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3.2.2一元二次不等式的应用 课件(北师大版必修5)


2.2 一元二次不等式的应用

学习目标 1.掌握分式不等式,高次不等式的解法. 2.能把一些简单实际问题转化为不等式进行处 理.

课前自主学案

温故夯基 一元二次不等式的解法 一元二次不等式经过变形,可以化成以下两种标 准形式: (1)ax2+bx+c>0 (a>0); (2)ax2+bx+c<0 (a>0). 上述两种形式的一元二次不等式的解集,可通过 方程ax2+bx+c=0的根确定.设Δ=b2-4ac,则:

不同 的解x1、 ①Δ>0时,方程ax2+bx+c=0有两个_____ x2,设x1<x2,则不等式(1)的解集为 {_________ x|x1<x<x2}; {x|x>x2或x<x1} ,不等式(2)的解集为 _______________ 相同 的解, ②Δ=0时,方程ax2+bx+c=0有两个_____

即x1=x2,则不等式(1)的解集为{x|x≠x1,x∈R},
不等式(2)的解集为___ ? ; ③Δ<0时,方程ax2+bx+c=0无实数解,则不等 ? 式(1)的解集为R,不等式(2)的解集为___.

知新益能

1.分式不等式的解法 解分式不等式,首先要把它等价变形为整式不等 式.共有如下几种类型: f?x? f(x)g(x)>0 . (1) >0?__________ g?x? f?x? f(x)g(x)<0 . (2) <0?__________ g?x?

f?x? f(x)g(x)≥0且g(x)≠0 (3) ≥0?____________________ ? f(x)· g(x)>0 g?x? 或 f(x)=0. f?x? (4) ≤0 ? f(x)· g(x)≤0 且 g(x)≠0 ? g?x? f(x)g(x)<0或f(x)=0 _______________________ .

2.高次不等式的解法——穿根法 穿根法不等式的步骤是: (1)将f(x)最高次项的系数化为正数; (2)将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可 分因式之积; (3)将每一个一次因式的根标在数轴上,从右上 方依次通过每一点画曲线(注意重根情况,偶次 方根穿而不过,奇次方根既穿又过); (4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律,写 出不等式的解集.

问题探究

f?x? 如何求解形如 >a(a≠0)的不等式? g?x?
f?x? 提示:形如 >a(a≠0)的不等式,通常先把右边 g?x? f?x?-ag?x? 化为 0 的形式,即 >0,再化为整式不 g?x? 等式(组)求解.

课堂互动讲练

考点突破 分式不等式的解法
解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理

将其转化为有理整式不等式(组)求解.

例1

解不等式:

x- 3 (1)(2010 年高考全国Ⅱ改编) <0; x+ 2 x+1 (2) ≤1; 2x-3 2x+1 (3) <0. 1-x
【思路点拨】
求解.

转化为与之同解的整式不等式

x- 3 【解】 (1) <0?(x-3)(x+2)<0?-2<x<3, x+ 2 ∴原不等式的解集为{x|-2<x<3}. x+1 x+1 (2)∵ ≤1,∴ -1≤0, 2x-3 2x-3 -x+4 x-4 ∴ ≤0,即 ≥0. 3 2x-3 x- 2

3 3 此不等式等价于(x-4)(x- )≥0 且 x- ≠0,解 2 2 3 得 x< 或 x≥4. 2 3 ∴原不等式的解集为{x|x< 或 x≥4}. 2 1 x+ 2x+1 2 1 (3)由 <0 得 >0, 此不等式等价于(x+ )(x 2 1- x x- 1 -1)>0, 1 1 解得 x<- 或 x>1,∴原不等式的解集为{x|x<- 2 2 或 x>1}.

f?x? 【误区警示】 解分式不等式易将 >a(a≠0)转 g?x? 化为 f(x)>ag(x)求解,出现这种错误的原因在于没 f?x? 有 牢 固 掌 握 不 等 式 的 性 质; 将 ≥0 转 化 为 g?x? f(x)· g(x)≥0 求解,出现这种错误的原因是忽略了 分母不为 0 这一重要因素.

自我挑战 1 (2009 年高考湖北卷)已知关于 x 的 ax-1 1 不等式 <0 的解集是(-∞,-1)∪(- ,+ 2 x+1 ∞),则 a=________.

ax-1 解析: <0?(ax-1)(x+1)<0,又其解集为(- x+1 1 ∞,-1)∪(- ,+∞),可知 a<0,故(ax- 1)(x 2 1 +1)<0?(x-a)(x+1)>0,结合原不等式的解集, 1 1 有a=- ?a=-2.故填-2. 2
答案:-2

高次不等式的解法 一元高次不等式常用穿针引线法求解,其步骤
要熟练掌握.另外,适合不等式的根在数轴上

用“·”标出,不适合的根用“。”.
例2

解不等式:

x- 2 (1)(2010 年高考全国卷Ⅰ改编) 2 >0; x +3x+2 ?x+1??2-x? (2) 2 3≤0 ?x-1? ?x+4?

