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2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件新人教A版选修2-2_图文

第一章

导数及其应用

?1.1 变化率与导数
?1.1.1 变化率问题 ?1.1.2 导数的概念

自主学习 新知突破

? 1.了解实际问题中平均变化率的意义. ? 2.理解函数的平均变化率与瞬时变化率的概 念. ? 3.理解并掌握导数的概念. ? 4.掌握求函数在一点处的导数的方法.

? 现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记 载
时间 3月18日 3.5 ℃ 4月18日 18.6 ℃ 4月20日 33.4 ℃ 日最高气温

? 观察:3月18日到4月18日与4月18日到4月20 日的温度变化,用曲线图表示为:

? [问题1] “气温陡增”是一句生活用语,它 的数学意义是什么?(形与数两方面) ? [提示1] 曲线上BC之间一段几乎成了“直 线”,由此联想如何量化直线的倾斜程度.

? [问题2] 由点B上升到点C,必须考察yC-yB 的大小,但仅仅注意yC-yB的大小能否精确 量化 BC 段陡峭程度,为什么? [提示 2] 在考察 y -y 的同时必须考察 x -x , 函数的本
C B C B

质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个 量的改变. yC-yB 我们用比值 近似地量化 B,C 这一段曲线的陡峭程 xC-xB 度,并称该比值为[32,34]上的平均变化率.

函数的变化率
定义 实例 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的 平均 ①平均速度; 平均变化率为 变化 ②曲线割线的 f?x2?-f?x1? 率 斜率 x2-x1 __________ 函数 y=f(x)在 x=x0 处 ①瞬时速度: 物 瞬时 的瞬时变化率是 l i m 体在某一时刻 Δx→0 变化 f?x0+Δx?-f?x0? 的速度; l i m 率 Δy=Δ Δx ________________ x→0 ②切线斜率 Δx 作用 刻画函数值在 区间 [x _______ 1,x2] 上变化的快慢 刻画函数值在

x0 处附近变 ____
化的快慢

? 1.关于函数的平均变化率,应注意以下几点 ? (1)函数f(x)在x1处有定义. ? (2)Δx是变量x2在x1处的改变量,且x2是x1附近 的任意一点,即Δx=x2-x1≠0,但Δx可以为 正,也可以为负. ? (3)注意自变量与函数值的对应关系,公式中 若Δx=x2-x1,则Δy=f(x2)-f(x1);若Δx=x1 -x2,则Δy=f(x1)-f(x2).

Δy f?x2?-f?x1? f?x1+Δx?-f?x1? (4)在公式Δx= = 中,当 x1 取定 Δ x x2-x1 值,Δx 取不同的数值时,函数的平均变化率是不同的;当 Δx 取定值, x1 取不同的数值时, 函数的平均变化率也是不同的. 特 Δy 别地,当函数 f(x)为常数函数时,Δy=0,则Δx=0.

导数的概念
瞬时 ? 函数y=f(x)在x=x0处的 _______变化率称为函 f′( x0 ) y′|x=x 数 f(x)在__________ 处的导数,记作 x=y x= 0 __________或 __________,
0

f?x0+Δx?-f?x0? Δy l i m Δx Δx→0 即 f′(x0)= l i m = _________________________. → Δx
Δx 0

? 2.对函数在某点处导数的认识 ? (1)函数在某点处的导数是一个定值,是函数 在该点的函数值改变量与自变量的改变量比 值的极限,不是变量. ? (2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关,与Δx 无关. ? (3)导数可以描述任何事物的瞬时变化率,应 用非常广泛.

? 1.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx =0.1时,Δy的值为( ) ? A.0.40 B.0.41 ? C.0.43 D.0.44 ? 解析: Δy=f(2.1)-f(2)=0.41. ? 答案: B

? 2.如果质点M按照规律s=3t2运动,则在t=3 时的瞬时速度为( ) ? A.6 B.18 ? C.54 D.81
2 2 Δs 3?3+Δt? -3×3 解析: Δt = =18+3Δt, Δt

Δs s′= l i m =l i m (18+3Δt)=18,故选 B. → → Δ t Δt 0 Δt 0

? 答案: B

? 3.一个物体的运动方程为s=1-t+t2.其中s 的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒 末的瞬时速度为 ________. 1-?3+Δt?+?3+Δt?2-?1-3+32?
解析: v= l i m → =l i m (Δt+5) →
Δt 0 Δt 0

Δt

=5.

