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安徽省滁州市定远县育才学校2018_2019学年高二数学上学期期末考试试题(实验班)理

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育才学校 2018-2019 学年度上学期期末考试

高二(实验班)理科数学
(考试时间:120 分钟 ,满分:150 分) 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.已知命题 p : ?x2 ? x1 , 2x2 ? 2x1 ,则 ?p 是( ).

A. ?x2 ? x1 , 2x2 ? 2x1

B. ?x2 ? x1 , 2x2 ? 2x1

C. ?x2 ? x1 , 2x2 ? 2x1

D. ?x2 ? x1 , 2x2 ? 2x1

2.已知 m 为正数,则“ m ? 1”是“ 1 ? lg 1 ? 1 ”的 ( ) mm
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条



3.已知向量 a ? ?2, ?1,3?,b ? ??4, 2, x? ,使 a ? b 成立的 x 与使 a / / b 成立的 x 分别为

()

A.

B.

C.

D.

4.下列说法中正确的是
A. “ f ?0? ? 0”是“函数 f ? x? 是奇函数”的必要条件

B. 若 p : ?x0 ? R, x02 ? x0 ?1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x2 ? x ?1 ? 0

C. 若 p ? q 为假命题,则 p , q 均为假命题

D. 命题“若? ? ? ,则 sin? ? 1 ”的否命题是“若? ? ? ,则 sin? ? 1 ”

6

2

6

2

5.已知 两点均在焦点为 的抛物线

上,若

,线段

的中点

到直线 的距离为 1,则 的值为

()

A. 1 B. 1 或 3 C. 2 D. 2 或 6

1

6.设点

P

为双曲线

x2 a2

y2 ? b2

?1(a ? 0,

b ? 0 )上一点,

F1, F2 分别是左右焦点,

I是

? ? ?PF1F2 的内心,若 ?IPF1 , ?IPF2 , ?IF1F2 的面积 S1, S2 , S3 满足 2 S1 ? S2 ? S3 ,则
双曲线的离心率为( )

A. 2

B. 3

C.

4

D. 2

7.直线 x ? 4y ? m ? 0 交椭圆 x2 ? y2 ? 1 于 A、B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 1,则 16

m?( )

A. -2

B. -1

C. 1

D. 2

8.如图,60°的二面角的棱上有 A, B 两点,直线 AC, BD 分别在这个二面角的两个半平面

内,且都垂直于 AB .已知 AB ? 4, AC ? 6, BD ? 8 ,则 CD 的长为( )

A. 17

B. 7

C. 2 17

D. 9

9.在空间直角坐标系 O ? xyz , A?0,1,0? , B?1,1,1? , C ?0, 2,1? 确定的平面记为? ,

不经过点 A 的平面 ? 的一个法向量为 n ? ?2, 2, ?2? ,则( )

A. ? / /? B. ? ? ? C. ?, ? 相交但不垂直 D. ?, ? 所成的锐二面角为 600

10.已知抛物线 C : y2 ? 4x 的焦点为 F ,准线为 l ,点 A?l ,线段 AF 交抛物线 C 于点 B ,

若 FA ? 3FB ,则 AF ? ( ) A. 3
D. 7

B. 4

C. 6

2

11.如图,面 ACD ?? ,B 为 AC 的中点, AC ? 2,?CBD ? 60 , P为?内的动点, 且 P 到直线 BD 的距离为 3 则 ?APC 的最大值为( )

A. 30° C. 90°

B. 60° D. 120°

12.椭圆 x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 上一点

A. 关 于 原 点 的 对 称 点 为

B,F

为其右焦点,若

AF ? BF ,设 ?ABF

? ?, 且?

?

?? ??12

,

? 4

? ??

,则该椭圆离心率的取值范围为





A.

?
? ?

2 2

? ,1???

B.

?
? ?

2, 2

6?

3

? ?

C.

?
? ?

6 3

? ,1???

D.

?
? ?

2, 2

3?

2

? ?

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.条件 p : ?2 ? x ? 5 ,条件 q : x ? 2 ? 0 ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值 x?a
范围是______________.

14.过双曲线 x2 16

?

y2 25

? 1的左焦点

F1 引圆

x2

?

y2

? 16 的切线,切点为T

,延长

F1T

交双曲

线右支于 P 点.设 M 为线段 F1P 的中点, O 为坐标原点,则 MO ? MT ? __________.

