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高二数学人教版选修2-2模块综合测试题(含答案)


高二数学选修 2-2 模块综合测试题
(本科考试时间为 120 分钟,满分为 150 分)
一.选择题(本大题有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.在“近似替代”中,函数 f ( x ) 在区间 [ xi , xi?1 ] 上的近似值( (A)只能是左端点的函数值 f ( xi ) )

(B)只能是右端点的函数值 f ( xi ?1 )

(C)可以是该区间内的任一函数值 f ??i ?(?i ? [ xi , xi?1 ] ) (D)以上答案均正确 2.已知 z1 ? m2 ? 3m ? m2i,z2 ? 4 ? (5m ? 6)i ,其中 m 为实数,i 为虚数单位,若 z1 ? z2 ? 0 ,则 m 的 值为 ( (A) 4 ) (B) ?1 (C) 6 ( (C) x ? y ? 1 (D) 0 ) (D) xy ? 1 ? x ? y

3.已知 x ? 1, y ? 1 ,下列各式成立的是 (A) x ? y ? x ? y ? 2 (B) x 2 ? y 2 ? 1 4.设 f (x)为可导函数,且满足 lim
x ?0

f (1) ? f (1 ? x) =-1,则曲线 y=f (x)在点(1, f(1))处的切线的斜率是 2x 1 2



) (B)-1 (C) (D)-2

(A)2

5.若 a、b、c 是常数,则“a>0 且 b2-4ac<0”是“对任意 x∈R,有 ax2+bx+c>0” 的 ( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)必要条件 6.函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? a 2 在 x ? 1 处有极值 10, 则点 ( a, b) 为 (A) (3,?3) (B) (?4,11)
2 2 2





(C) (3,?3) 或 (?4,11) (

(D)不存在 ) (D)

7. x ? y ? z ? 1 ,则 2 x ? 3 y ? z 的最小值为 (A)1 8. 曲线 y ? e , y ? e
x ?x

(B)

3 4

(C)

6 11
( ) (D)

5 8

和直线 x ? 1 围成的图形面积是
?1

(A) e ? e

?1

(B) e ? e

(C) e ? e ? 2

?1

e ? e?1 ? 2


2 9.点 P 是曲线 y ? x ? ln x 上任意一点, 则点 P 到直线 y ? x ? 2 的距离的最小值是(

(A)



(B)

2

(C)



(D)

2 2

第 1 页

10 . 设 f ( x) ? x2 ? ax ? b ( a, b ? R ) , 当 x ? ?1,1 时 , f ( x) 的 最 大 值 为 m , 则 m 的 最 小 值 为 ( (A) )

?

?

1 2

(B) 1

(C)

3 2

(D) 2

二.填空题(本大题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.定义运算

a b 1 ?1 ? ad ? bc ,若复数 z 满足 ? 2 ,其中 i 为虚数单位,则复数 c d z zi


z?

12.如图,数表满足:⑴第 n 行首尾两数均为 n ;⑵表中递推关系类似杨辉三角, 记第 n(n ? 1) 行第 2 个数为 f ( n) .根据表中上下两行数据关系, 1 可以求得当 n …2 时, f (n) ? . 2 2 3 4 3 4 7 7 4 … … … .
2 xn ? 1,则

13.设函数 f(x)=n2x2(1-x)n(n 为正整数),则 f(x)在[0,1]上的最大值为 14.设 ai ? R? , xi ? R? , i ? 1, 2,
2 n ,且 a12 ? a2 ? 2 2 a2 n ? 1 , x1 ? x2 ?

a1 a2 , , x1 x2

,

an 的 xn

值中,现给出以下结论,其中你认为正确的是 . ①都大于 1②都小于 1③至少有一个不大于 1④至多有一个不小于 1⑤至少有一个不小于 1 三 解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15、 (本小题 12 分)已知等腰梯形 OABC 的顶点 A,B 在复平面上对应的复数分别为 1 ? 2 i 、 ?2 ? 6 i , 且 O 是坐标原点, OA ∥ BC .求顶点 C 所对应的复数 z .

