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高中数学一轮复习微专题第③季基本初等函数:第6节 指数函数与对数函数


第 6 节 指数函数与对数函数 【基础知识】 1.指数函数 y=a 与对数函数 y=log a x ( a ? 0, a ? 1 )互为反函数;
x

2.指数函数 y=a 与对数函数 y=log a x ( a ? 0, a ? 1 )的图象,关于直线 y ? x 对称;
x

反之,若函数图象关于直线 y ? x 对称,则它们互为反函数. 【规律技巧】 1. 指数函数 y=a 与对数函数 y=log a x ( a ? 0, a ? 1 )的定义域、值域互相交换.
x

2.互为反函数的函数,在各自的定义域单调性相同. 3.如果一个奇函数有反函数,那么其反函数也是奇函数;偶函数没有反函数.

【典例讲解】 ax 例 1、试讨论函数 f(x)= (a≠0)在(-1,1)上的单调性. x-1

【变式探究】 (1)已知 a>0,函数 f(x)=x+ 上是增函数; (2)求函数 y= x2+x-6的单调区间. ax-1 例 2、若函数 f(x)= 在(-∞,-1)上是减函数,求实数 a 的取值范围. x+1 a (x>0),证明函数 f(x)在(0, a]上是减函数,在[ a,+∞) x

【拓展提高】 已知函数的单调性确定参数的值或范围, 可以通过解不等式或转化为不等式恒成立问题 求解;需注意的是,若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是 单调的. 【变式探究】 (1)若函数 f(x)=(2a-1)x+b 是 R 上的减函数,则 a 的取值范围为 ____________. x-5 (2)函数 y= 在(-1,+∞)上单调递增,则 a 的取值范围是 x-a-2 A.a=-3 B.a<3 ( )

C.a≤-3 1? 【答案】(1)? ?-∞,2?

D.a≥-3 (2)C

例 3、已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0, 2 f(1)=- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

【拓展提高】 对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义, 结合题目所给性质和相应的条 f?x1? 件,对任意 x1,x2 在所给区间内比较 f(x1)-f(x2)与 0 的大小,或 与 1 的大小.有时根 f?x2? x1 据需要,需作适当的变形:如 x1=x2· 或 x1=x2+x1-x2 等;利用函数单调性可以求函数最 x2 值. x1? 【变式探究】已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f? ?x ?=f(x1)-f(x2),且当 x>1
2

时,f(x)<0. (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性; (3)若 f(3)=-1,求 f(x)在[2,9]上的最小值.

【针对训练】

x ? 0, ?log 1 x, ? 2 1、已知函数 f ( x) ? ? 若关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个不等的实根,则实 x ? 2 , x ? 0, ?
数 k 的取值范围是 ( A. (0, ??) 【答案】D ) C. (1, ??) D. (0,1]

B. (??,1)

2、已知函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象关于直线 y ? x 对称, 记

1 g ( x) ? f ( x)[ f ( x) ? f (2) ? 1] .若 y ? g ( x) 在区间 [ ,2] 上是增函数,则实数 a 的取值范 2
围是( ) A. [2,??) 【答案】D B. (0,1) ? (1, 2) C. [ ,1)

1 2

D. (0, ]

1 2

f (a) ? ?3 f (6 ? a) ? ?2 x ?1 ? 2, x ? 1 f ( x ) ? ? 3、已知函数 ,且 ,则 ( ?? log 2 ( x ? 1), x ? 1
(A) ?



7 4

(B) ?

5 4

(C) ?

3 4

(D) ?

1 4

【答案】A

4 、已知 a ? 0, b ? 0 ,且 ab ? 1 ,则函数 f ( x) ? a 与函数 g ( x) ? ? log b x 的图像可能是
x

(

)

【答案】B

【练习巩固】 1、在同一坐标系中,作出函数 y=lgx 与 y ? 10 的图象,并分别写出它们的定义域,值域,
x

单调递增区间。

2、求下列函数的反函数 (1)y=2x+3; (2)y=ln(x+1); (3)y=10x-1

3、解下列不等式: (1) lg( x ? 3 x) ? 1 ; (2) log 1 ( x 2 ? 8 x) ? ?2 ; (3) log 1 ( ? 1) ? ?1 ;
2
3

2

1 x

4、判断下列函数的奇偶性 (1) y ? log 3

1? x ; (2)y=loga|x|; (3)y=2|x| 1? x

3 <1,则实数 a 的取值范围是(D) 。 4 3 3 3 3 (A)0<a<1 (B) 0<a< (C) a> 或 0<a< (D) 0<a< 或 a>1 4 4 4 4
5、若 a>0 且 a ? 1,且 loga 6、函数 y ? log 2 ( x ? A.奇函数而非偶函数

x 2 ? 1)( x ? R) 的奇偶性为[
B.偶函数而非奇函数

] C.非奇非偶函数 D.既奇且偶函数

7、作出下列函数的图象: (1)y=|lgx| ; (2)y=lg|x| 8、作出下列函数的图象: (1)y=| log 1 x |; (2)y=ln|x|;(3)y= 2
2

| x|

9、解下列不等式: (1)log 1 (2 x ? 1) ? 0 ; (2)log 1 (2 x ? 1) ? 0 ; (3)log 1 (2 x ? 1) ? 0 ; (4)log 2 ( x 2 ? x) ? 1
2 2 2

(5) log 2 ( x 2 ? x) ? 1

10、解下列不等式: (1) log 2 ( x 2 ? 2 x) ? 3 ; (2) log 2 ( x 2 ? 4 x) ? 5 ; (3) log 1 ( x 2 ? 2 x) ? ?1
3


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