6.P 是椭圆 为
x2 y 2 0 ? ? 1 上的一点,F1、F2 为两个焦点,若 ?F1 PF2 ? 60 ,则 ?F1 PF2 的面积 12 6

.

三、解答题(本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分. 解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.) 7. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x ) =2acos2x+bsinxcosx ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅲ)函数 f ( x ) 的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数? 8. (本小题满分 10 分) 在等比数列 {an } 中, an ? 0(n ? N*) ,公比 q ? (0,1) ,且 a1a5 ? 2a3 a5 ? a2 a8 ? 25 , 又 a3 与 a5 的等比中项为 2 , (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? 5 ? log 2 an ,数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ,求数列 {Sn } 的通项公式 (3)设 Tn ?

π 1 3 3 ,且 f(0)= ,f( )= . 4 2 2 2

1 1 1 ? ? ? ? ,求 Tn . S1 S2 Sn

参考答案 福州八中 2006 级高中数学选修 4-2 模块考试 一、选择题 二、填空题 BDAC

5. ?

2 0 三、解答题 0 7.解: (1)变换后的方程仍为直线,该变换是恒等变换.(3 分) (2)经过变化后变为(-2,5) ,它们关于 y 轴对称,故该变换为关于 y 轴8 的反射变换. 0 (6 分) 9 (3)所给方程是以原点为圆心,2 为半径的圆,设 A(x,y)为曲线上的任意一点, 经过 2 ? 2 0 ? ? x ? ? 2 x ? ? x1 ? 变换后的点为 A1(x1,y1),则 ? 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 x ? x1 , y ? y1 ? 0 1 ? ? y ? ? y ? ? y1 ? 将之代入到 x 2 ? y 2 ? 4 可得方程 该变换是伸缩变换.(10 分) 8.解:特征矩阵为 ?

? ?1 13 ? ? ? ?2 18 ?

6. a ? ?1

x12 y12 ? ? 4, 此方程表示椭圆, 所给方程表示的是圆, 4 1

? ? ?1 ?1 ? (1 分) ?. ? ?1 ? ? 1?

特征多项式为 f (? ) ?

? ?1 ?1 ? (? ? 1)2 ? 1 ? ? 2 ? 2? , ?1 ? ?1

令 f (? ) ? 0,解得矩阵 A 的特征值 ?1 =0, ?2 ? 2 , (2 分) 将 ? ? 0 代入特征矩阵得 ?

? ?1 ? 1? ?, ? 1 ? 1 ? ? ?? x ? y ? 0, ?? x ? y ? 0, ?? ? ?1? ? 是矩阵 A 属于 ? ?1?

以它为系数矩阵的二元一次方程组是 ?

解之得 y ? ? x , x 可以为任何非零实数,不妨取 x ? 1 ,于是,?1 ? ? 特征值 ?1 ? 0 的一个特征向量. 再将 ? ? 2 代入特征矩阵得 ?

? 1 ? 1? ?, ? ?1 1 ? ? x ? y ? 0, ?? x ? y ? 0,

以它为系数矩阵的二元一次方程组是 ?

解之得 y ? x , x 可以为任何非零实数,不妨取 x ? 1 ,于是, ? 2 ? ? ? 是矩阵 A 的属于 特征值 ?2 ? 2 的一个特征向量. (6 分) 于是, A ?1 = ?

?? ? ? 1? ? 1?

?? ?

?? ? ? 1 1? ? 1 ? ? 1 1? ? 1 ? ?1? ? 1? ? ? ? ? 0 ? ? ? ,A ? 2 = ? ? ? ? ? 2? ? . ? ?1? ? 1? ? 1 1 ? ? ?1 ? ? 1 1? ? 1 ?
? 1 ? ? 0? 10 ? 1 ? 10 ? 1? (7 分) ? ? ? ? ? ,A ? ? ? 2 ? ? . ?1? ? 1? ? ?1 ? ? 0 ?

