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2013年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试题


013 年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷
(考试时间:2013 年 9 月 14 日上午 9:00—11:30) 题号 得分 评卷人 复核人 注意: 1.本试卷共 12 小题,满分 150 分; 3.书写不要超过装订线; 一、填空题(每题 8 分,共 64 分) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 函数 f ( x) = x + 1 + x ? 1 + 4 ? x 2 的值域为 方程 sin( 2013 π x) = x 2013 的实根个数为 化简 sin 12° sin 48° sin 54° = . (用数字作答) . . . . 一 二 9 10 11 12 总分

2.请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答; 4.不得使用计算器.

设数列 {a n } 满足 a1 = a 2 = 1,a n = 3a n ?1 ? a n ? 2 (n ≥ 3) ,则 a 2013 = 设 △ ABC 的外接圆圆心 P 满足 AP = 设复数 z = x + y i 满足 则 y 的最大值为 x
300

2 AB + AC ,则 cos ∠BAC = 5

(

)

z +1 的实部与虚部之比为 3 ,其中 i 是虚数单位, x, y ∈ R , z+2


100

7. 8.

设 (1 + x + x 2 )150 = ∑ c k x k ,其中 c0 , ? , c300 是常数,则 ∑ c3k =
k =0 k =0

. .

随机选取正 11 边形的 3 个不同顶点,它们构成锐角三角形的概率为

二、解答题(第 9—10 题每题 21 分,第 11—12 题 22 分,共 86 分)

9.

设正三棱锥的底面边长为 1,侧棱长为 2,求其体积和内切球半径.

10. 求所有函数 f : R → R ,使得对任意 x, y 都有
f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) + 2 xy 且 x 2 ? x 2 ≤ f ( x) ≤ x 2 + x 2 .
1 1

11. 设 a, b, c 是不全为 0 的实数,求 F = 条件时,F 取最大值与最小值?

ab ? bc + c 2 的取值范围.a, b, c 分别满足什么 a 2 + 2b 2 + 3c 2

(1 + a n ?1 ) 2 12. 设数列 {a n } 满足 a1 = 1,a 2 = 2,a n = (n ≥ 3) . a n?2 (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)求证:对任意正整数 k , a 2 k ?1 和 a2k 都是整数. 2


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