【思路点拨】 → 穿根 → 求解

系数负化正 → 分式化整式

x-2 x-2 【解】 (1)由 2 >0? >0 x +3x+2 ?x+1??x+2? ?(x+1)(x+2)(x-2)>0, 分别令各因式为零,可得根依次为-1,-2,2. 在 x 轴上标根并且从右上方引曲线可得图如下:

由上图可得不等式的解集为{x|-2<x<-1 或 x>2}. ?x+1??x-2? (2)原不等式可化为 2 3≥0. ?x-1? ?x+4? 此不等式等价于(x+1)(x-2)(x-1)2(x+4)3≥0, 且 x≠1,x≠-4.

分别令各个因式为零,可得根依次为-1,2,1,-4. 在x轴上标根,并从右上方引曲线可得图如下:

由上图可得不等式的解集为{x|-4<x≤-1或 x≥2}.

【名师点评】

(1)解简单的高次不等式时要特别

注意偶次方根要“穿而不过”,也就是要“反弹”起 来.

(2)对原不等式化简时,要化成右边为0,左边分
解为乘积或商的形式,并且将一次项系数全化为

1.

不等式的实际应用 实际应用问题是新课标下考查的重点,突出了

应用能力的考查,在不等式应用题中常以函数
模型出现,如一元二次不等式应用题常以二次

函数为模型.解题时要理清题意,准确找出其
中不等关系,再利用不等式解法求解.

例3

某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距

1 离 s m 和汽车车速 x km/h 有如下关系:s= x 20 1 2 + x ,在一次交通事故中,测得这种车的刹车 180 距离大于 39.5 m,那么这辆汽车刹车前的车速大 于多少?(精确到 0.01 km/h )

【思路点拨】
等式.

设出变量建立不等式,并解不

【解】 设这辆汽车刹车前的车速为 x km/h, 1 1 2 根据题意,有 x+ x >39.5, 20 180 2 移项整理,得 x +9x-7110>0, 2 显然 Δ>0, 方程 x +9x-7110=0 有两个实数根, 即 x1≈-88.94,x2≈79.94. 所以不等式的解集为{x|x<-88.94 或 x>79.94}. 在这个实际问题中,x>0, 所以这辆汽车刹车前的速度大于 79.94 km/h.

【名师点评】

对于此类实际问题,必须构建出

一个符合题意的不等式(组),同时还要注意变量

的实际意义.

自我挑战2

某工厂生产商品M,若每件定价80元,

则每年可销售80万件,税务部门对市场销售的商

品要征收附加税,为了既增加国家收入,又有利
于市场活跃,必须合理确定征收的税率.据市场

调查,若政府对商品M征收的税率为P%(即每百
元征收P元)时,每年的销售量减少10P万件,据

此,问:

(1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万 元,求P的范围; (2)在所收税金不少于96万元的前提下,要让厂家 获得最大的销售金额,应如何确定P值? (3)若仅考虑每年税收金额最高,又应如何确定 P值?

解:税率为P%时,销售量为(80-10P)万件,
即工厂收入f(P)=80(80-10P),税金g(P)= 80(80-10P)· P%,其中0<P<8.

?80?80-10P?· P%≥96, (1)由? 解得 2≤P≤6. ?0<P<8,

(2)∵f(P)=80(80-10P)(2≤P≤6)为减函数, ∴当 P=2 时,f(2)=4800(万元). (3)∵0<P<8, g(P)=80(80-10P)· P%=-8(P-4)2+128, ∴当 P=4 时, 国家所得税金最多, 为 128 万元.

方法感悟 1.解分式不等式时,不能随便地去分母,一般 的作法是移项、通分、化为整式不等式去解.

2.高次不等式的解法
(1)对于“>0”或“<0”型的高次不等式,在标根时,

应将其标为“空心点”,代表这些根不在解集之中;
对于“≥0”或“≤0”型的高次不等式,在标根时,应 将适合的标为“实心点”代表这些根应在解集之 中.

(2)有些根可能为奇次重根或偶次重根,那么画线
时的原则是:奇数重根“一次穿过”,偶次重根“

穿而不过”.例如(x-a1)(x-a2)2(x-a3)3(x-an)>
0,设a1<a2<a3<an,画线方法如图所示.

(3)有些分式不等式在等价转化后有可能成为高次
不等式,此时可采用“穿根法”求解. (4)解简单的高次不等式还可用“转化法”,即运用 实数乘法的运算性质,把高次不等式转化为低次 的不等式组进行求解.此法相对“穿根法”略显麻

烦,因此并不经常使用.
3.解决有关二次不等式的实际应用问题时,要读

懂题意,建立不等式的数学模型,在解不等式时,
要注意变量的实际意义.


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