16(本小题满分 14 分) (1) 求定积分 (2)

?

1

?2

x2 ? 2 dx 的值;
z1 为纯虚数,求 z1 z2

(2)若复数 z1 ? a ? 2i(a ? R) , z2 ? 3 ? 4i ,且

第 2 页

17(本小题满分 12 分) 某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间定价为每天180元时,房间会全部住满;房间单价增加1 0元,就会有一个房间空闲,如果游客居住房间,宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用。房间定价 多少时,宾馆利润最大?

18、 (本小题满分 14 分)已知 a , b 是正实数,求证:

a b

?

b a

? a? b

第 3 页

19(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? (1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)求曲线 y ? f ( x ) 在点(1, f (1) )处的切线方程; (3)求证:对任意的正数 a 与 b ,恒有 ln a ? ln b ? 1 ?

x x ?1

b . a

20(本小题满分 14 分)
2 设数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? nan ? 1, n ? 1, 2, 3,

,

(1) 当 a1 ? 2 时,求 a2 , a3 , a4 ,并由此猜想出 ?an ? 的一个通项公式; (2) 当 a1 ? 3 时,证明对所有 n ? 1 ,有 ① an ? n ? 2 ②

1 1 ? ? 1 ? a1 1 ? a2

1 1 ? 1 ? an 2

第 4 页

一 选择题 1 C
二 填空题 11 1-i

2B

3D
12

4D

5A

6B

7C
13 4(

8D

9B

10 A
14 ③⑤

n2 ? n ? 2 2

n n?2 ) n?2

15、 (本小题 10 分)已知等腰梯形 OABC 的顶点 A,B 在复平面上对应的复数分别为 1 ? 2 i 、 ?2 ? 6 i , 且 O 是坐标原点, OA ∥ BC .求顶点 C 所对应的复数 z . 解:设 z ? x ? y i( x,y ? R) . 由 OA ∥ BC , OC ? AB ,得 kOA ? kBC , zC ? zB ? z A ,

?2 y ? 6 , ? ? 即 ?1 x ? 2 ? x 2 ? y 2 ? 32 ? 42, ?

OA ? BC ,? x ? ?3 , y ? 4 舍去.
? z ? ?5 .
16 (1)

1? 8 2 3

(2)

10 3

17、解:设每个房间每天的定价为 x 元,那么宾馆利润

L( x) = (50 ?
=?

x ? 180 )( x ? 20) 10

1 2 x ? 70 x ? 1360 ,180 ? x ? 680 . 10 1 ' 令 L ( x) ? ? x ? 70 ? 0, 解得 x ? 350 . 5
当 x ? (180,350) 时, L' ( x) ? 0, 当 x ? (180,680) 时 L' ( x) ? 0 因此, x ? 350 时是函数 L( x) 的极大值点,也是最大值点.所以,当每个房间每天的定价为 350 元时, 宾馆利润最大 18 (1)单调增区间 (0, ??) ,单调减区间 ( ?1, 0) (2)切线方程为 x ? 4 y ? 4 ln 2 ? 3 ? 0 (3)所证不等式等价为 ln 而 f ( x ) ? ln(1 ? x ) ?

a b ? ?1 ? 0 b a

1 1 ? 1 , 设 t ? x ? 1, 则 F (t ) ? ln t ? ? 1 , 由 ( 1 ) 结 论 可 得 , x ?1 t

F (t )在(0,1)单调递减,在(1, ??)单调递增,由 此 F (t )min ? F (1) ? 0 , 所 以 F (t ) ? F (1) ? 0 即
1 a F (t ) ? ln t ? ? 1 ? 0 ,记 t ? 代入得证。 t b
第 5 页

19、证明:要证

a b

?

b a

? a ? b,

只需证 a a ? b b ?

ab( a ? b ) ab( a ? b )

即证 (a ? b ? ab)( a ? b ) ? 即证 a ? b ? ab ?

ab

即证 a ? b ? 2 ab ,即 ( a ? b ) 2 ? 0 该式显然成立,所以 20

a b

?

b a

? a? b

第 6 页


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