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江苏省江阴市山观高级中学2016届高三数学一轮复习专题学案向量的总复习练习

一、基础知识汇总 1.向量的概念 (1)向量的基本要素:大小和方向. (2)向量的表示:几何表示法: AB ,a;坐标表示法:a=xi+yj=(x,y). (3)向量的长度:即向量的大小,记作|a|. (4)特殊的向量:零向量 a=0 ? |a|=0. 单位向量 a0 为单位向量 ? |a0|=1. (5)相等的向量:大小相等,方向相同(x1,y1)=(x2,y2) ? ? ? x1 ? x2 ? y1 ? y 2 (6)平行向量(共线向量) :方向相同或相反的向量,称为平行向量.记作 a∥b.由于向量可以进行任 意的平移(即自由向量) ,平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量. 2.向量的运算: 运算类型 向 量 的 加 法 向 量 的 减 法 数 乘 向 量 向 量 的 数 量 积 几何方法 坐标方法 运算性质 a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) 1.平行四边形法则 2.三角形法则 a+b =(x1+x2,y1+y2) AB ? BC ? AC a-b=a+(-b) 三角形法则 a-b =(x1-x2,y1-y2) AB ? ? BA ? OB ? OA ? AB λ a 是一个向量,满足: 1.|λ a|=|λ ||a|;? 2.λ >0 时,λ a 与 a 同向; λ <0 时,λ a 与 a 反向; λ =0 时,λ a=0 a·b 是一个数: 1.a≠0,且 b≠0 时,a·b =|a||b|cos<a,b> 2.a=0 或 b=0 时,a·b=0 λ (μ a)=(λ μ )a (λ +μ )a=λ a+μ a λ (a+b)=λ a+λ b ? a∥b ? a=λ b a·b=b·a ? (λ a) ·b=a· (λ b)? =λ (a·b) (a+b) ·c=a·c+b·c 2 2 a2=|a|2,|a|= x ? y λ a=(λ x,λ y) a·b=x1x2+y1y2 |a·b|≤|a||b| 3.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理 e1,e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一对实数λ 1,λ 2,使 a=λ 1e1+λ 2e2. (2)两个向量平行的充要条件 a∥b ? a=λ b ? x1y2-x2y1=0. (3)两个向量垂直的充要条件 a⊥b ? a·b=0 ? x1x2+y1y2=0. (4)线段的定比分点公式 设点 P 分有向线段 P 1P 2 所成的比为λ ,即 P 1P =λ PP 2 ,则 OP ? 1 ? OP1 ? OP2 (线段的定比分点的向量公式) 1? ? 1? ? x1 ? ?x2 ? ? x ? 1 ? ? , (线段定比分点的坐标公式) ? ? ? y ? y1 ? ?y 2 ? 1? ? ? 当λ =1 时,得中点公式: x ? x2 ? x? 1 ? 1 ? 2 OP ? (OP 1 ? OP 2 )或 ? y 2 ? y ? 1 ? y2 ? 2 ? 二、例题讲解: 例 1.已知向量 a = ( 3 , -1) , b = ( 1 , 2 3 ) .⑴求证: a ⊥ b ; 2 ⑵是否存在不为 0 的实数 k 和 t , 使 x = a +(t2-3) b , y = -k a +t b , 且 x ⊥ y ? 如果存在, 试确定 k 与 t 的关系, 如果不存在, 请说明理由. ⑴证明:∵ a = ( 3 , -1) , b = ( 又 a ? 0 , b ? 0 ,∴ a ⊥ b . ⑵解:假设存在不为 0 的实数 k 和 t , 使 x = a +(t2-3) b , y = -k a +t b , 且 x ⊥ y ,则 x ? y ? 0 , 即 ? a ? t ? 3 b ? ? ?ka ? tb ? 0 ,得 ?ka ? t t ? 3 b ? 0 , 1 , 2 ? ? 1 3 3 ),∴ a ? b ? 3 ? ? ? ?1? ? ?0, 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ?? ? ? ? ? ?2 ? 2 ? ?2 ?2 ?2 t 3 ? 3t 又 a ? 4 , b ? 1 ,故 k ? , 4 取 t ? 4 , k ? 13 ,则 x ? a ? 13b , y ? ?13a ? 4b , 此时 x ? y ? ?13a ? 52b ? ?13 ? 4 ? 52 ? 1 ? 0 , x ⊥ y 。 综上,存在不为 0 的实数 k 和 t 使 x = a +(t2-3) b , y = -k a +t b , 且 x ⊥ y ;k 与 t 的关系为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ?2 t 3 ? 3t k? ? k ? 0, t ? 0 ? . 4 例 2.已知平面内 a , b , c 两两所成的角相等, 且| a |=1 , | b |=2 , | c |=3 , 求 a + b + c 的长度及与三已知 向量的夹角. 解:因为平面内 a , b , c 两两所成的角相等, 所以 a , b , c 两两所成的角为 0°或 120°. ⑴若 a , b , c 两两所成的角为 0°, 则| a + b + c |=| a |+| b |+| c |=6, a + b + c 与三已知向量的夹角都为 0°. ⑵若 a , b , c 两两所成的角为 120°, 则 | a ? b ? c |2 ? a ? b ? c ? 2a ? b ? 2b ? c ? 2a ? c ? ? ? ? 2 ? 2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?| a |2 ? | b |2 ? | c |2 ?2 | a || b | cos120? ? 2 | b || c |

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