15.若直线 l 的方向向量 a ? (1,1,1) ,平面? 的一个法向量 n ? (2, ?1,1) ,则直线 l 与平面?
所成角的正弦值等于_________。

16.已知 P 为椭圆 x2 ? y2 ? 1 上任意一点, EF 为圆 N : ? x ?1?2 ? y2 ? 4 的任意一条直
16 15

径,则 PE ? PF 的取值范围是__________.
三、解答题(共 6 小题,共 70 分)

3

17.(10 分)已知命题 p : 方程:

x2 ?

y2

? 1表示焦点在 y 轴上的椭圆,命题 q :双曲

2m 9 ? m

线

y2 5

?

x2 m

? ? 1的离心率 e ? ???

6, 2

? 2 ??? ,若“ p ? q ”为假命题,“ p ? q ”为真命题,求

m 的取值范围.

18.(12

分)已知圆 O : x2

?

y2

?

4

恰好经过椭圆

C

:

x a

2 2

?

y2 b2

? 1(a

? b ? 0) 的两个焦点和

两个顶点.

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)经过原点的直线 l (不与坐标轴重合)交椭圆 C 于 A, B 两点, AM ? x 轴,垂足为 M ,

连接 BM 并延长 BM 交椭圆 C 于 N ,证明:以线段 BN 为直径的圆经过点 A .

19. (12 分)双曲线

的右焦点为



(1)若双曲线的一条渐近线方程为

且 ,求双曲线的方程;

(2)以原点 为圆心, 为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为 A ,过 A 作

圆的切线,斜率为 ? 3 ,求双曲线的离心率.

? ? 20. (12 分)已知 a ? 2cosx ? 2 3sinx,1 , b ? ? y,cosx? 且 a b .

(1)将 y 表示成 x 的函数 f ? x? ,并求 f ? x? 的最小正周期.

(2)记 f ? x? 的最大值为 M , a , b , c 分别为 ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 对应的

边长,若

f

? ??

A 2

? ??

?

M



a

?

2 ,求 bc

的最大值.

21. (12 分)已知过点 A(?4, 0) 的动直线 l 与抛物线 G : x2 ? 2 py( p ? 0) 相交于 B,C 两

点.当直线 l

的斜率是

1 2

时,

AC

?

4 AB

.

(1)求抛物线 G 的方程;

(2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b ,求 b 的取值范围.

22. (12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB

⊥AD,AB=1,AD=2, AC ? CD ? 5 .

4

(1)求证:PD⊥平面 PAB; (2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值.
5

参考答案与解析 1.B

【解析】命题 p 是全称命题,其否定为特称命题,所以 ?p : “ ?x2 ? x1 , 2x2 ? 2x1 ”.故

选B.

2.C

【解析】2.设 f ? x? ? 1 ? lg 1 ? 1 ? lgx(x ? 0) ,则 f ? x? 在 ?0, ??? 上单调递减。
x xx

若 m ? 1,则 f ?m? ? 1 ? lgm ? f ?1? ? 1,即 1 ? lg 1 ? 1;

m

mm

若 1 ? lg 1 ? 1,即 f ?m? ? 1 ? lgm ? f ?1? ? 1,则有 m ? 1。

mm

m

综上可得“ m ? 1”是“ 1 ? lg 1 ? 1 ”的充要条件。选 C。 mm

3.A

【解析】向量 a ? ?2, ?1,3?, b ? ??4,2, x? ,

若a ?

b ,则 a

b

?

?8

?

2

?

3?x

?

?10

?

3x

?

0

,解得

x

?

10 3

.



a

/

/b

,则

?4 2

?

2 ?1

?

x 3

,解得

x

?

?6 .故选

A.

4.D

【解析】对于 A 中,如函数 f ? x? ? x ? 1 是奇函数,但 f ?0? ? 0 ,所以不正确;B 中,命
x

题 p : ?x0 ? R, x02 ? x0 ?1 ? 0 ,则 ?p :?x? R ,x 2? x ? 1? 0 ,所以不正确;C 中,若 p ? q

为假命题,则 p , q 应至少有一个假命题,所以不正确;D 中,命题“若? ? ? ,则 6

sin? ? 1 ”的否命题是“若? ? ? ,则 sin? ? 1 ”是正确的,故选 D.