显然,

A

10

? a ? b ? 0, ?c ? d ? 0, ?a b? ? 10 设 A =? (8 分) ? ,则有 ? ?c d ? ? a ? b ? 1024, ? ?c ? d ? 1024.
解得

a ? 512, b ? 512, c ? 512, d ? 512 . (9 分)
10

所以,A = ?

? 512 512 ? (10 分) ?. ? 512 512 ?
福州八中 2006 级高中数学选修 4-5 模块考试

一、选择题 二、填空题 5. (?2,10) 三、解答题

BACD 6.15

7.证法一: (作差比较法)∵

y bx ? ay x 1 1 - = ,又 > 且 a、b∈R+, y ? b (x ? a)( y ? b) a b x?a bx ? ay y x ∴b>a>0.又 x>y>0,∴bx>ay. ∴ >0,即 > . (x ? a)( y ? b) y?b x?a

证法二: (分析法) ∵x、y、a、b∈R+,∴要证 而由
y x > ,只需证明 x(y+b)>y(x+a) ,即证 xb>yA. y ? b x?a

1 1 > >0,∴b>a>0.又 x>y>0,知 xb a b >ya 显然成立.故原不等式成立. 8.解:

?4, (x ? 4) ? (1) ? f ?x ? ? ?12-2x, (4 ? x ? 8) ?-4, (x ? 8) ? ?函数 f ?x ?的图像如图所示
(分段函数 3 分,图象 3 分,共 6 分)

?2? 解法一:当x ? 5时,f ?x ?=2 (10 分) 由图可知,不等式的解 集为?? ?, 5?;
?x ? 4 ?4 ? x ? 8 ?x ? 8 解法二: 或? 或? ? x ? 4 或 4 ? x ? 5 或 ? ? ?4 ? 2 ?12 ? 2x ? 2 ??4 ? 2
(10 分) ?原不等式的解集是 ? ??, 5?。 第Ⅱ卷 一、选择题 BCAD 二、填空题 5.

5 7

6. 2 3

三、解答题 7.解: (Ⅰ)由 f(0)= f( 3 3 3 3 ,得 2a= ,∴2a= 3 ,则 a= .由 2 2 2 2

π 1 1 3 3 3 )= ,得 + = , ∴ b=1 , 2 分 4 2 2 2 2 2

∴ f ( x ) = 3 cos2x+sinxcosx

1 π 3 3 = cos2x+ sin2x=sin(2x+ ).………4 分 2 3 2 2 π 3

(Ⅱ)由 f(x)=sin(2x+ )又由 ? ∴f(x)的单调递增区间是[ ?
π 6

π π π 5π ? +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,得 ? +kπ≤x≤ +kπ, 12 3 12 2 2

5π ? +kπ, +kπ] (k∈Z) .?…………8 分 12 12

(Ⅲ)∵f(x)=sin2(x+ ) ,∴函数 f ( x ) 的图象右移 后对应的函数可成为奇函数.10 分 8.解: (1)? a1a5 ? 2a3 a5 ? a2 a8 ? 25 ,? a3 ? 2a3 a5 ? a5 ? 25,
2 2

π 6

又 an ? 0,? ………… 分共 4 页 a3 ? a5 ? 5 高三数学(理)第一次质量检查试卷 第 31页 又 a3 与 a5 的等比中项为 2 ,? a3 a5 ? 4 ……………2 分 而 q ? (0,1) ,? a3 ? a5 ,? a3 ? 4, a5 ? 1 ……………3 分

?q ?

1 1 , a1 ? 16 ,? a n ? 16 ? ( ) n ?1 ? 2 5? n 2 2
………………5 分

………………4 分

(2) bn ? 5 ? log2 an ? 5 ? (5 ? n) ? n

? bn ?1 ? bn ? 1

?{bn } 是以 b1 ? 1 为首项,1 为公差的等差数列
? Sn ? n(n ? 1) , 2 Sn 2 ? 2( 1 ? 1 ) n(n ? 1) n n ?1

………………6 分 ………………7 分

(3)由(2)知 1 ?

? Tn ?
? 2(1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ………………9 分 S1 S2 Sn 2 2 3 n n ?1
1 2n )? n ?1 n ?1
…………………10 分


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