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多面体外接球球心的确定


1.由球的定义确定球心
⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点. ⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点. ⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点. ⑷正棱锥的外接球球心在其高上,具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到. ⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形,则公共斜边的中点就是其外接球的球心.

2.构造长方体或正方体确定球心
⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥. ⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥. ⑶若已知棱锥含有线面垂直关系,则可将棱锥补成长方体或正方体. ⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直,则可将三棱锥补成长方体或正方体.

3.由性质确定球心
利用球心 O 与截面圆圆心 O1 的连线垂直于截面圆及球心 O 与弦中点的连线垂直于弦的性 质,确定球心.


1、已知点 P 、 A、B、C、D 是球 O 表面上的点, PA ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是边 长为 2 3 的正方形.若 PA ? 2 6 ,则 ?OAB 的面积为多少? 2、设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a ,顶点都在同一个球面上,则该球的表面 积为多少? 3、已知正三棱锥 P ? ABC ,点 P, A, B, C 都在半径为 3 的球面上.若 PA, PB, PC 两两互 相垂直,则球心到截面 ABC 的距离为多少? 4、三棱锥 S ? ABC 中, SA ? 平面 ABC , SA ? 2 , ?ABC 是边长为 1 的正三角形,则其 外接球的表面积为多少? 5、 点 A、B、C、D 在同一个球的球面上, AB ? BC ? 2 , AC ? 2 , 若四面体 ABCD 体 积的最大值为

2 ,则这个球的表面积为多少? 3

6、四面体的三组对棱分别相等,棱长为 5, 34, 41 ,求该四面体外接球的体积. 7、正四面体 ABCD 外接球的体积为 4 3? ,求该四面体的体积. 8、若底面边长为 2 的正四棱锥 P ? ABCD 的斜高为 5 ,求此正四棱锥外接球的体积. 9、一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球 面上,且该六棱柱的体积为

9 ,底面周长为3,则这个球的体积为 8
0

.

10、在等腰梯形 ABCD 中, AB=2DC=2 , ?DAB=60 , E 为 AB 的中点,将 ?ADE 与

?BEC 分布沿 ED 、 EC 向上折起,使 A、B 重合于点 P ,则三棱锥 P-DCE 的外接球的体
积为 .

11、 已知球 O 的面上四点 A、 B、 C、 D,DA ? 平面ABC ,AB ? BC ,DA=AB=BC= 3 , 则球 O 的体积等于 .

12、已知点 A、B、C、D 在同一个球面上, AB ? 平面BCD , BC ? DC ,若

AB ? 6, AC=2 13,AD=8 ,则 B、C 两点间的球面距离是

.


1、设正方体的棱长为 a ,求(1)内切球半径; (2)外接球半径; (3)与棱相切的球半径。 (1)截面图为正方形 EFGH 的内切圆,得 R ?

a ; 2

(2)与正方体各棱相切的球:球与正方体的各棱相切,切点为各棱的中点,如图 4 作截面 图,圆 O 为正方形 EFGH 的外接圆,易得 R ?

2 a。 2

(3)正方体的外接球:正方体的八个顶点都在球面上,如图 5,以对角面 AA 1 作截面图得, 圆 O 为矩形 AA1C1C 的外接圆,易得 R ? A1O ?

3 a。 2

图1

图2

图3

2、正四面体的外接球和内切球的半径(正四面体棱长为 a , O 也是球心) 内切球半径为: r ?

6 a 12 6 a 4

外接球半径为: R ?


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