2

6

2

5.B

【解析】

因为线段 的中点到直线 的距离为 1,所以 B. 6.A

,选

6

【解析】

如 图 , 设 圆 I 与 ?PF1F2 的 三 边 F1F2 、 PF1 、 PF2 分 别 相 切 于 点 E.,F, G, 连 接 IE、 IF、 IG, 则 IE ? F1F2 , IF ? PF1, IG ? PF2 ,

它们分别是 ?IF1F2 , ?IPF1 , ?IPF2 的高,



S1

?

1 2

PF1

?

IF

?

1 2

PF1

r,

S2

?

1 2

PF2

?

IG

?

1 2

PF2

r



1

1

S3 ? 2 F1F2 ? IE ? 2 F1F2 r ,

其中 r 是 ?IF1F2 的内切圆的半径。

∵ 2?S1 ? S2 ? ? S3 ,

∴ PF1 r ?

PF2 r

=

1 2

F1F2

r,

两边约去 r 得:

PF1

?

PF2

?

1 2

F1F2



根据双曲线定义,得 PF1 ? PF2 ? 2a, F1F2 ? 2c ,

∴ 2a ? c ? 离心率为 e ? c ? 2 .故选:A. a
7.A

【解析】 x ? 4y ? m ? 0 , ? y ? ? 1 x ? m 44
设 A? x1,y1 ? , B? x2,y2 ?

7

{

x12 16

?

y12

?1

,两式相减,

x22 16

?

y22

?1

y1 ? x1 ?

y2 x2

?

?

16

x1 ? x2
? y1 ? y2

?

?

?1 4

AB 中点的横坐标为 1 则纵坐标为 1
4



???1,14

? ??

代入直线

y

?

?

1 4

x

?

m 4

,解得

m

?

?2

8.C

【解析】∵ CA ? AB , BD ? AB ,∴ CA? AB ? 0,DB ? AB ? 0 ,∵ CD ?CA A?B BD? ,



CD2 ? CA2 ? AB2 ? BD2 ? 2CA ? AB ? 2CA ? BD ? 2AB ? BD

? 62 ? 42 ? 82 ? 2? 6?8cos120? ? 68 ,∴ CD ? 2 17 ,故选 C.
9.A
【解析】∵ A?0,1,0?, B?1,1,1? , C ?0, 2,1? )确定的平面记为 α ,

∴ AB ? ?1,0,1?, AC ? ?0,1,1? ,

设平面 α 的法向量 m ? ? x, y, z? ,

m 则{

AB ? x ? z ? 0 ,不妨令 x=1,得 m ? ?1,1, ?1?,

m AC ? y ? z ? 0

∵不经过点 A 的平面 β 的一个法向量为 n→=(2,2,?2),

n ? ?2,2, ?2? ? 2m ,

∴α ∥β .。故选:A. 10.B

8

【解析】

由 已 知 B 为 AF 的 三 等 分 , 作 BH ? l 于 H , 如 图 , 则

BH ? 2 FK ? 4 ,? BF ? BH ? 4 , ? AF ? 3 BF ? 4 ,故选 B.

3

3

3

11.B

【解析】∵ P 到直线 BD 的距离为 3

∴空间中到直线 BD 的距离为 3 的点构成一个圆柱面,它和面? 相交得一椭圆,即点 P 在

? 内的轨迹为一个椭圆, B 为椭圆中心, b ? 3 , a ? 3 ? 2 ,则 c ?1 sin60?
∴ A,B 为椭圆的焦点
∵椭圆上的点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大值
∴ ?APC 的最大值为 60? 。故选 B
12.B

【解析】已知椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 焦点在

x 轴上,

椭圆上一点 A 关于原点的对称点为点 B,F 为其右焦点,设左焦点为 F1, 则:连接 AF,AF1,AF,BF 所以:四边形 AFF1B 为长方形. 根据椭圆的定义:|AF|+|AF1|=2a, ∠ABF=α ,则:∠AF1F=α . ∴2a=2ccosα +2csinα ,即 a=(cosα +sinα )c,

1

由椭圆的离心率 e= c =

1

=

a sinα ? cosα

2sin

? ??