? 答案: 5米/秒

1 4.求函数 y=x-x在 x=1 处的导数.
? 1? 1 解析: Δy=(1+Δx)- -?1-1? 1+Δx ? ? Δx =Δ x+ , 1+Δx

Δx Δ x+ 1+Δx Δy 1 =1+ , Δx= Δx 1+Δx
? 1 ? Δy ? ? 1 + ∴l i m = l i m =2, ? 1+Δx? Δx→0 Δx Δx→0 ? ?

从而y′|x=1=2.

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求函数的平均变化率

?

求函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0 +Δx]上的平均变化率,并求当x0=2,Δx= 0.1时平均变化率的值. ? [思路点拨] 先求自变量的增量和函数值的 增量,然后代入公式计算.

函数 y=f(x)=3x2+2 在区间[x0,x0+Δx]上的 平均变化率为 f?x0+Δx?-f?x0? [3?x0+Δx?2+2]-?3x2 0+2? = Δx ?x0+Δx?-x0 6x0·Δx+3?Δx?2 = =6x0+3Δx. Δx 当 x0=2,Δx=0.1 时, 函数 y=3x2+2 在区间[2,2.1]上的平均变化率为 6×2+3×0.1=12.3.

求平均变化率的步骤: 通常用“两步”法,一作差,二作商,即: ①先求出Δx=x2-x1,再计算Δy=f(x2)-f(x1); ②对所求得的差作商,即得 Δy f?x2?-f?x1? f?x1+Δx?-f?x1? . Δx= x2-x1 = Δx

1 1.已知函数 f(x)=x+x ,分别计算 f(x)在自变量 x 从 1 变 到 2 和从 3 变到 5 时的平均变化率,并判断在哪个区间上函数 值变化得较快.
解析: 自变量 x 从 1 变到 2 时,函数 f(x)的平均变化率 为 1 f?2?-f?1? 2+2-?1+1? 1 = =2; 1 2-1

自变量 x 从 3 变到 5 时,函数 f(x)的平均变化率为 1 ? 1? ? ? f?5?-f?3? 5+5-?3+3? 14 = =15. 2 5-3 1 14 1 因为2<15,所以函数 f(x)=x+x 在自变量 x 从 3 变到 5 时 函数值变化得较快.

求物体的瞬时速度

? 已知函数f(x)=2x2+1. ? (1)求函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变 化率; ? (2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率; 函数值的改变量 ? (3)求函数f(x)在x=2处的瞬时变化率. 2
[思路点拨] 函数f?x?=2x +1 → Δy=f?x0+Δx?-f?x0? Δy Δy → 函数的平均变化率Δx → Δx趋于0 → Δx趋于常数

解析: (1)由已知∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0) =2(x0+Δx)2+1-2x2 0-1=2Δx(2x0+Δx), Δy 2Δx?2x0+Δx? ∴Δx= =4x0+2Δx. Δx Δy (2)由(1)可知:Δx=4x0+2Δx,当 x0=2,Δx=0.01 时, Δy Δx=4×2+2×0.01=8.02.

(3)在 x=2 处取自变量的增量 Δx,得一区间[2,2+Δx]. ∴Δy=f(2+Δx)-f(2)=2(2+Δx)2+1-(2· 22+1)=2(Δx)2+ 8Δx. Δy Δy ∴Δx=2Δx+8,当 Δx→0 时,Δx→8.

?

1.求瞬时变化率时要首先明确求 哪个点处的瞬时变化率,然后,以此点为一 端点取一区间计算平均变化率,并逐步缩小 区间长度,根据平均变化率的变化情况估计 出瞬时变化率.
2.求函数 y=f(x)在 x=x0 处瞬时变化率的步骤: (1)求函数值的改变量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0); Δy f?x0+Δx?-f?x0? (2)求函数的平均变化率Δx= ; Δx Δy (3)当 Δx 趋近于 0 时,求Δx趋近的常数.

1 2 2.已知自由下落物体的运动方程是 s=2gt (s 的单位是 m, t 的单位是 s),求: (1)物体在 t0 到 t0+Δt 这段时间内的平均速度; (2)物体在 t0 时的瞬时速度; (3)物体在 t0=2 s 到 t1=2.1 s 这段时间内的平均速度; (4)物体在 t=2 s 时的瞬时速度.

