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2018高中数学苏教版选修2-2教学案:第2章 2.1 2.1.1 第二课时 类比推理

第二课时 类 比 推 理 为了回答“火星上是否有生命”这个问题,科学家们把火星与地球作为类 比,发现火星具有一些与地球类似的特征,如火星也是围绕太阳运行、绕轴自转 的行星,也有大气层,在一年中也有季节的变更,而且火星上大部分时间的温度 适合地球上某些已知生物的生存,等等.由此,科学家猜想:火星上也可能有生 命存在. 问题:科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的? 提示: 在提出上述猜想的过程中,科学家对比了火星与地球之间的某些相似 特征,然后从地球的一个已知特征(有生命存在)出发,猜测火星也可能具有这个 特征. 1.类比推理 根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方 面也相似或相同, 像这样的推理通常称为类比推理, 简称类比法. 其思维过程为: 观察、比较 → 联想、类推 → 猜测新的结论 2.合情推理 合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践结果_,以及个人的 经验等推测某些结果的推理过程. 归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合 情推理. 类比推理的特点主要体现在以下几个方面: (1)类比推理是从特殊到特殊的推理. (2)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测正在被研究中的事物 的特征.所以,类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠. (3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特 征.所以,进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征. [对应学生用书P16] 类比推理在数列中的应 用 [例 1] 在等差数列{an}中,若 a10=0,则有等式 a1+a2+…+an=a1+a2 +…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.类比上述性质,相应地,在等比数列{bn}中,若 b9=1,则有什么样的等式成立? [思路点拨] 在等差数列与等比数列的类比中,等差数列中的和类比等比数 列中的积,差类比商,积类比幂. [精解详析] 在等差数列{an}中,a10=0, ∴a1+a2+…+an+…+a19=0, 即 a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1. 又由 a10=0,得 a1+a19=a2+a18=…=an+a20-n =an+1+a19-n=2a10=0, ∴a1=-a19,a2=-a18,…,a19-n=-an+1, ∴a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n, 若 a9=0,同理可得 a1+a2+…+an=a1+a2+…+a17-n, 相应的,在等比数列{bn}中,若 b9=1, 则可得 b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*). [一点通] 类比推理的一般模式为:A 类事物具有性质 a,b,c,d,B 类事 物具有性质 a′,b′,c′,d′(a,b,c 分别与 a′,b′,c′相似或相同), 所以 B 类事物可能具有性质 d′(d 与 d′相似或相同). 1. = 数列. 类比上述性质,相应地: 若数列{an}(n∈N*)是等差数列,则有数列 bn a1+a2+a3+…+an (n∈N*)也是等差 n 若数列{cn}(n∈N*)是等比数列,且 cn>0,则数列 dn=________(n∈N*)也是等 比数列. n 答案: c1· c2· c3· …· cn 2.已知命题:若数列{an}为等差数列,且 am=a,an=b(m≠n,m,n∈N*), bn-am 则 am+n= .现已知等比数列{bn}(bn>0,n∈N*),且 bm=a,bn=b(m≠n, n-m m,n∈N*),类比上述结论,求 bm+n. 解:等差数列通项 an 与项数 n 是一次函数关系,等比数列通项 bn 与项数 n n-m bn ? bn ? 1 ? ? 是指数型函数关系.利用类比可得 bm+n=? m? = . am ?a ?n-m 类比推理在几何中的应 用 [例 2] 如图,在三棱锥 S-ABC 中,SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC, 且 SA、SB、SC 和底面 ABC 所成的角分别为 α1、α2、α3,三侧 面△SBC,△SAC,△SAB 的面积分别为 S1,S2,S3,类比三角形中的正弦定理, 给出空间情形的一个猜想. [思路点拨] 在△DEF 中,有三条边,三个角,与△DEF 相对应的是四面体 S -ABC, 与三角形三条边长对应的是四面体三个侧面的面积, 三角形三个角对应 的是 SA,SB,SC 与底面 ABC 所成的三个线面角 α1,α2,α3.在平面几何中三 角形的有关性质,我们可以用类比的方法,推广到四面体、三棱柱等几何体中. [精解详析] 在△DEF 中,由正弦定理,得 e f = = .于是,类比 sin D sin E sin F 成 sin α1 sin α2 sin α3 S1 = S2 = S3 d 三角形中的正弦定理,在四面体 S-ABC 中,我们猜想 立. [一点通] (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要,选择适当的类比 对象,可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手.由平面中相关结论 可以类比得到空间中的相关结论. (2)平面图形与空间图形类比 平面图形 点 线 边长 面积 线线角 三角形 空间图形 线 面 面积 体积 二面角 四面体 3. 在平面中△ABC 的角 C 的内角平分线 CE 分△ABC 面积所成的比 S△AEC = S△BEC AC ,将这个结论类比到空间:在三棱锥 A-BCD 中,平面 DEC 平分二面角 A BC -CD-B 且与 AB 交于 E,则类比的结论为________. 图(1) 解析:平面中的面积类比到空间为体积, 故 S△AEC VA-CDE 类比成 . S△BEC VB-CDE (2) 平面中的线段长类比到空间为面积, 故 AC S△ACD 类比成 . BC S△BCD 故有 VA-CDE S△ACD = . VB-CDE S△BDC VA-CDE S△A

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