?

?

? 4

? ??



9



?

?

?? ??12

,

? 4

? ??

,,

?

?

? 4

?

? ??

? 3

,

? 2

? ??



sin(α + ? )∈[ 3 ,1],

4

2

2sin

? ??

?

?

? 4

? ??

∈[

6, 2

2 ],

1

?

2sin

? ??

?

?

? 4

? ??



? ?

2, 2

6 3

?
? ?

,故选:B.

13. a ? 5 【解析】 p 是 q 的充分不必要条件, ??2 ? x ? 5是不等式 x ? 2 ? 0 的解集的真子集
x?a 故a ?5
14.1

【解析】设 F? 是双曲线的右焦点,连接 PF?

M,O 分别为 F1P , F1F ? 的中点 ? MO ? 1 PF?
2 F1T ? OF1 2 ? OT 2 ? 5

由双曲线定义得, F1P ? PF? ? 8

? ? 故

MO ? MT

?1 2

PF? ?

MF1

?

F1T

?1 2

PF? ? F1P

? F1T ? ?4 ? 5 ? 1

15. 2 3

【解析】设直线 l 与平面? 所成的角为? .

所以 sin? ? cos a, n

a?n 2?1?1

?

?

?

2.

a ? n 3? 6 3

16.[5,21]

? ? ? ? ? ? 【解析】因为 PE ? PF ?

NE ? NP ? NF ? NP

? NE ?NF ? NP ? NE ?NF

2
? NP

10

? ? NE ? NF ?cos? ? 0 ? NP |2 ? ?4 ? NP |2 .

又因为椭圆 x2 ? y2 ? 1 的 a ? 4, b ? 15,c ? 1, 16 15
N(1,0)为椭圆的右焦点,
∴ NP ??a ?c,a ? c? ? ?3,5?

∴ PE ? PF ??5, 21?.
故答案为:[5,21].
17.实 m 的取值范围是 0 ? m ? 5 或 3 ? m ? 5 . 2
【解析】若 p 真,则有 9-m>2m>0 即 0<m<3

若 真,则有 m>0 且

,解得

因为“ p ? q ”为假命题,“ p ? q ”为真命题,则 p ,q 一真一假。

①若 P 真 q 假,则 0<m<3,且 m

即 0<m

②若 P 假 q 真,则 m 3 或 m 0 且

即 3 m<5

综上,实 m 的取值范围是 0 ? m ? 5 或 3 ? m ? 5 . 2
18.(1) x2 ? y2 ? 1 ;(2)见解析 84

【解析】(1)由题意可知, b ? c ? 2 , a ? b2 ? c2 ? 2 2 ,

所以椭圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1 . 84

(2)证明:设直线 l 的斜率为 k ?k ? 0? , A? x0, y0 ?? x0 ? 0? ,在直线 l 的方程为 y ? kx , B??x0, ?y0 ?, M ?x0,0? .

直线

BM

的斜率为

? y0 ?2 x0

?

?kx0 ?2 x0

?

k 2

,所以直线 BM 的方程为 y

?

k 2

?

x

?

x0

?



11

x2 ? y2 ?1

? ? 联立{ 8 4

y

?

k 2

?x

?

x0

?



k2 ?2

x2 ? 2k 2x0x ? k 2x02 ?16 ? 0 ,

记 B, N 横坐标分別为 ? xB, yB ?,? xN , yN ? .由韦达定理知:

xB

? xN

? ?x0

? xN

?

2k 2 x0 , k2 ?2

所以 xN

?

2k 2 x0 k2 ?2

? x0 ,于是 yN

?

k 2 x0 k2 ?2



所以直线

AN 的斜率为

yN xN

? y0 ? x0

?

k 2 x0 k2 ?2

?

kx0

2k 2 x0

?

?

1 k



k2 ?2

因为

k

?

? ??

?

1 k

? ??

?

?1.所以

AN

?

BN



所以以线段 BN 为直径的圆一定经过点 A .

19.(1) x2 ? y2 ? 2 ;(2) 2 . 【解析】(1)由题意, b ? 1, c ? 2, a2 ? b2 ? c2 ?a2 ? b2 ? 2 , ?所求双曲线方程为
a x2 ? y2 ? 2

(2)由题意,设 A?m, n? ,则 kOA ?