解析:

(1)平均速度为

1 1 2 2 g?t +Δt? -2gt0 Δs 2 0 Δt = Δt 1 =gt0+2gΔt.
? 1 ? Δs ?gt0+ gΔt?=gt0. (2)瞬时速度为 l i m = l i m 2 ? Δt→0 Δt Δt→0 ?

(3)由(1)得物体在 t0=2 s 到 t1=2.1 s 这段时间内的平均速度 1 41 为 g×2+2g×0.1=20g. (4)由(2)得物体在 t=2 s 时的瞬时速度为 g×2=2g.

求函数f(x)在某点处的导数

? 已知f(x)=x2+3. ? (1)求f(x)在x=1处的导数; ? (2)求f(x)在x=a处的导数.
[思路点拨] 确定函数 Δy Δx→0 定义法, Δx ――→ 极限 ―→ 导数 的增量

Δy f?1+Δx?-f?1? (1)因为Δx= Δx ?1+Δx?2+3-?12+3? = =2+Δx, Δx f?1+Δx?-f?1? f′(1)= l i m Δx Δx→0 =l i m (2+Δx)=2. →
Δx 0

2分

6分

Δy f?a+Δx?-f?a? (2)因为Δx= Δx ?a+Δx?2+3-?a2+3? = =2a+Δx, Δx f?a+Δx?-f?a? f′(a)= l i m =l i m (2a+Δx)=2a. Δx Δx→0 Δx→0 8分 12 分

利用导数定义求导数的三步曲: (1)求函数的增量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0); Δy f?x0+Δx?-f?x0? (2)求平均变化率Δx= ; Δx Δy (3)取极限,得导数 f′(x0)= l i m . Δx→0 Δx 简记为:一差,二比,三趋近.
Δy 特别提醒:取极限前,要注意化简Δx,保证使 Δx→0 时, 分母不为 0.

? 3.已知函数y=2x2+4x. ? (1)求函数在x=3处的导数; ? (2)若函数在x0处的导数是12,求x0的值.
=12Δx+2(Δx)2+4Δx =2(Δx)2+16Δx,
2 Δy 2?Δx? +16Δx ∴Δx= =2Δx+16. Δx

解析: (1)Δy=2(3+Δx)2+4(3+Δx)-(2×32+4×3)

Δy ∴y′|x=3= l i m =l i m (2Δx+16)=16. Δx→0 Δx Δx→0

(2)根据导数的定义 f?x0+Δx?-f?x0? Δy f′(x0)= l i m =l i m Δx Δx→0 Δx Δx→0 2?x0+Δx?2+4?x0+Δx?-?2x2 0+4x0? =l i m Δx Δx→0 4x0·Δx+2?Δx?2+4Δx =l i m Δx Δx→0 =l i m (4x0+2Δx+4) →
Δx 0

=4x0+4, ∴f′(x0)=4x0+4=12,解得 x0=2.

f?x0-3Δx?-f?x0? ◎设函数 y=f(x)在 x=x0 处可导, 且l i m = → Δ x Δx 0 1,则 f′(x0)等于( A.1 1 C.-3 ) B.-1

1 D.3 f?x0-3Δx?-f?x0? f?x0-3Δx?-f?x0? 【错解】 l i m =l i m [ · 3] Δx 3Δx Δx→0 Δx→0

1 =3f′(x0)=1,所以 f′(x0)=3,故选 D.

【错因】

错解虽然注意到了系数关系,但却忽略了分子

Δy 与分母 Δx 的对应关系. f?x0+Δx?-f?x0? 在导数的定义 f′(x0)= l i m 中,Δx 是分子 Δx Δx→0 f(x0+Δx)与 f(x0)中的两个自变量的差,即(x0+Δx)-x0. 初学者在求解此类问题时容易忽略分子与分母相应的符号 或 Δx 系数的一致性.

【正解】

f?x0-3Δx?-f?x0? 因为 l i m Δx Δx→0

f?x0?-f?x0-3Δx? =- l i m [ · 3] 3Δx Δx→0 =-3f′(x0) =1, 1 所以 f′(x0)=-3,故选 C.

? 答案: C


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