3 ,从而 n ? 3

3 m , m2 ? n2 ? c2 ,? 3

? A ???

3 2

c,

c 2

? ???

? ? ?
将 A???

3 2

c,

c 2

? ???

代入双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1 得:

3c2 4a2

?

c2 4b2

?1

?c2

3b2 ? a2

? 4a2b2

? ?? ? 且 c2 ? a2 ? b2 ? a2 ? b2 3b2 ? a2 ? 4a2b2 ?3b4 ? 2a2b2 ? a4 ? 0

从而

20.(1)

f

?x?

?

2sin

? ??

2

x

?

? 6

? ??

? 1 ,函数

f

? x? 的最小正周期为?

.(2)4.

【解析】(1)由 a b 得 2cos2 x ? 2 3sinxcosx ? y ? 0

12

即 y ? 2cos2 x ? 2

3sinxcosx ? cos2x ?

3sin2x

?

1

?

2sin

? ??

2x

?

? 6

? ??

?

1

所以

f

?

x

?

?

2sin

? ??

2x

?

? 6

? ??

? 1 ,又

T

?

2? ?

?

2? 2

??

所以函数 f ? x? 的最小正周期为? .

(2)由(1)易得 M ? 3

于是由

f

? ??

A? 2 ??

?

M

?

3

,即

2sin

? ??

A?

? 6

? ??

?1

?

3

?

sin

? ??

A?

? 6

? ??

?1,

因为 A 为三角形的内角,故 A ? ? 3

由余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bccosA 得 4 ? b2 ? c2 ? bc ? 2bc ? bc ? bc

解得 bc ? 4 ,于是当且仅当 b ? c ? 2 时, bc 的最大值为 4 .

21.(1)x2=4y;(2)b∈(2,+∞).

1

1

【解析】 (1)设 B(x1,y1),C(x2,y2),当直线 l 的斜率是2时,l 的方程为 y=2(x+4),即

x=2y-4.

? 由?

x2

? 2 py

得 2y2-(8+p)y+8=0,

?x ? 2y ?4

∴ y1 y2 ? 4 ①,

y1

?

y2

?

8

? 2

p



又∵ AC ? 4AB ,∴y2=4y1,③

由①②③及 p>0 得:y1=1,y2=4,p=2,得抛物线 G 的方程为 x2=4y.

(2)设 l:y=k(x+4),BC 的中点坐标为(x0,y0),

? 由?

x2 ? 4y

得 x2-4kx-16k=0,④

? y ? k(x ? 4)

∴ x0

?

xC

? xB 2

? 2k ,y0=k(x0+4)=2k2+4k.

∴线段 BC 的中垂线方程为 y-2k2-4k=- 1 (x-2k), k

∴线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为:b=2k2+4k+2=2(k+1)2,

对于方程④,由 Δ =16k2+64k>0 得 k>0 或 k<-4. ∴b∈(2,+∞).

13

22.(1)见解析;(2) sin? ? 3 3
【解析】(1)∵平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD ? 平面 ABCD=AD, AB⊥AD, ∴ AB ?平面 PAD, ∵ PD ? 平面 PAD, ∴ AB ? PD , 又 PD ? PA, PA ? AB ? A, ∴ PD⊥平面 PAB。 (2)取 AD 的中点 O,连 PO,CO。 ∵ AC ? CD ? 5 , ∴CO⊥AD, ∵PA=PD, ∴PO⊥AD, ∴OP,OA,OC 两两垂直, 以 O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz,

则 P?0,0,1?, B?1,1,0?,C ?2,0,0?, D?0, ?1,0? 。

∴ PB ? ?1,1, ?1? 。

设平面 PCD 的一个法向量为 n ? ? x, y, z? ,

n ? PD ? ? x, y, z???0, ?1, ?1? ? ? y ? z ? 0

y ? ?2x

由{ n ? PC ? ? x, y, z???2,0, ?1? ? 2x ? z ? 0

,得{



z ? 2x

令 x ?1,则 n ? ?1, ?2, 2?。
设直线 PB 与平面 PCD 所成角为? ,

14

n ? PB

则 sin? ? cos n, PB ?

?

3

? 3.

n PB 3? 3 3

∴直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 3 。 3

15


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